【教师版】小学奥数4-4-3圆与扇形(三).专项练习及答案解析

1、圆与扇形例题精讲n360比方：扇形的面积=所在圆的面积扇形中的弧长局部=所在圆的周长n父一；360nx360研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规那么图形,通过变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补,使它变成可以计算出面积的规那么图形来计算它们的面积.圆的面积=#2;扇形的面积=霭2乂.；360圆的周长=2那；扇形的弧长=2师父.3601、 跟曲线有关的图形元素：扇形：扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形,扇形是圆的一部分.我们经常说的1圆、1圆、【圆等等其实都是扇形,而这个几分之几表示的其实是这246个扇形的圆心角占这个圆周角的几分之几

2、.那么一般的求法是什么呢？关键是扇形的周长=所在圆的周长M旦+2父半径易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长360弓形：弓形一般不要求周长,主要求面积.一般来说,弓形面积=扇形面积-三角形面积.除了半圆“弯角"：如图:“谷子：如图:弯角的面积=正方形-扇形“谷子的面积=弓形面积父22、 常用的思想方法：转化思想复杂转化为简单,不熟悉的转化为熟悉的等积变形害U补、平移、旋转等借来还去加减法外围入手从会求的图形或者能求的图形入手,看与要求的局部之间的“关系板块、曲线型旋转问题【例1】正三角形ABC的边长是6厘米,在一条直线上将它翻滚几次,使A点再次落在这条直线上,那么A点在翻滚过程中经过的

3、路线总长度是多少厘米？如果三角形结面积是15平方厘米,那么三角形在滚动过程中扫过的面积是多少平方厘米?果保存兀【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答【解析】如下图,A点在翻滚过程中经过的路线为两段120.的圆弧,所以路线的总长度为：1202tix6x乂2=8兀厘米；360三角形在滚动过程中扫过的图形的为两个120口的扇形加上一个与其相等的正三角形,面积、,2120为：兀父6x-X2+15=24兀+15平万厘米.360【答案】24汽15【稳固】直角三角形ABC放在一条直线上,斜边AC长20厘米,直角边BC长10厘米.如下列图所示,三角形由位置I绕A点转动,到达位置H,此时B,C点分别到达

4、B1,C1点；再绕B1点转动,到达位置出,此时A,G点分别到达A2,C2点.求C点曲线型旋转问题经C1到C2走过的路径的长.【难度】3星【题型】解答12由于BC为AC的一半,所以/CAB=30,那么弧CG为大圆周长的181一303601弧C1C2为小圆周长的,而C1CC2即为C点经C1到C2的路径,所以C点经C145至1C2走过的路径的长为27tM20父一12-15065+2兀父10父一二一兀十5兀二一兀厘米.43365兀3【稳固】如图,一条直线上放着一个长和宽分别为4cm和3cm的长方形I.它的对角线长恰好是5cm.让这个长方形绕顶点B顺时针旋转90°后到达长方形n的位置,这样连续

5、做三次,点A到达点E的位置.求点A走过的路程的长.ABCDE【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答【解析】由于长方形旋转了三次,所以A点在整个运动过程中也走了三段路程如右上图所示.这三段路程分别是:第1段是弧AAi,它的长度是第2段是弧AA2,它的长度是第3段是弧A2E,它的长度是所以A点走过的路程长为:,1,一、2xtix4x-(cm);1,2黑tix5x-(cm);1,一、2M7tx3x-(cm);12xUX4x-+2x7tX5x-+2x兀父3乂一=6兀(cm).子拴着一只羊见如图.问：这只羊能够活动的范围有多大?【考点】如下图,羊活动的范围可以分为A,B,C三局部,其中A是半径3

6、0米的-个471302-202110214=2512.2512一只狗被拴在底座为边长求狗所能到的地方的总面积.3m的等边三角形建筑物的墙角上如图,绳长是4m,圆周率按3.14计算【难度】3星曲线型旋转问题如下图,羊活动的范围是一个半径心角120.的扇形之和.所以答案是43.96【题型】解答4m,圆心角300°的扇形与两个半径1m,圆243.96m.【例2草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈,在羊圈的一角用长30米的绳圆周率取3.14圆,B,C分别是半径为20米和10米的1个圆.4所以羊活动的范围是兀父302父3+UX202X-+UX102X-例3如图是一个直径为3cm的半圆,

