专升本高等数学第三章微分中值定理与导数的应用

1、第三章微分中值定理与导数的应用【测试要求】1 .掌握罗尔中值定理、拉格朗日中值定理并了解它们的几何意义.2 .熟练掌握洛必达法那么求“0/0、“8/8、“08、“88、“广、“0°和“8°型未定式极限的方法.3 .掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法,会利用函数的增减性证实简单的不等式.4 .理解函数极值的概念,掌握求函数的极值和最值(最大值和最小值)的方法,并且会解简单的应用问题.5 .会判定曲线的凹凸性,会求曲线的拐点.6 .会求曲线的水平渐近线与垂直渐近线.【测试内容】一、微分中值定理1 .罗尔定理如果函数y=f(x)满足下述的三个条件：(1)在

2、闭区间.,句上连续；(2)在开区间(/)内可导;(3)在区间端点处的函数值相等,即/(.)=/(),那么在,Z?)内至少有一点J<b),使得f'(4)=0.说明：通常称导数等于零的点为函数的驻点(或稳定点,临界点),即假设/'(%)=0,那么称点/为函数/(x)的驻点.2 .拉格朗日中值定理如果函数y=fx满足下述的两个条件：1在闭区间句上连续；2在开区间.,匕内可导,那么在4,b内至少有一点Ja<<b,使得下式拉格朗日中值公式成立：说明：当/S=/.时,上式的左端为零,右端式S-.不为零,那么只能尸4=0,这就说明罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形.此外,

3、由于拉格朗日中值定理在微分学中占有重要的地位,因此有时也称这定理为微分中值定理.3 .两个重要推论1如果函数/X在区间/上的导数恒为零,那么/X在区间/上是一个常数.证：在区间/上任取两点、X2假定玉工2,同样可证,应用拉格朗日中值公式可得/王一/%=/"0工2玉%V4V/由假定,/e=0,所以/玉=0,即/=/N.由于内、公是/上任意两点,所以上式说明/X在区间/上的函数值总是相等的,即/X在区间/上是一个常数.2如果函数/X与gO在区间.力内的导数恒有/工=g'X,那么这两个函数在.,人内至多相差一个常数,即fxgx=CC为常数.证:设Fx=/x-gx,那么Fx=/xgx

4、'=fx-gXx=0,根据上面的推论可得,尸x=C,即fx-gx=C,故/x-gx=C.二、洛必达法那么1.不一.时“2型未定式的洛必达法那么o如果函数/X及/x满足下述的三个条件:1当X4时,函数/X及/X都趋于零；2在点4的某个去心邻域内fx及Ffx都存在且尸'XW0；vfx、一3lim存在或为无穷大,1 尸X于X/'X那么lim-=lim-.FxfFx/'xfW/rx说明：这就是说,当hm存在时,hm也存在且等于hm:当尸'x-FxfF'x./'x.fxhm为无穷大时,也是无穷大.FxFx2） X.8时“9型未定式的洛必达法那么0如

5、果函数/X及尸X满足下述的三个条件:1当XfS时,函数/X及尸X都趋于零：2当国X时/'X及尸X都存在且尸X.0；./'x、3） lim-存在或为无穷大,28尸Xfxfrx那么lim-=lim-.fcrF'y说明：我们指出,对于xfa或x8时的未定式“一,也有相应的洛必达法那么.0003.使用洛必达法那么求“一型或“一型极限时的考前须知0000OO1使用洛必达法那么之前要先判断所求极限是不是“一型或“一型,如果不是那么不0OO,smx能使用洛必达法那么.例如：lim就不能运用洛必达法那么,直接代入求极限即可,故.v->|xsincsinx92lim=-二.x-&g

