【素材】列代数式解析

1、列代数式一、本单元教学内容及要求1 .在现实情境中进一步理解用字母表示数的意义，掌握用字母表示数，在探索现实世界数量关系的过程中，逐步建立符号意识；2 .了解代数式的概念，会列出代数式表示简单的数量关系，掌握代数式的书写注意事项。二、学习指导1.代数式例1.下列各式中，哪些是代数式，哪些不是代数式。2_1_(1)(2)a(3)26+38(4)s=vt(5)a2+2ab+b2(6)1.(10)2(x-y)+32+3=5(8)3a>4b(9)5n+2分析：用运算符号把数字或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式。单独的一个数或者字母也是代数式，在理解这个定义时，应注意下述几个问题：(1)运算符

2、号是指加，减，乘，除，乘方和开方(乘方、开方运算以后再讲)这六种运算，不再包含其它运算。(2)等号不是运算符号，所以代数式中不允许有等号，同样不等号“>”或“<”号也不是运算符号。(3)代数式中可以有指定运算顺序的括号，如小括号，中括号和大括号。如2(x-y)+3是代数式。(4)代数式中可以不同时含有数字或表示数的字母，但数字和表示数的字母都没有，只含有运算符号，那就不是代数式。(5)单独的一个数或字母也是代数式。(6)注意研究代数式与指定的数集有关系，我们这一章是在有理数集上研究代数式。随着知识的不断增加，对代数式的认识也会不断深入。(7)(4)题S=Vt是公式，不是代数式；(7

3、)题2+3=5(8)题3a>4b中分别有“=”、">”，它们分别表示等式和不等式，也不是代数式。解：2J(1) 5;(2)a;(3)26+38;(5)a2+2ab+b2;(6)+J;(9)5n+2;(10)2(x-y)+3都是代数式；4) )s=vt,(7)2+3=5,(8)3a>4b不是代数式。点评：本题考查对代数式概念的理解。要注意含有等号和不等号的式子都不是代数式5) “字母表示数”的意义(1)从知识上看，用字母表示数体现了算术与代数的本质区别。(2)从思维方法上看，用字母表示数体现了直观形象思维向抽象思维的过渡，是认识上的一个飞跃。(3)用字母表示数具有两个

4、特点：第一，不确定性：字母表示数但并不代表某一个具体的数。例如字母a可以表示任意数，这反映了特殊与一般的关系。第二，抽象性：用字母表示数，是数的概念的发展，是更高层次上的抽象，这反映了现象与本质的关系。从确定的数到字母表示数，是数学方法由低级向高级，从具体到抽象，由特殊到一般的过渡，是学习代数的重要方法，应在学习中逐步体会。从算术到代数的过渡，就是要完成字母表示数的过程，在这个过程中要不断地摆脱具体数字概念的束缚，才能提高概括水平。例2.填空：(1)yX7I用代数式表示一般要写成;(2)长方形的面积是acm2,它的宽是bcm,那么它的长是cm,周长是cm；(3)某校同学向希望工程捐献图书，其中

5、有m个人每人捐献4本书，有n个人每人捐献a本书，那么他们一共捐献图书本；(4)一批冰箱原价每台售价m元，现在八折出售，出售了9台，销售额为元。解：15151(1) 2y,或2y或2；aa(2) 1,2(b+t);(3) (4m+an)；80(4) 9X100m,或9X80%m点评：本题考查书写代数式。这类问题的关键是准确理解题意，明确运算关系及运算顺序。书写代数式时要注意以下几点：在同一个式子中，不同的字母表示不同的数，相同的字母表示相同的数。在同一个问题中，不同的量必须用不同的字母表示。如长方形的长和宽必须用不同的字母来表示。在数字和表示数的字母相乘时，乘号可以省略，但要把数字因数写在字母因

6、数的前面。若1B也字母因数是带分数，通常要化成假分数。如(1)题yX7,写成了y或-T。口在含有字母的除法中，一般不用“一”号，而写成分数形式如(2)题中，长方形的长为b£不写成a-b的形式。1+a写成Q等。列代数式时不写单位名称，单位名称在答案中写出来，如果代数式是乘、除关系，单位名-2称写在式子后面，如(2)题中bcm,(4)题中9XlOQm元等；如果代数式是加，减关系，必须把代数式用括号括起来以后再写单位名称，如(3)题中的(4m+an)本.在不同的问题中，要注意字母的取值范围。如(3)中n,m,a均为自然数。例3.选择题(只有一个答案正确)巾+力D、AB、C均不符合要求下列各