7、让这个半圆以A点为轴沿逆时针方向旋转60,此时B点移动到B'点,求阴影局部的面积.图中长度单位为cm,圆周率按3计算.【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答【解析】面积=圆心角为60邛勺扇形面积十半圆空白局部面积也是半圆=圆心角为60°的扇形面积=£!父兀乂32=3兀=4.5cm2.3602【答案】4.5例4如下图,直角三角形ABC的斜边AB长为10厘米,ZABC=60此时BC长5厘米.以点B为中央,将MBC顺时针旋转120,点A、C分别到达点E、D的位置.求AC边扫过的图形即图中阴影局部的面积.兀取3【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答【解析】注

8、意分割、平移、补齐.如下图,将图形移补到图形的位置,由于/EBD=60°,那么/ABE=1201那么阴影局部为一圆环的1.3所以阴影局部面积为1父/AB2-BC2=75平方厘米.3【答案】75【稳固】如右图,以OA为斜边的直角三角形的面积是24平方厘米,斜边长10厘米,将它以O点为中央旋转900,问：三角形扫过的面积是多少？兀取3AA'【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答【解析】从图中可以看出,直角三角形扫过的面积就是图中图形的总面积,等于一个三角形的面积与四分之一圆的面积之和.圆的半径就是直角三角形的斜边OA.1因此可以求得,二角形扫过的面积为：24+M兀父10M

9、10=24+25兀=99平万厘4米.【答案】99(n=3.14)BCA'【难度】3星【题型】解答ABC旋转120口到达M'B'C的位置.阴影局部为AB边扫过【稳固】“学而思杯数学试题如图,直角三角形ABC中,/B为直角,且BC=2厘米,AC=4厘米,那么在将MBC绕C点顺时针旋转120n的过程中,AB边扫过图形的面积为【考点】曲线型旋转问题【解析】如右上图所示,的图形.从图中可以看出,阴影局部面积等于整个图形的总面积减去空白局部面积,而整个图形总面积等于扇形ACA'的面积与MBC的面积之和,空白局部面积等于扇形BCB'的面积与必'B'C的

10、面积,由于MBC的面积与M'B'C的面积相等,所以阴影局部的面积等于扇形ACA'与扇形BCB'的面积之差,为磔m兀黑42-x兀X22=4兀=12.56平方厘米.360360【答案】12.56例5如下列图,ABC是一个等腰直角三角形,直角边的长度是1米.现在以C点为圆点,顺时针旋转90度,那么,AB边在旋转时所扫过的面积是平方米=3.14由于r2+r2=12,所以r2=.2所求面积为12二-1212-r2二=-二二0.6775424428平方米【答案】0.6775例6如图30-14,将长方形ABC噬顶点C顺时针旋转90度,假设AB=4,BC=3AC=5,求AD边扫

11、过局部的面积.n取3.14【题型】解答【考点】曲线型旋转问题【解析】如下列图所示,【难度】3星AB如下列图所示,端点A扫过的轨迹为AA"A,端点D扫过轨迹为DD"D',而AD之间的点,扫过的轨迹在以A、D轨迹,AD,A'D'所形成的封闭图形内,且这个封闭图形的每一点都有线段AD上某点扫过,所以AD边扫过的图形为阴影局部.显然,有阴影局部面积为Sg角小DC+S扇形ACA,S!角由CD-S扇形CDD,而直角二角形A'D'C、ACD面积相等.S直角ADCS扇形ACA-S直角ACD-S扇形CDD二S扇形ACA-S扇形CDD90二；90二八2二

12、229十、=ACCD=54=冗=7.065平方厘木36036044即AD边扫过局部的面积为7.065平方厘米.【答案】7.065【例7】祖冲之杯竞赛试题如图,ABCD是一个长为4,宽为3,对角线长为5的正方形,它绕C点按顺时针方向旋转90*,分别求出四边扫过图形的面积.【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答【解析】容易发现,DC边和BC边旋转后扫过的图形都是以线段长度为半径的圆的,如4图：DCB'因此DC边扫过图形的面积为4n,BC边扫过图形的面积为生.42、研究AB边的情况.在整个AB边上,距离C点最近的点是B点,最远的点是A点,因此整条线段所扫过局部应该介于这两个点所扫过弧