6、t;-Xn719-202洛必达法那么可屡次连续使用,也就是说,如果使用一次洛必达法那么后算式仍然是“一000型或“一型,那么可再次使用洛必达法那么,依此类推.000003洛必达法那么是求“一型或“一型未定式极限的一种有效方法,但最好能与其他000求极限的方法结合使用,例如能化简时应尽可能先化简,可以应用等价无穷小替代或重要极tanx-x限时,应尽可能应用,这样可以使运算简便.例如：求hm时,可先用xtanxftanx进行无穷小的等价替换,然后再用洛必达法那么,故tanx-xtanx-xsecr-1tarrx1lim；=lim；=lim；=lim-=-.工rtanx入Tx工-3jt334如果求极

7、限的式子中含有非零因子,那么可以对该非零因子单独求极限即可以先求出Insin2x这局部的极限,然后再利用洛必达法那么,以便简化运算.例如：求hm时,so.Insin3xlnsin2xsin3x-cos2x-2一2sin3x_23x.lim=lim=lim=lim=1,从第Insin3xsin2x-cos3x-3-o+3sin2x广32x二步到第三步的过程中,分子上的因子cos2x和分母上的因子cos3x当x-0+时极限均为1,故可先求出这两局部的极限以便化简运算./'X5当洛必达法那么的条件不满足时,所求极限不一定不存在,也即是说,当hm不x+sinx存在时等于无穷大的情况除外,lim

8、L仍可能存在.例如：极限lim一-一二,Fxfx(x+sinx)1+cosxlim-=lim=lim(l+cosx)极限是不存在的,但是原极限AT81XT8=1+0=1.Ix+sinx八sinx、.sinx是存在的,lim=lim(l+)=l+limA>XxA-KC(4.其他类型的未定式0s八除了“一型或“一型未定式之外,还有其他类型的未定式,如“08、“88、08i(r"、“0°及“8°型等.对于“08和“88型的未定式,处理方法为将它们直接转化成“-或“型；对于“亡、“0°及“8°型的未定式,处理方08八08法为先取对数将它们转化成“

9、08型,然后再转化成“一型或“型未定式.000三、函数单调性的判定法1.单调性判定法设函数y=/(x)在句上连续,在(.力)内可导,(1)如果在(,人)内/'(x)>0,那么函数y=/(x)在,句上单调增加；(2)如果在(4,6)内/'(x)<0,那么函数y=/(x)在,句上单调减少.说明：如果把这个判定法中的闭区间改为其他各种区间(包括无穷区间),结论也成立;假设判定法中/'(X)在(.力)内只有有限个点上,尸(x)=0,而在其余点上恒有fXx)>0(或/'(x)<0),那么函数/(x)在区间.,匕上仍然是单调增加(或单调减少)的.2

10、.单调区间的求法设函数/(X)在定义区间上连续,除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续,那么求函数/(X)的单调性的步骤如下:1求出函数/X的定义域；2求出函数/X的导数/'X,并令7'0=0求出函数的驻点：此外,再找出导数不存在的点一般是使得了'X分母为零的点：3用函数/X的所有驻点和导数不存在的点来划分函数的定义区间,然后用单调性判定定理逐个判定各个局部区间的单调性.3 .用单调性证实不等式函数/X的单调性还可以用来证实不等式,步骤如下：1将不等式的一边变为零,不等于零的一边设为/X,根据要证实的式子找出不等式成立的X的范围/：2求/*的导数/'X,判断广

11、X在上述/范围内的符号即正负：3根据范围/的边界值与f'R的情况,导出所需要证实的不等式即可.例如：试证实当x>l时,2«>3.X证实：原不等式即为23H,故令/'x=2.-fx3d,X>0,XX那么fx=-=-=-1,/*在1,+8上连续,在1,+8内yJX厂厂/V>0,因此在1,+8上/X单调增加,从而当X>1时,fx>/l,又由于/1=0,故fx>0,即-3T>0,亦即2>3.XX四、函数的凹凸性与拐点1 .函数凹凸性的定义设函数/X在区间/上连续,如果对/上任意两点X、*2,恒有f-一!一那么称/X在/上的

