三角函数化简求值证明技巧

1、2tan值tan"1er变形令第三讲、三角函数的化简、计算、证实的恒等变形的应用技巧1、网络相除cm2a=co/值一sinJa=2eos2a-1=12sin1a2112b=2血口acosu移项af2aM31+cos<=2cos2-cos=2sin一2.C£11-COSGsin=土2 V2a.|1+coscr3 土2V2相除si口月+smB=2ml生心costan-±J21-Fcosarsina_114-cosasinarCQS-CQS£二-251T1sm.j4+2.j4-3sin-sin£f=2cossin2r,+日cosA+cos

2、63;二coscos22、三角函数变换的方法总结(1)变换函数名对于含同角的三角函数式,通常利用同角三角函数间的根本关系式及诱导公式,通过“切割化弦,“切割互化,“正余互化等途径来减少或统一所需变换的式子中函数的种类,这就是变换函数名法.它实质上是“归一思想,通过同一和化归以有利于问题的解决或发现解题途径.【例118同时满足厘SEC,20和AssNg-cjsedn%,且a、b均不为0,求a、b的关系.21tana练习：sin(a+B)=§,cos(aB)=+,求t皿6的值2)变换角的形式对于含不同角的三角函数式,通常利用各种角之间的数值关系,将它们互相表示,改变原角的形式,从而运用有

3、关的公式进行变形,这种方法主要是角的拆变.它应用广泛,方式灵活,如a可变为a+BB；2a可变为a+0十aB;2aB可变为aB+a；a/2可看作a/4的倍角；45°+a可看成900+2a的半角等等.【例2】求sin(9+750)+cos(9+45°)值cos(8+15°)的值.%3CO£练习=一,cos图-二二八5%5,求何比-taiiB的值【例3】sina=Asin(a+B)(其中cosBwA),试证实：tansinj3(a+p)=cos§一月提示：sin(a+B)0=Asin(a+B)利用特殊角的三角函数值以及含有1的三角公式,将原式中的1或

4、其他特殊值用式子代换,往往有助于问题得到简便地解决.这其中以“1的变换为最常见且最灵活.“1可以看作是sin2x+cos2x,sec2xtan2x,csc2xcot2x,tanxcotx,secxcosx,tan450等,根据解题的需要,适时地将“1作某种变形,常能获得较理想的解题方法.十一.61smrcosx【例4】化简：工-(4)和积互化积与和差的互化往往可以使问题得到解决,开幕和降次实际上就是和积互化的特殊情形.这往往用到倍、半角公式.【例5】解三角方程：sin2x+sin22x=sin23x(5)添补法与代数包等变换一样,在三角变换中有时应用添补法对原式作一定的添项裂项会使某些问题很便

5、利地得以解决.将原式“配上一个因子,同时除以这个式子也是添补法的一种特殊情形.5m2-1+cosx【例6】求证：0工+3门-1)(血芹-cosx+D=而夭(6)代数方法三角问题有时稍作置换,用各种代数方法对三角函数式作因式分解、等量置换等的变形,从而将三角问题转换成代数问题来解,而且更加简捷.这其中有设元转化、利用不等式等方法.2,acos4CL_11【例7】锐角a、B满足条件8/尸产,那么以下结论中正确的选项是()7T开A.a+0w2B.a+0<2汗不C.a+0,D.a+0=2(7)数形结合有的三角变换问题蕴含着丰富的几何直观,此时假设能以数思形,数形渗透,两者交融,那么可开辟解题捷径

6、.利用单位圆,构造三角形,利用直线、曲线的方程等方法都是数形结合的思想.启1Q1sina+sttip=cosor-I-cosJ?=z田【例9：4,3,求Ei(a+的值.5.非特殊角的化简、求值问题的解题方法探究非特殊角的化简求值是给角求值中一类常见的三角求值类型,对于此类求值问题,由于涉及到的三角公式及其变形灵活多样,因而如何利用三角公式迅速准确的求值应是解决这类问题的重点,现在我们通过一个题目的解法探寻,体会非特殊角三角函数的求法.【题目】求严电20°-4油20°的值.练习7V内开文,8U1假设42,那么出-9门28的值为(A.cas5sin8B.sm-cos6C.&am

7、p;smSD.忘2日,4q2函数P=x+c°s的值域是(A,卜川IC七.即3.等腰三角形顶角的余弦值等于()回A.103如)B.D.45,那么这个三角形底角的正弦值为B.C.3而10D.10,tan70-q：qs104.A.-1B.1C.2D.-2二、辅助角公式及其应用辅助角公式对于形如y=asinx+bcosx的三角式,可变形如下:y=asinx=bcosx,a2b2(sinxa、a2b2cosxb).,a2b21求周期例1求函数y2cos(x)cos(x)J3sin2x的最小正周期.2.求最值例2.函数f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x.假设x0,求f(x)的最大值和最小值.23求值域6k1例4.求函数f(x)COS(6k12x)cos(2x)2,3sin(2x)3(xR,kZ)的值域.4图象对称问题例6.如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=对称,那么a=()(A)短(B)短(C)1(D)-15.图象变换133例7函数y-cos2sinxcosx1,xR.该函数的图象可由22图象经过怎样的平移和伸缩变换得到ysinx(xR)的6.求值例8.函数f(x)=V3sin2x+sinxcosx.设aC(0,兀),