7、式中表示方法符合代数式书写要求的是(32A、xy+3B、ax15bC、15Xxy分析：用书写代数式应遵循的一般要求进行检验,解：应选择D例4.说出下列代数式的意义：(1) 3a-b(2)3(a-b)(3)a2-b2(4)(a+b)(a-b)(5)图(6)3-a2(7)3a2(8)a-二解：(1)3a与b的差；或3a减去b的差；或a的3倍减去b；或a的3倍与b的差；(2)3与a-b的积；或a减去b的差的3倍；或a与b的差的3倍；(3)a与b的平方差；或a的平方减去b的平方的差，或a的平方与b的平方的差或a,b两个数的平方差；(4)a,b两个数的和与这两个数的差的积；(5)x除以ab的商，或x比a

8、b(6)3与a2的差；或3减去a的平方的差；(7)a的平方的3倍或3乘以a的平方；£(8)a减去a的差；或a与1除以a的商的差；或a与a的倒数的差。例5.用代数式表示：a的平方与b的2倍的差；m与n的和的平方与m与n的积的和；x的三分之二与y的一半的差；比a除b的商的2倍小4的数。212解：(1)a2-2b(2)(m+n)2+mn(3)3x-2y(4)也-4点评：都要认真审题，弄清题目中表，差(减)，积(乘)，商(除)，例4,例5类型不论是说出代数式的意义还是用代数式表示,示的有关的数量关系和运算顺序，要抓住关键词语，如和(加)大，小，多，少，倍，几分之几，倒数，平方，立方，增加到，

9、增加了等词语的意义。要注意题目中的“的”字的作用：如例5(1)题中共有3个“的”字，这三个“的”字把题目分成了三段：a的平方记作a2；b的2倍记作2b；把a的平方与b的2倍的差记作a2-2b。列代数式抓住“的”字把句子分成几个层次，逐层分析，一步步列出代数式。注意“除”与“除以”的意义是不同的,b_的商的2倍可记作2X写成oba除b就是b除以a的意思，表示为d，a除b例6.用代数式表示：(1)偶数，奇数；(2)三个连续整数；(3)被2除商m余3的数解：(1)2n,2n+1或2n-1(n为整数)(2)n,n+1,n+2(n为整数)2m+3(m为整数)点评：在处理整数，整除问题时，注意列出的代数式

10、中字母的取值范围。要在代数式后面特别指明三个连续整数也可以设中间整数为X,那么表示为x-1,x,x+1；也可以设最大的一个整数为n,它们表示为n-2,n-1,n.注意连续整数间数差为1被除数=除数x商+余数，(3)题实质上求的是被除数。例7.说出下列各组代数式的意义有什么不同。2(a+b),2a+b,a+2b61q-b(2) a2-,.(a2-b2),(1)2解法：(3) 2(a+b)是a与b的和的2倍；2a+b是a的2倍与b的和；a+2b是a与b的2倍的和。6?(4) a2-2是a2与b2的一半的差；1_亍(a2-b2)是a,b两数平方差的一半；a-b(2)2是a,b两数差的一半的平方点评：

11、注意理解运算顺序，如“和的积”和“积的和”运算顺序不同，前者是先和后积，后者是先积后和，又如“两数平方差”和“两数差的平方”运算顺序也不同，前者是先平方后差，式子是a2-b2,而后者是先做差后平方，式子是(a-b)2。例8.一个两位数，十位上的数字为a,且十位上的数比个位上数大3,试用含a的代数式表示个位上的数和这个两位数。分析：此类问题首先要弄清两位数是怎么回事，例如36这个两位数十位上的数是3,个位上的数是6,36=3X10+6,两位数二十位上的数X104位上的数，三位数二百位上的数X100+十位数上的数X10#位上的数解法：个位上的数为a-3,这个两位数为10a+(a-3)例9.一个三位

12、数的百位数字是5,十位数字为a,个位数字为b,这个三位数为把它的三位数字颠倒过来，这个三位数为o解法：500+10a+b,100b+10a+5.例10.x表示一个三位数，y表示一个两位数，如果把x放在y的左边，组成一个五位数，试表示这个五位数。分析：要想把x放在y的左边组成一个五位数，由于x表示一个三位数，y是一个两位数，需将x乘以100成为五位数，100x实质上是后两位为0的五位数，再加上y这个两位数，即成所求的五位数。解法：这个五位数为100x+yo例11.甲、乙两地之间公路全长为100千米，某人从甲地到乙地每小时走v千米，用代数式表示：(1)某人从甲地到乙地需要走多少小时？(2)若每小时