12、图形是向上凹的或凹272弧：如果恒有'$；/82,那么称/*在/上的图形是向上凸的或凸弧.如果函数/x在/内具有二阶导数,那么可以利用二阶导数的符号来判定曲线的凹凸性,如下所示.2 .函数凹凸性的判定法设函数/x在区间凡切上连续,在.力内具有一阶和二阶导数,那么1假设在.力内/"X0,那么/X在,句上的图形是凹的：2假设在他,加内/"X0,那么/X在.,切上的图形是凸的.说明：假设在.,匕内除有限个点上/犬=.外,其它点上均有了".0或/"x0,那么同样可以判定曲线y=/x在.,句上为凹曲线或凸曲线.3 .曲线的拐点的求法一般地,设y=/O在区间

13、/上连续,/是/的内点除端点外/内的点.如果曲线y=/x在经过点玉,/毛时,曲线的凹凸性改变了,那么就称点x0,/x0为这曲线的拐点.我们可以根据下述步骤求区间I上的连续函数y=/工的拐点：求/"x；2令fx=0,解出这方程在区间I内的实根,并求出在区间I内/"X不存在的点：3对于2中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点X.,检查了X在X.左、右两侧邻近的符号,当两侧的符号相反时,点%,/%是拐点,当两侧的符号相同时,点/,/七不是拐点.在切上单3.根本初等函数的微分公式说明：假设要求函数'=/工的凹凸区间,那么用2中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点把区间/分成

14、假设干局部区间,然后在这些局部区间上判定了X的符号,假设那么该局部区间为凹区间,假设/"x0,那么该局部区间为凸区间.五、函数的极值与最值1 .函数极值的定义设函数/x在点七的某邻域内有定义,如果对于去心邻域.%内任一X,有了Xv/,X0或/x/工0,那么就称/%是函数/X的一个极大值或极小值.函数的极大值与极小值统称为函数的极值,使函数取得极值的点称为极值点.说明：函数的极大值与极小值概念是局部性的,如果/X.是函数/X的一个极大值,那只是就入0附近的一个局部范围来说,/%是/X的一个最大值,如果就/X的整个定义域来说,/毛不见得是最大值.关于极小值也类似.2 .函数取得极值的必要

15、条件设函数/x在/处可导,且在x0处取得极值,那么/'x=0.说明：这也就是说,可导函数/X的极值点必定是它的驻点.但反过来,函数的驻点却不一定是极值点.例如,/幻=/的导数/'幻二3/,/'0=0,因此x=0是这函数的驻点,但x=0却不是这函数的极值点,所以,函数的驻点只是可能的极值点.此外,函数在它的导数不存在的点处也可能取得极值.例如,函数/x=k|在点x=0处不可导,但函数在该点取得极小值.3 .判定极值的第一充分条件O设函数/X在/处连续,且在X.的某去心邻域U%内可导.1假设XEX05,Xo时,/'x0,而不£毛,毛+5时,/fx0,那么/

16、X在X.处取得极大值：2假设工£*05,工0时,/'XO,而%,%+5时,/'00,那么/0在X.处取得极小值：3假设xeUXo,5时,/'x的符号保持不变,那么/x在/处没有极值.4 .用第一充分条件求极值点和极值的步骤设函数/x在所讨论的区间内连续,除个别点外处处可导,那么用第一充分条件求极值点和相应的极值的步骤如下：1求出导数/'x；2求出了X的全部驻点与不可导点；3考查了'X的符号在每个驻点或不可导点的左右邻近的情形,以确定该点是否为极值点：如果是极值点,进一步确定是极大值点还是极小值点；4求出各极值点的函数值,就得函数/X的全部极值.

