[整理]数学物理方程的感想

1、数学物理方程的感想通过对数学物理方程一学期的学习,我深深的感受到数学的伟大与博大精深.当应用数学开展到一定高度时,就会变得越来越难懂,越来越抽象,没有多少实际的例子来说明；物理正好也要利用数学来进行解释和公式推导,所以就出现了数学物理方法.刚开始到结束这门课程都成了我的一大问题.很难理解它的真正意义含义,做题不致从何入手,学起来越来越费力.让我很是绞尽脑汁.后来由于老师耐心的指导与帮助下我开始有了点理解.用数学物理方法来解释一些物理现象,列出微分方程,当然这些微分方程是以物理的理论列出来的,如果不借助于物理方法,数学也没有什么好方法来用于教学和实践,而物理的理论也借助于数学方法来列出方程,解出

2、未知的参数.这就是数学物理方法的根本实质所在.真正要学好数学物理方程不仅要数学好物理也不能够太差.接下来我想先对数学物理方程做一个简单的介绍与解释说明.数学物理方程一一描述许多自然现象的数学形式都可以是偏微分方程式特别是很多重要的物理力学及工程过程的根本规律的数学描述都是偏微分方程,例如流体力学、电磁学的根本定律都是如此.这些反映物理及工程过程的规律的偏微分方程人们对偏微分方程的研究,从微分学产生后不久就开始了.例如,18世纪初期及对弦线的横向振动研究,其后,对热传导理论的研究,以及和对流体力学、对位函数的研究,都获得相应的数学物理方程信其有效的解法.到19世纪中叶,进一步从个别方程的深入研究

3、逐渐形成了偏微分的一般理论,如方程的分类、特征理论等,这便是经典的偏微分方程理论的范畴.然而到了20世纪随着科学技术的不断开展,在科学实践中提出了数学物理方程的新问题,电子计算机的出现为数学物理方程的研究成果提供了强有力的实现手段.又由于数学的其他分支如泛函分析、拓扑学、群论、微分几何等等也有了迅速发展,为深入研究偏微分方程提供了有力的工具.因而,20世纪关于数学物理方程的研究有了前所未有的开展,这些开展呈如下特点和趋势：一、在许多自然科学及工程技术中提出的问题的数学描述大多是非线性偏微分方程、即使一些线性偏微分方程作近似处理的问题,由于研究的深入,也必须重新考虑非线性效应.对非线性偏微分方程

4、研究,难度大得多,然而对线性偏微分方程的已有结果,将提供很多有益的启示.二、实践中的是由很多因素联合作用和相互影响的.所以其数学模型多是非线性偏微分方程组.如反响扩散方程组,流体力学方程组电磁流体力学方程组,辐射流体方程组等,在数学上称双曲一抛物方程组.三、数学物理方程不再只是描述物理学、力学等工程过程的数学形式.而目前在化学、生物学、医学、农业、环保领域,甚至在经济等社会科学住房领域都不断提出一些非常重要的偏微分方程.四、一个实际模型的数学描述,除了描述过程的方程或方程外,还应有定解条件如初始条件及边值条件.传统的描述,这些条件是线性的,逐点表示的.而现在提出的很多定解条件是非线性的,特别是

5、非局部的.对非局部边值问题的研究是一个新的非常有意义的领域.五、与数学其他分支的关系.例如几何学中提出了很多重要的非线性偏微分方程,如极小曲面方程,调和映照方程,方程等等.泛函分析、拓扑学及群论等现代工具在偏微分方程的理论研究中被广泛应用,例如空间为研究线性信非线性偏微分方程提供了强有力的框架和工具.广义函数的应用使得经典的线性微分方程理论更系统完善.再就是计算机的广泛应用,计算方法的快速开展,特别是有限元广泛的应用,使得对偏微分方程的研究得以在实践中实现和检验.接下来举几个例子来更确切的了解数学物理方程.一检验下面两个函数：,、I1,、x.ux,y=ln,ux,y=esiny2y2都是方程u

6、xxuyy_0的解.,、-1证实：iux,y=1n.-2y2Ux:x2y2(-)32X;-(X2y2)2x22x2y2XXx2y2-x2xx2-y2(x2y2)2=(x2y2)2Uy=x2y2(-1)1-32y)由于(x2y2)2x2y2-y2yy2-x2Uyy-(x2y2)2-(x2y2)2x2-y2y2-x2uu=二0xxyy(x2y2)2(x2y2)222x2y2所以u(x,y)=ln,1是方程Uxx+uyy=0的解.,x2y2(2)u(x,y)x.=esiny由于Uxuy.x.x=sinye,uxx=sinye_x_x二ecosy,uyy-esiny所以Uxxxxuyy=exsiny-