13、线之间,见如图中阴影局部：DCB'卜面来求这局部的面积.观察图形可以发现,所求阴影局部的面积实际上是：扇形ACA'面积十三角形A'B'C面积三角形ABC面积一扇形BCB'面积=扇形ACA'面积22一扇形BCB'面积=3=4式443、研究AD边扫过的图形.由于在整条线段上距离C点最远的点是A,最近的点是D,所以我们可以画出AD边扫过的图形,如图阴影局部所示：22用与前面同样的方法可以求出面积为：5_4=9兀444旋转图形的关键,是先从整体把握一下“变化过程,即它是通过什么样的根本图形经过怎样的加减次序得到的.先不去考虑具体数据,一定要把思路

14、捋清楚.最后你会发现,所有数据要么直接告诉你,要么就“藏在那儿,一定会有.可以进一步思考,比方平行四边形的旋转问题、一般三角形的旋转问题等等,此类问题的解决对提升解决几何图形问题的水平是非常有益的.【答案】(1)BC边扫过图形的面积为之4(2) AB边扫过图形的面积为4支(3) AD边扫过图形的面积为止14(4) DC边扫过图形的面积为4支【例8(华杯赛初赛)半径为25厘米的小铁环沿着半径为50厘米的大铁环的内侧作无滑动的滚动,当小铁环沿大铁环滚动一周回到原位时,问小铁环自身转了几圈？【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答【解析】对于这类问题,可以在初始时在小环上取一点A,观察半径OA

15、,如图,当小环沿大环内壁滚动到与初始相对的位置,即滚动半个大圆周时,如图,半径OA也运动到了与初始时相对的位置.这时OA沿大环内壁才滚动了半圈.继续进行下半圈,直到OA与初始位置重合,这时OA自身转了1圈,因此小铁环自身也转了1圈.【总结】对于转动的圆来说,当圆心转动的距离为一个圆周长时,这个圆也恰好转了一圈.所以此题也可以考虑小铁环的圆心轨迹,发现是一个半径与小铁环相等的圆,所以小铁环的圆心转过的距离等于自己的圆周长,那么小铁环转动了1圈.【答案】1圈【稳固】如果半径为25厘米的小铁环沿着半径为50厘米的大铁环的外侧作无滑动的滚动,当小铁环沿大铁环滚动一周回到原位时,问小铁环自身转了几圈？【

16、考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答【解析】如图,同样考虑小圆的一条半径OA,当小圆在大圆的外侧滚动一周,即滚动了大圆的半周时,半径OA滚动了540,滚动了一圈半,所以当小圆沿大圆外侧滚动一周时,小圆自身转了3圈.也可以考虑小圆圆心转过的距离.小圆圆心转过的是一个圆周,半径是小圆的3倍,所以这个圆的周长也是小圆的3倍,由于小圆的圆心每转动一个自身的周长时,小圆也恰好转了一圈,所以此题中小圆自身转了3圈.【答案】3圈【稳固】如下图,大圆周长是小圆周长的n(n>1)倍,当小圆在大圆内侧(外侧)作无滑动的滚动一圈后又回到原来的位置,小圆绕自己的圆心转动了几周？曲线型旋转问题【难度】3星

17、【题型】解答【解析】为了确定圆绕圆心转动几周,首先要明确圆心转动的距离.设小圆的半径为“单位1,那么大圆的半径为“n.在内测滚动时,如图所示,由于圆心滚动的距离为2兀父5-1).所以小圆绕自己的圆心转动了：2+(nT)=n1(圈).2兀在外侧滚动时,如图所示.由于圆心滚动的距离为2兀xn+1.所以小圆绕自己的圆心转动了：27tMm+1=n+1圈.2兀【答案】n-1和n+1【例9】如图,15枚相同的硬币排成一个长方形,一个同样大小的硬币沿着外圈滚动一周,回到起始位置.问：这枚硬币自身转动了多少圈？【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答【解析】当硬币在长方形的一条边之内滚动一次时,由于三个

18、硬币的圆心构成一个等边三角形,所以这枚硬币的圆心相当于沿着半径为硬币2倍的圆旋转了180©_60©-60©=60口.而硬币上的每一点都是半径等于硬币的圆旋转,所以硬币自身旋转了120°.当硬币从长方形的一条边滚动到另一条边时,这枚硬币的圆心相当于沿着半径为硬币2倍的圆旋转了360J60-60=90口=150,而硬币上的每一点都是半径等于硬币的圆旋转,所以硬币自身旋转了3000.长方形的外圈有12个硬币,其中有4个在角上,其余8个在边上,所以这枚硬币滚动一圈有8次是在长方形的一条边之内滚动,4次是从长方形的一条边滚动到另一条边.120cx8+3004=21