17、5 .判定极值的第二充分条件设函数/X在X.处具有二阶导数且/'%=0,/"不.,那么1当/"不0时,函数/X在七处取得极大值；2当/"玉0时,函数/X在X.处取得极小值.说明：该极值判定条件说明,如果函数/X在驻点七处的二阶导数/"天.,那么该驻点不一定是极值点,并且可按二阶导数/"不的符号来判定了%是极大值还是极小值.但如果/Xo=O,那么该判定条件失效.事实上,当了'Xo=O,/%=0时,/x在/处可能有极大值,可能有极小值,也可能没有极值.例如,fX=-X4,f2x=x4,力*=/这三个函数在x=0处就分别属于上述三种情

18、况.因此,如果函数在驻点处的二阶导数为零,那么还得用一阶导数在驻点左右邻近的符号来判定.6 .求/X在区间4,切上的最值的步骤设函数/X在闭区间凡切上连续,在开区间4,内除有限个点外可导,且至多有有限个驻点,那么求/X在闭区间上的最值的步骤如下：1求出/X在4,.内的驻点内,公,Xm及不可导点X：,X；：2计算/乙=1,2,？,fx；=1,2产,及fa,于b；3比拟2中诸值的大小,其中最大的便是/X在.,匕上的最大值,最小的便是/X在凡瓦|上的最小值.说明：在实际问题中,往往根据问题的性质就可以断定可导函数/X确有最大值或最小值,而且一定在定义区间内部取得.这时如果/X在定义区间内部只有一个驻

19、点X.,那么不必讨论了X.是不是极值,就可以断定/%是最大值或最小值.六、函数的渐近线的求法1 .水平渐近线假设lim/x=.包括lim/x=或lim/x=Q,那么直线y=a就是工T8A->-XA->-HX函数fx的水平渐近线.2 .垂直渐近线或称铅直渐近线假设lim/x=8包括lim/x=s或lim/x=8,那么直线工=/就Xf卬4一XT是函数/X的垂直铅直渐近线.【典型例题】/、1.-tc5zr【例3-1验证罗尔定理对函数fx=Insinx在区间一,上的正确性.66、.兀57rlz7C54、解：显然函数/x=lnsinx在闭区间一,上连续,在开区间一,上可导,6666fx)=(

20、lnsinx)z=!cosx=cotx,且/(生)=/(2)=-ln2,故满sinx66足罗尔定理的条件,由定理可得至少存在一点4E(工,2),使得f'(4)=0,即66cot4=0,4=g即为满足条件的点.【例3-2涵证拉格朗日中值定理对函数f(x)=4x28x2在区间0,1上的正确性.解：显然函数/(x)=4x28x2在闭区间0上连续,在开区间(0,1)内可导,/'(x)=8x8,根据拉格朗日中值定理可得至少存在一点4七(0),使得/(l)-/(0)=/zOl-0),即6(2)=8J8,可得q=Jc(0,l),4=1即为满足条件的点.2【例3-3不求导数,判断函数/(x)=

21、01).-2)(X-3)(1-4)的导数有几个零点,这些零点分别在什么范围.解：显然/(x)是连续可导的函数,且/(l)=/(2)=/(3)=f(4)=0.故/(x)在区间1,2,2,3,3,4上满足罗尔定理的条件,所以在区间(1,2)内至少存在一点&,使得/'(0)=0,即0是/'(X)的一个零点：在区间(2,3)内至少存在一点乙,使得/'(刍)=0,即4?是/'(X)的一个零点；又在区间(3,4)内至少存在一点盘,使得/'(孱)=0,即刍也是广*)的一个零点.又由于了'(X)是三次多项式,最多只能有三个零点,故/'(X)恰好有

22、三个零点,分别在区间(1,2),(2,3)和(3,4)内.【例3-4】证实arcsinx+arccosx=C,其中一2证实：设f(x)=arcsinx+arccosx,xe-lj,由于/'(x)=<1+(-/1)=0,Vl-X2y/l-X2所以f(x)=C,xe-l,l.又由于/(0)=arcsin0+ai-ccosO=0+=,即C=上71arcsinx+arccosx=271,、说明：同理可证,aivtanx+arccotx=,xe(-oo,+<x).2【例35】求以下函数的极限.3x+21.求lim-；nx-x-x+1 0解：该极限为X->1时的“一型未定式,由洛