13、减少2千米，需要多少小时？(3)减速后比原来慢多少小时？分析：这个实际问题是研究距离，速度与时间的关系，属于行程问题。它的基本关系是：距距离距离离=速度X时间或者速度=时间，时间=速度，按照这个关系来具体分析本题不难找出它们的代数式。解法：100(1)某人从甲地到乙地需要走y小时100(2)若每小时速度减少2千米，此时速度为(v-2)千米，需要走二！小时。100100(3)减速后比原来慢(V-2-V)小时例12.用代数式表示下列问题的答案。(1)甲，乙二人从同一地点出发，甲每小时走akm,乙每小时走bkm,(b<a),用代数式表示：反向行走t小时，两人相距多少km?同向行走t小时，两人相

14、距多少km?反向行走，甲比乙早出发m小时，乙走n小时，两人相距多少km?同向行走，甲比乙晚出发m小时，乙走n小时(n>m)两人相距多少km?解法及分析：本题是行程问题两人从同一地点出发，反向而行，t小时后两人之间的距离为两人所走路程之和。得(a+b)tkm或(at+bt)km二人从同一地点出发，同向而行，t小时后两人之间的距离为两人所走路之差得(a-b)tkm或(at-bt)km.反向而行，甲比乙早出发m小时，故甲先走makm然后甲，乙又同时走n小时，分别走nakm,nbkm,这时两人之间的距离为他们所走的路之和。得(ma+na+nb)km,或者为ma+n(a+b)km或(m+n)a+n

15、bkm.同向而行，乙走n小时(n>m)乙走距离为nbkm,甲比乙晚出发m小时，那么甲走的路程为(n-m)akm,甲，乙两人同向而行，两人之间的距离为二人所走路程之差。当(n-m)a<nb时，得nb-(n-m)akm.当(n-m)a>nb时得(n-m)a-nbkm.(2)一项工程，甲队单独完成需用a天，乙队单独完成用b天，若两队全做，完成这项工程共需多少天？解法与分析：本题是工程问题，工程问题的特点是把完成整个工程看作1。甲队单独完成需用a天，则甲队每天完成工程的a,乙队单独完成需用b天，则乙队每天完成工程的B,甲，乙两人合作一天能完成工程的+Bo工程问题的基本关系是：工作量=

16、工作效率x工作时间，工作置工作量或者效率=时间，时间=效率。££因为甲，乙两人合作一天能完成工程的Z+E即合作的效率，工作量为1,由基本关系可得11r完成这项工程所需时间为05天。(3)某轮船在静水中的速度为vkm/时，水流速度为dkm/时，求这艘轮船在相距skm的两个码头间往返一次所需时间。解法与分析：本题为行程问题的特殊问题，它的特点是上游船速而水船速-水速；下游船速=静水船速+水速。这艘船在相距skm的两个码头间往返一次，若去时是下游，则返程为上游；若去时是上游，则返程是下游。故轮船往返一次为上游，下游各一次。上游船速为v-d,下游船速为v+do所以轮船往返一次所花的

17、时间为(v+d+v-d)小时(4)m亩地，亩产水稻a千克，n亩地亩产水稻b千克，求这些地平均亩产量总数分析：本题为平均数问题，其特点为：平均数=总份数解法：:总产量为(ma+nb)千克，总亩数为(m+n)亩ma+nb二.平均亩产量为m+x千克。北京四中1 .每包书有12册，n包书有册；()A、12+nB、12nC、12D、n2 .温度由tC下降2c后是C；()A、t+2B、(t-2)C、2tDt-23 .棱长是a厘米的正方体的体积是立方厘米()A、a2B、a3C、2aD、3a4 .产量由m千克增长10%,就达到千克()A、m+10%B、m-10%C、(1+10%)mD(1-10%)m5.4方可

