2019-2020学年高中数学第二章数列2.4等比数列2.4.1等比数列的概念及通项公式教案新人教A版必修5.doc

1、2021-2021学年高中数学第二章数列2.4等比数列2.4.1等比数列的概念及通项公式教案新人教A版必修5工程内容课题2.4,1等比数列的概念及通项公式共1课时修改与创新教学目标一、知识与技能1 .了解现实生活中存在着一类特殊的数列；2 .理解等比数列的概念,探索并掌握等比数列的通项公式；3 .能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并能用有关的知识解决相应的实际问题；4 .体会等比数列与指数函数的关系.二、过程与方法1 .采用观察、思考、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行教学；2 .发挥学生的主体作用,作好探究性活动；3 .密切联系实际,激发学生学习的积极性.三、情感态度与价值观1 .

2、通过生活中的大量实例,鼓励学生积极思考,激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度,培养学生的类比、归纳的水平；2 .通过对有关实际问题的解决,表达数学与实际生活的密切联系,激发学生学习的兴趣.教学重、难点教学重点1.等比数列的概念；2.等比数列的通项公式.教学难点1.在具体问题中抽象出数列的模型和数列的等比关系；2.等比数列与指数函数的关系.教学准备多媒体课件教学过程导入新课师现实生活中,有许多成倍增长的实例.如,将一张报纸对折、对折、再对折、,对折了三次,手中的报纸的层数就成了8层,对折了5次就成了32层.你能举出类似的例子吗？生一粒种子繁殖出第二代120粒种子,用第二代的120粒种子可

3、以繁殖出第三代120X120粒种子,用第三代的120X120粒种子可以繁殖出第四代120X120X120粒种子,师非常好的一个例子！现实生活中,我们会遇到许多这类的事例.师细胞分裂的个数也是与我们上述提出的问题类似的实例.细胞分裂有什么规律,将每次分裂后细胞的个数写成一个数列,你能写出这个数列吗？生通过观察和画草图,发现细胞分裂的规律,并记录每次分裂所得到的细胞数,从而得到每次细胞分裂所得到的细胞数组成下面的数列：1,2,4,8,教师出示投影胶片1：“一尺之梗,日取其半,万世不竭.师这是?庄子天下篇?中的一个论述,能解释这个论述的含义吗？生思考、讨论,用现代语言表达.师用现代语言表达后如果把“

4、一尺之植看成单位“1,那么得到的数列是什么样的呢？生发现等比关系,写出一个无穷等比数列：1,24816教师出示投影胶片2：计算机病毒传播问题.一种计算机病毒,可以查找计算机中的地址簿,通过邮件进行传播.如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮,邮件接收者发送病毒称为第二轮,依此类推.假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机,那么在不重复的情况下,这种病毒感染的计算机数构成一个什么样的数列呢？师读题后这种病毒每一轮传播的计算机数构成的数列是怎样的呢？引导学生发现“病毒制造者发送病毒称为第一轮“每一轮感染20台出算机中蕴涵的等比关系.生发现等比关系,写出一个无穷等比数列：1,20,20:,2020

5、9;,教师出示多媒体课件二：银行存款利息问题.师介绍'复利的背景：“复利是我国现行定期储蓄中的一种支付利息的方式,即把前一期的利息和本金加在一起算作本金,再计算下一期的利息,也就是通常说的“利滚利.我国现行定期储蓄中的自动转存业务实际上就是按复利支付利息的.给出计算本利和的公式：本利和二本金X1+本金尸,这里n为存期.生列出5年内各年末的本利和,并说明计算过程.师生合作讨论得出“时间“年初本金“年末本利和三个量之间的对应关系,并写出：各年末本利和单位：元组成了下面数列：10000X1.0198,10000X1.0198:,10000X1.01983,10000X1.01981,1000

6、0X1.01985.师回忆数列的等差关系和等差数列的定义,观察上面的数列说说它们有什么共同特点?师引导学生类比等差关系和等差数列的概念,发现等比关系.引入课题：板书课题2.4等比数列的概念及通项公式推进新课合作探究师从上面的数列中我们发现了它们的共同特点是：具有等比关系.如果我们将具有这样特点的数列称之为等比数列,那么你能给等比数列下一个什么样的定义呢？生回忆等差数列的定义,并进行类比,说出：一般地,如果把一个数列,从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列.教师精讲师同学们概括得很好,这就是等比数列(geometricsequence)的定义.有些书籍把等比数列

7、的英文缩写记作G.P.(GeometricProgression).我们今后也常用G.P.这个缩写表示等比数列.定义中的这个常数叫做等比数列的公比(commonratio),公比通常用字母q表示(q#0).请同学们想一想,为什么qHO呢？生独立思考、合作交流、自主探究.师假设q=0,数列的第二项就应该是0,那么作第一项后面的任一项与它的前一项的比时就出现什么了呢？生分母为0了.师对了,问题就出在这里了,所以,必须qWO.师那么,等比数列的首项能不能为0呢？生等比数列的首项不能为0.师是的,等比数列的首项和公比都不能为0,等比数列中的任一项都不会是0.合作探究师类比等差中项的概念,请同学们自己给

8、出等比中项的概念.生如果在a与占中间插入一个数G,使a、G、6成等比数列,那么G叫做a、6的等比中项.师想一想,这时a、6的符号有什么特点呢？你能用a、6表示G吗？生一起探究,左6是同号的0=2,G=土疝,G06.aG师观察学生所得到的a、b、G的关系式,并给予肯定.补充练习：与等差数列一样,等比数列也具有一定的对称性,对于等差数列来说,与数列中任一项等距离的两项之和等于该项的2倍,即a.“+a对于等比数列来说,有什么类似的性质呢？生独立探究,得出：等比数列有类似的性质：合作探究探究：(1)一个数列A,飞由,%(&W0)是等差数列,同时还能不能是等比数列呢？(2)写出两个首项为1的等比