19、60,所以这枚硬币转动了21600,即自身转动了6圈.另解：通过计算圆心轨迹的长度,每走一个2式即滚动了一周.【答案】6圈【稳固】12个相同的硬币可以排成下面的4种正多边形圆心的连线.用一个同样大小的硬币,分别沿着四个正多边形的外圈无滑动地滚动一周.问：在哪个图中这枚硬币自身转动的圈数最多,最多转动了多少圈？【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答【解析】对于同样是12个硬币,所转动的圆心轨迹其实分为两局部,一是在“角上的转动,一是在“边上的滚动.抓住关键方法：圆心轨迹长度-2n=自身转动圈数.结论：一样多；都是6圈.【答案】一样多；都是6圈【例10】一枚半径为1cm的圆形硬币相互紧靠着

20、平放在桌面上,让一枚硬币沿着它们的外轮廓滚过后回到原来的位置,那么与原A点重合的点是,硬币自己转动,硬币圆心的运动轨迹周长为.曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答【解析】先计算轨迹的长度：三个半径为2的半圆,-x2X271x3=671,262n=3,即为3周,所以答案为A点,3周,6n.【答案】A点,3周,6汽【例11先做一个边长为2cm的等边三角形,再以三个顶点为圆心,2cm为半径作弧,形成曲边三角形如左图.再准备两个这样的图形,把一个固定住右图中的阴影,另一个围绕着它滚动,如右图那样,从顶点相接的状态下开始滚动.请问此图形滚动时经过的面积是多少平方厘米？n=3.14【考点】曲线型旋转问题

21、【难度】3星【题型】解答【解析】在处理图形的运动问题时,描绘出物体的运动轨迹是解决问题的第一步,只有大的方向确定了,才能实施具体的计算.图22图22222.2abC22图在数学中,此题所作出的这个曲边三角形叫“莱洛三角形,“莱洛三角形有一个重要的性质就是它在所有方向上的宽度都相同.为了求出“莱洛三角形滚动时经过的面积,可以分2步来思考：第1步：如图所示,当“莱洛三角形从顶点A的上方滚动到顶点A的左边时,这时阴影“莱洛三角形滚动的这局部面积是以A为圆心、2cm为半径、圆心角为60°的扇形.在顶点A、B、C处各有这样的一个扇形；第2步：如图所示,当“莱洛三角形在边AB上滚动时,这时可以把

22、阴影“莱洛三角形看作是以图中D点为圆心的圆的一局部,这个圆在以C点为圆心的弧AB上滚动,可知此时圆心D运动的轨迹是图中的弧DD',所以此时阴影“莱洛三角形滚动的这局部面积是以C为圆心、4cm为半径、圆心角为60°的扇形减去半径为2cm的60°的扇形;综上所述,去掉图中阴影“莱洛三角形后所形成的组合图形就是要求的面积.滚动时经过的面积是:3：|兀22-60360c260344236022父四360=8Tt=25.12(cm2).【答案】25.12【例12下列图为半径20厘米、圆心角为144°的扇形图.点C、DE、F、GHJ是将扇形【难度】3星【题型】解答的B

23、、K弧线分为8等份的点.求阴影局部面积之和.【考点】曲线型旋转问题【解析】如下列图,做出辅助线,KMA与ANG形状相同对应角相等,大小相等对应边相等,有KMNAANGSKMA-SANG,而LMA是两个三角形的公共局部,所以上图中的阴影局部面积相等.所以,GNMKW扇形KGA的面积相等,那么KGEB勺面积为2倍扇形KGA勺面积.扇形KGA勺圆心角为14土X3=54°,所以扇形面积为_54M20Oxn=6也平方厘米.8360那么KGEB勺面积为60nM2=120n平方厘米.如下列图,做出另一组辅助线.AJQA与ARH状相同对应角相等,大小相等对应边相等,有JQ心ARH,SjQA=Sarh=5AA,而PQA两个三角形的公共局部,所以右图中的阴影局部面积相等.所以,JHRQ与扇形JHA的面积相等,那么JHDC的面积为2倍扇形JHA的面积.扇形JHA的圆心角为14=180°,所以扇形面积为旭黑202父n=20几平方厘米.8360那么JHDC勺面积为20nM2=40几平方厘米.所以,原题图中阴影局部面积为SKGebSjhdc=120i4g=8g=80x3.14=251.2平方厘米.【答案】251.2【例13】10个一样大的圆摆成如下图的形斗犬.过图中所示两个圆心A,B作直线,