18、以表述为(A、c除以ab的商C、c除a乘以b)B、c除a乘bD、c除以ab的倒数6.a2+b2可表述为()A、a的平方与b的和B、a力口b的平方C、a的平方与b的平方的和D、a的两倍与b的两倍的和7 .m与n的和除以10的商()A、m+一B、C、1一.D、1一8 .m与5n的差的平方；()A、m2-5n2B、m-5n2C、(m-5n)2Dm2-5n9 .a,b两数的平方差除以a与b的差的平方的商用代数式表示为()("6尸/一方"a-bA:L"b、l：.C、.:D、一,一.10 .下面各题后面的代数式中错误的是()A、a的3倍与b的2倍的和为3a+2baB、a除以b

19、的商与2的差的平方为(&-2)2C、a,b两数和，乘以a,b两数差为(a+b)(a-b)J1D、a与b的和的4为a+4b答案：1、B2、B3、B4、C5、A6、C7、B8、C9、A10、D分析：用代数式表示用语言叙述的数量关系要注意：弄清代数式中括号的使用；字母与数字做乘积时，习惯上数字要写在字母的前面北京四中代数式考点才3描：1 .掌握用字母表示数的意义.2 .了解代数式的概念，能用语言准确表达代数式所表示的数学意义.名师精讲：1 .用字母表示数的意义：用字母表示数是代数的一个重要特点，它的优点在于能简明、扼要、准确地把数和数之间的关系表示出来，深刻地揭示数量之间的联系，为我们学习数

20、学和应用数学带来方便.2 .代数式的概念：用字母表示数以后，出现了一些用运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子，我们把它们称为代数式.单个的数字或字母也可以看作代数式.注意：数与数之间、数与字母之间、字母与字母之间的运算符号是指加、减、乘、除、乘方及以后将学到的开方运算符号，但不包括=、*、等表示数量关系的关系符号.凡带有关系符号的式子都不是代数式.3 .代数式的书写形式：(1)数字与字母、字母与字母相乘时，乘号可以省略不写或用“”代替.省略乘号时，数字因数要写在字母因数前面，数字是带分数时要改写成假分数；数字与数字相乘仍用“X”号.(2)代数式中出现除法运算时，一般要写成分数的形式.(3)

21、用代数式表示某一个量时，代数式后面带有单位，如果代数式是和、差形式，要用括号把代数式括起来.4 .用语言表达代数式的数学意义时，既要正确表达式子中所含有代数运算以及它们的运算顺序，又要注意语言的简练准确.说明：本节知识是一些概念性的知识，是以后学习整式、分式、无理式、方程等概念的基础，在中考中较少单独命题.列代数式考点才3描：会用代数式表示简单的数量关系.名师精讲：列代数式就是把问题中的表示数量关系的语言用代数式表示出来.列代数式时需要注意：(1)认真审题，分析问题中的数量关系，正确理解问题中的一些关键性术语，如“和、差、积、商、倍、几分之几、大、小、多、少、提高了、提高到，”等.(2)要注意

22、题目的语言叙述表示的运算顺序，按“先读的先算”(写)的原则，逐步列出代数式.(3)根据问题中的运算顺序，适当添加括号.中考典例：1.(黑龙江省哈尔滨市)我国政府为解决老百姓看病难的问题，决定下调药品价格.某种药品在1999年涨价30%后，2001年降价70%至a元，则这种药品在1999年涨价前的价格为元.考点：列代数式评析：因为该药品经过两次调价后的价格是a元，而所求的问题是第一次调价前的价格，可a_100用逆向思维的方法来解：因为2001年降价70%1a元，所以降价前的价格应为1-70%30,100100仃用同样的方法可列出第一次调价前的价格为30+(1+30%)整理得3g.2 .(安徽省)

23、某音像社对外出租光盘的收费方法是：每张光盘在租出后的头两天每天收0.8元，以后每天收0.5元，那么一张光盘在租出的第n天(n是大于2的自然数)应收租金元.考点：列代数式评析：因为租出的第n天中包括前两天，所以每天收0.5元的天数应是n-2,那么第n天应收的租金为1.6+0.5(n-2)整理为0.6+0.5n说明：解答该题时一定要注意条件，n是大于2的自然数.3 .(福建福州)观察下列各式：12+1=1X2,22+2=2X3,32+3=3X4,请你将猜想到的规律用自然数n(n>1)表示出来.考点：列代数式的运用评析：该题是通过观察寻找规律，用代数式表示所得规律的问题，这是近年中考命题的热点问题，目的是考查学生观察分析及探究的能力.通过观察分析，该题的左边是一自然数的平方加上这个自然数，右边是这个自然数与下一个自然数的积，所以其规律用自然数n(n>1)来表示应为：n2+n=n(n+1)4 .(北京东