9、数列的前5项,比拟这两个数列是否相同？写出两个公比为2的等比数列的前5项,比拟这两个数列是否相同？(3)任一项a,及公比q相同,那么这两个数列相同吗？(4)任意两项、区相同,这两个数列相同吗？(5)假设两个等比数列相同,需要什么条件？师引导学生探究,并给出(1)的答案,(2)(3)(4)可留给学生答复.生探究并分组讨论上述问题的解答方法,并交流(1)的解答.教师精讲概括总结对上述问题的探究,得出：(1)中,既是等差数列又是等比数列的数列是存在的,每一个非零常数列都是公差为0,公比为1的既是等差数列又是等比数列的数列.概括学生对(2)(3)(4)的解答.(2)中,首项为1,而公比不同的等比数列是

10、不会相同的：公比为2,而首项不同的等比数列也是不会相同的.(3)中,是指两个数列中的任一对应项与公比都相同,可得出这两个数列相同；(4)中,是指两个数列中的任意两个对应项都相同,可以得出这两个数列相同；(5)中,结论是：假设两个数列相同,需要“首项和公比都相同.(探究的目的是为了说明首项和公比是决定一个等比数列的必要条件：为等比数列的通项公式的推导做准备)合作探究师回忆等差数列的通项公式的推导过程,你能推导出等比数列的通项公式吗？生推导等比数列的通项公式.方法引导师让学生与等差数列的推导过程类比,并引导学生采用不完全归纳法得出等比数列的通项公式.具体的,设等比数列首项为色,公比为q,根据等比数

11、列的定义,我们有：二E立一&应,as-atq-aq,dLa-iQ3iQ,即aK：qC.师根据等比数列的定义,我们还可以写出%/4_4.6a2七%'进iflj/4=a.r；q二aq=a«-sQ=二a：q.亦得_an.r-iQ师观察一下上式,每一道式子里,项的下标与q的指数,你能发现有什么共同的特征吗？生把土看成ad,那么,每一道式子里,项的下标与q的指数的和都是n.师非常正确,这里不仅给出了一个由a.倒推到小与a：,q的关系,从而得出通项公式的过程,而且其中还蕴含了等比数列的根本性质,在后面我们研究等比数列的根本性质时将会再提到这组关系式.师请同学们困绕根据等比数列的定

12、义写出的式子血=生=幺=.=2=心再思考.at2.3如果我们把上面的式子改写成恐=5包=%"=q,上乙=9.%0的那么我们就有了丁1个等式,将这n-1个等式两边分别乘到一起叠乘,得到的结果是4=于是,得ahaqc.%师这不又是一个推导等比数列通项公式的方法吗？师在上述方法中,前两种方法采用的是不完全归纳法,严格的,还需给出证实.第三种方法没有涉及不完全归纳法,是一个完美的推导过程,不再需要证实.师让学生说出公式中首项盘和公比q的限制条件.生和q都不能为0.知识拓展师前面实例中也有“细胞分裂“计算机病毒传播“复利计算的练习和习题,那里是用什么方法解决问题的呢？教师出示多媒体课件三：前面

13、实例中关于“细胞分裂“计算机病毒传播"''复利计算的练习或习题.某种储蓄按复利计算本钱利息,假设本金为a元,每期利率为r,设存期是x,本利和为y元.(1)写出本利和y随存期x变化的函数关系式；(2)如果存入本金1000元,每期利率为2.25%,试计算5期后的本利和.师前面实例中关于“细胞分裂“计算机病毒传播“复利计算的问题是用函数的知识和方法解决问题的.生比拟两种方法,思考它们的异同.教师精讲通过用不同的数学知识解决类似的数学问题,从中发现等比数列和指数函数可以联系起来.(1)在同一平面直角坐标系中,画出通项公式为国二2G的数列的图象和函数y二2c的图象,你发现了什么

14、？(2)在同一平面直角坐标系中,画出通项公式为4=d)z的数列的图象2和函数尸(L)门的图象,你又发现了什么？2生借助信息技术或用描点作图画出上述两组图象,然后交流、讨论、归纳出二者之间的关系.师出示多媒体课件四：借助信息技术作出的上述两组图象.观察它们之间的关系,得出结论：等比数列是特殊的指数函数,等比数列的图象是一些孤立的点.师请同学们从定义、通项公式、与函数的联系3个角度类比等差数列与等比数列,并填充以下表格：等差数列等比数列定义从第二项起,每一项与它前一项的差都是同一个常数从第二项起,每一项与它前一项的比都是同一个常数首项、公差公比取值有无限制没有任何限制首项、公比都不能为0通项公式捻二2+77-1dJT1相应图象的特点直线y=a1+x-ld上孤立的点函数图象上孤立的点例题剖析【例1】某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年,剩留的这种物质是原来的84%,这种物质的半衰期为多长精确到1年？师从中能抽象出一个数列的模型,并且该数列具有等比关系.fTO【例2】根据右图中的框图,写出所打印数列的前5项,并建立数列的递推公式,这个数列是等比数列吗？师将打印出来的数依次记为a即心,上,小,.“J大口2=1;%二2X;二土X、一.22于是,可得递推公式?=1,<1由于£l=J_,因此,这个数列是等比数列.2生算出这个数列的各项,求出这个数列的通