7、exsiny-0u(x,y)=exsiny是方程Uxx+Uyy=0的解.二求解下述定解问题:Uxx+Uyy=07(0,y),U(a,y)=0U(x,0)=g(x),U(x,b)=0解：u=Ui(x,y)“(x,y)其中Ui(x,y)满足'uxx+Uw=00<x<a,0<y<b人人yy>ju(0,y)=0,u(a,y)=00二y:bu(x,0)=g(x),u(x,b)=00<x<aU2(x,y)满足Ux+uw=00<x<a,0<y<bxxyy(2)«u(0,y)=f(y),u(a,y)=00<y<bu

8、(x,0)=0,u(x,b)=00<x<a心口二一工sh/a)2二1u2(x'y)F：J斫丽用别离变量法解得(1)得ag()sinJsh3sin叮0aaab.n二,n二(x-a)of()sindsh-sin(三)求解定解问题0x：l,t0t00xlutt=a2uxx,(ux|x4=0,u|xi=0,、.3.n&t=0X,utt=0-0,X(x)X(x)解：令特解U(x,t)=X(x)T(t)满足齐次方程和齐次边界条件,那么X(x)T(t)=a2X(x)T(t)=a2T(t)丁(t)+?a2T(t)=0代入边界条件得X=X(l)=0从而得到决定X(x)X(x)=0&#

9、39;X(x)+九X(x)=0X(x)的如下常微分方程边值问题丫/1、n,X(0)=X(l)=0,通解X(x)=Ae+BeTx带入边九<0,r2+九=0,r=土界条件有'A-B=0L"0qn由于系数行列式AeBe-=0即X(x)三0,无非零解.1d一'1e-1e-1le#0所以A=B儿=0,通解X(x)=Ax+B带入边界条件有'A=0一、,、八一.4=.=八让0,即*(幻三0,无非零解.r2+九=0,r=±iy/T,通解X(x)=AcosVx+BsinVx所以X(x)=-"AsinJTx+JTBcosJTx带入边界条件有B=0COSl

10、=；1=(k1,k=0,1,2川=02所以及:产1/2)"2,k=0,1,2|l特征函数为Xk(x):AkCos(k1/2)xoOu(x,t)-%Tk(t)cosk0(k1/2)二x1Tk(t)(k1/2)二a12_Tk(t)=0再代入初始条件得：(k1/2)二x3u(x,0)=,T<(0)cos二xk-01(k1/2)二x八ut(x,0)="Tk(0)cos二0k=01213(k1/2)二x,Tk(0)二一xcos-dx=晨0由正交性知21(k1/2)二xTk(0)=-0cos-dx=0l0一一.T(t)(k1/2)ai2T(t)=0a所以,得到Tk的常微分方程初值

11、问题kl人)一0解得Tk(0)=k,Tk(0)=0Tk=Ckcos(k1/2)二atDksin(k1/2)二at代入初始条件得Ck=Dk=04l34824(2k1)二(2k1)3二32lkx(k1/2)二xcosl(2k1)4,k=2ndx=34l34824(2k1)二-(2k1)>(2k1)433IH,k=2n1所以Tk=kcos(k1/2)at因此u(x,t)33148-24(4k-3)二(4k-3)二4l3：(4k-3)4-433用4824(4k-1)二-(4k-1)3二34(4k-1)4(4k-3)二a(4k-3)二costcos2l2l(4k-1)二a(4k-1)二cos1co

12、s2l2lxx类似这样的题就是我们在数学物理方程中所要经历和了解的知识点.看似很难,很难理解可是当你用心仔细分析我相信也是会明白一二的.本人对这门课程以及老师的想法:在我认为刻苦专研是学生学习最根本的要求,教师是学生增长知识和思想进步的导师.教师队伍师德师风素质的上下,直接关系到素质教育的顺利实施,直接关系到青少年的健康成长,而刻苦与努力程度直接关系到我们自身的将来好坏,更遥远的说直接关系到祖国的未来.热爱学习,热爱探究,热爱专研与思考是我们当代大学生本应具有的水平.每位同学都应当忠诚于学校教育,在实际学习中,兢兢业业、勤勤恳恳、在学习的旅途上发出光和热.只有热爱学习,才能去深切的体会到学习的重要性,如果作为一个学生连最根本的学习都没有做好,连最根本都没有做好,那么又怎么能说你是一位合格的大学生呢？再次,在一本书刊上,我看到这样一那么报道：一节自习课上,一名教师因辅导学生练习,故托堂几分钟.这时,外面起了雨,某学生讲台放了一张条：“你耽误了我们放学时间.教师见后,并无不满,而是公开向