2019年全国高中数学联赛预赛试题及解答

1、中南传媒湖南新教材杯二0一九年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试卷测试时间：2021年6月30日9：00-11：30,总分值150分题号111213141516总分得分评分人复核人一、填空题共10小题,每题7分,总分值70分.请直接将答案写在题中的横线上1、2-2,LN=卜卜2WxKa,B=yy=2x+3,xe,C=/=wl17、一知函数/?=1,1假设加0,y0H!+=1,那么x+2y的最小值为.2x+yv+1-10、定义两点尸演,乂,.,之间的坐标距离为:1巴.=内-戈21+1乂-、2假设Cx,y到点月1,3,86,9的“坐标距而相等,其中实数X、J,满足0GY10.00JT10,那么所仃满足

2、条件的点C的轨迹的氏之和为二、解做题共6小题,总分值80分.要求写出解题过程11、13分一知问量“7=cos,-l,=JJsin工cos：?,设函数/?=八+1.2221假设?6.、三,/=日,求85?的值；在A48C中,角4B,C的对边分别是a,b,c,IL满足2bcosNW2.一小,求/B的取值范围.12、13分2021年数学奥林匹克竞赛试行改革：某市在高二一年中举行5次联合竞赛,学生如果其中2次成绩到达该市前20名即可进入省队培训,不用参加其余的竞赛,而每个学生.最多也只能参加5次竞赛.规定：假设前4次竞赛成绩都没有达全市前20名,那么第5次不能参加竞赛.假设某学生每次成绩达全巾前20名

3、的概率都是工,每次竞赛成绩达全巾前20名.杏人相独匕41求该学生进入省队的概率.2如果该学生进入行队或参加完5次竞赛就结束,记该学生参加竞赛的次数为求J的分布(=2,3,4,).n-a列及J的数学期望.13、13分数列%中,勺=1,=一,a.41求数列*的通项公式;2求证：对-切仃hl14、(13分)三棱锥尸(如图1)的平面展开图(如图2)中,四边形48为边长等20的正方形,和ABC/均为正三角形,在三极锥,一力3.中:求.曲角尸一PC-M的余弦值.(I)证实：平而尸NC,平面N8C；(II)假设点为桂PA上一点IL=-,MA2图215、(14分)椭园E：二十二=1(.b0),其短轴为4离心率

4、为弓,双曲线H-2_=1.-Zrmn(加0,0)的渐近线为y=x,离心率为4,且4.2=L(1)求椭圆E的方程；(2)设椭圆?的右体点为产,过点G(4,0)作斜率不为0的直线交椭圆左于M,N两点,设直线和FN的斜率为尢,k2t试判断M+4是否为定值,假设是定值,求出该定值;假设不是定值,请说明理由.16、(14分)函数/(x)=x-L-hiv.(1) 7?/(x)=A-lavlx=x,?2(七工)处导数相等,证实：/(a;)+/(x2)3-21112；A(2)假设对丁任意展(口/),直线尸Ax+b与曲线y=都仃唯一公共点,求实数6的取值范围.中南传媒湖南新教材杯二0一九年全国高中数学联赛甘肃赛

5、区预赛试卷题号12345678910答案I3.ac6仍33-2111297t16fS+参考答案及评分标准一、填空题共10小题,每题7分,总分值70分.请直接将答案写在题中的横线上二、解做题共6小题,总分值80分.要求写出解题过程11、13分向量方7=：055,1,77=5/?5111,85,?,设函数/?=八+1./X=,求COSX的值;102在ZUBC中,角4B,C的对边分别是o,b,c,且满足28cosNW2c-屈,求/3的取值范|札I-xx解：/(x)=v3sincos-cos222-+l=sinx-22l+cosx,+12=sinx_lcosx+l=sm(x_)+l22262r/、11

6、./兀、3_1八】/(X)=sm(x-)=-；又.,X0,丁卜106527T717T兀、4U|Jcos-7)=5rz7C7t7T7t.71.7tcosx=cos(x)HI=cos(x)cossin(x)sin=6666661010(2)rh2bcosA/3a得:2sin3cosA2sin/3sinJ=2sin4cos4W2sin(A+)-/3sinJ=2sin5cosJ/?sinA=cosB-=B7tsin(5-)e,0,即/(4)=sin(4-三)+-=/(团0,一6262213分12、13分2021年数学奥林匹克竞赛试行改革：某市在高二一年中举行5次联合竞赛,学生如果其中2次成绩到达该市前

7、20名即可进入省队培训I,不用参加其余的竞赛,而每个学生最多也只能参加5次竞赛.规第1页,共6页定：假设前4次竞赛成绩都没有达全市前20名,那么第5次不能参加竞赛.假设某学牛,每次成绩达全市前20名的概率都是!,每次竞赛成绩达全市前20名与否互相独立.41求该学生进入省队的概率.2如果该学生进入省队或参加完5次竞赛就结束,记该学生参加竞赛的次数为g,求g的分布列及g的数学期望.解：1记“该生进入省队的事件为事件力,其对立事件为7,5分2该生参加竞赛次数g的可能取值为2,3,4,56分P(J=2)=4116P(J=3)=C；1313XXX=44432+1-4X./3-4zrIXX1-473-4/

8、(27-64=N256+P(J=5)=C；x.2764故?的分布列为:2345P1163322764276413分j)=2x,+3xa+4x旦+5、2=丝7163264646413、13分数列%中,4=1,4=；且5+1=(=2,3,4,).1求数列4的通项公式;72求证：对一切wN*,有；一.I611两边同除以小得%(T)明心T)即L叫+1=-(-1)411-1),77I是,z4=2n-1=-z走二2=一1一口即!=-(1),772,a、77-1所以一!一1%,)上a、n771-,772.3h-2乂=1时也成匕故3n-2解：1由己知,对仃=1a,=-.%一1.T明一12当片22,有21ak=

9、r(3左一2(3A-4)(31)4(3A-43A-1,所以22时,有JJ1/1、/1、Ay,JO3-43n-13123n-)i+l=266乂=1时,a：=1;在APO8中,尸0=2,05=2,P3=20,PO?+OB2=PB：.PO1OB.图1尸0=平面24.,平面8CJL平面.C6分II由POJL平面ASC,OB1AC9：.POLOB9PO1OC,于是以OC,OB,.尸所作直线分别为工轴,y轴,z轴建立如图示空间直角坐标系,那么00.,“2,0,0,8020,4-2,0,0,P02,1/1-之.斗就=(2,-2,0),PC=(2,0-2),设平面MBC的法向量为/=,必,那么由吃=得:-MC

10、=0x一乂=0,加令演二1,得乂=1,Z1=2,2$一Z=0即m=1,1,2.设平面PBC的法向吊:为二4J2,马,rh三.得:PC=O2f=0,令z,得x2-z2=0VACIOB=O.AC.OBu平面NBC,平面45c./、m-n42yflCOS(W./W)=;-7-7=-=m-nV1832J213分.由图可知,二面角尸-5C-M的余弦值为好Y*V*一、.X*/15、14分椭圆E：+r=1.609其短轴为4,离心率为q9双曲线=1加0,G匕ninn0的渐近线为y=x,离心率为6,且.4=L1求椭圆E的方程；2设椭圆石的右焦点为尸,过点G4,0作斜率不为0的宜线交椭圆E于M,N两点,设直线和E

11、V的斜率为?,月,试判断人+为是否为定值,假设是定值,求出该定值；假设不是定值,请说明理由.解：(1)由题意可知：2b=4,b=2.=y/2,那么椭做I的离心率为G=4.椭I园的离心:-=1,双曲线的离心率1)1v*V-,椭I川的标准方程：+2-=1845分y=(x-4)(2)设直线的方程为丁=左.-4)/H0).422+2)广=8消委y整理得：1+2k2x2-l6左1+32攵2-8=0.设MxM,n.、,“),那么内+占=16左232k2-8：XX.=：2-+112k2+k+k左演一4女乙一4x-2x.-21XN-44-2+凡一4内一2怎一2七一22xxx2-6%+x2+16$一2区一2将X

12、,+戈2=16k?2k2+1324289分代入上式得2W马一伙苔+?2)+16=0,即占+?=16、(14分)己知函数/(k)=xLhv.X假设x)=x-lnr在x=x,x2(x,x2)处导数相等,证实：/($)+f(x2)3-21n2；x(2)假设对任意此(-8,1),匕线j,=h+曲线y=/(x)都1唯一公共点,求实数b的取值范围.解：(1)/(X)=l+-4-,令/(工1)=/(?2)=7,得_L-1+1-W=O411llI甘达定理得LL=1,即Aj+X2=X1-X22小1%,得K4,XlX2,/(xi)+/(x2)=(xi+Xi)-+-(Im-,+liu-2)=XjX2-In(工用)T,IX1X2)令/=%4,那么ns-ln(MK2)-l=,令8(,)二,-111/一1(/4),那么？(/)=1一0(/4),得g(r)g(4)=3-21n2.xInx-b(