23、必达法那么可得0.、r3x2-3r6x3原式二lim=11in=f3r-2x-t6x-22兀arctanx2 .求lim-.XT+ocIX0解：此题为Xf+CO时的“一型未定式,由洛必达法那么可得01原式=lim十.=lim=1.工T+OCJKT+OC+尸一lnsin2x3 .求lim5- Insin3x解：该极限为戈-0时的“一型未定式,由洛必达法那么可得00原式=limcos2x-2sin2xcos3x-3sin3x2sin3x.23x1=lim=lim=1.3sin2xd+32xtanx4 .求lim.tan3x271OO解：此题为X时的“一型未定式,由洛必达法那么可得28sec2x-c

24、os23x_2cos3x-(-sin3x)-3原式二lim；=lim-=lim工杉3seer3xY3cos-x工杉6cosx(-sinx)cos3x-3sin3x=lim=lim=3.Y-cosx,r->-sinx22一tanx-x5 .求lim-.3厂tanx解：该极限为xfo时的“9型未定式,结合等价无穷小的替换,运用洛必达法那么可得0tanx-xrsec2x-1-2sec2xtanx2x1原式二lim；=lim；=lim=lim=-.工/03厂,306x-6x3说明：此题也可这样求解运用公式sec?x=+tan2x和等价无穷小替换来简化运算:9A79-tanx-xrsecx-1ta

25、n-x一厂1原式=lim：=lim；=lim-=lim-7=一.10%353厂工3r36 .求limdsinxx八11解：该极限为X.时的“8S型未定式,解决方法为先化为“一一一型,然后000通分化为“一型,故0一x-sinxx-sinx-1-cosx一sinx八原式=hm=lim；=lim=lim=0.1°xsinxio尸d2x27 .求limxA.解：该极限为x-0+时的“0°型未定式,解决方法为取对数化为“0-In0型,进0而化为“一,型,故0limxlnxlim-x->o+-Llim(-x)原式=lime"n'=63°-=e'

26、;i+'=e=ex=e)=1.K)+一x+cosx8 .求limY.1-sinx八.、解：原式=hm=hm(lsinx),最后的极限不存在,不满足洛必达法那么的Af8X-»XcosXCOSX条件,实际上,原式=lim(l+)=l+lim=1+0=1.工8Y.28V【例36】求以下函数的单调区间.1. f(x)=2x3-9x2+l2x-3.解：因fx)=6x2-18x+12=6(-1)(-2),令f'(x)=0,得x=l,x2=2.用X1,占将函数的定义域(8,+8)分成三个区间(一8),(1,2),(2,+00),其讨论结果如下表所示：X(一°0/)(1,2

27、)(2,一)广.)+fM/X/由上表可得,函数的单调递增区间为(-8,1和2,+00),单调递减区间为1,2.2. f(x)=y.2解：函数的定义域为(8,+s),/'(x)二尸(XWO),当X=O时导数不存3.x在.将函数定义域分成两个区间(一8,0)和(0,+8),讨论结果如下表所示：Xy,o)(.,+8)十fMX/所以函数的单调递增区间为0,+8),单调递减区间为(-8,0.【例3-7】利用函数的单调性证实不等式.1 .试证当x>0时,x>ln(l+x)成立.1x证实：设/(x)=xIn(l+x),那么/V)=l=,1+xl+x因f(x)在区间0,+oo)上连续,在(

28、0,+8)内可导,且尸(x)>0,故/(X)在区间0,+8)上单调增加,又由于/(0)=0,所以当x>0时,f(x)>o,即x-ln(l+x)>0,也即xln(l+x)成立.2 .试证当x>l时,2y>3-LX证实：令f(X)=2.yx(3)»贝ljf(X)=7=三(XyfV),XJx厂厂因/(x)在区间1,+8)上连续,在(1,+8)内可导且/'(X)>0,故/(X)在区间1,+S)上单调增加,令f'(x)=O,得驻点x=l,当x=0时/")不存在,驻点x=l以及不可导点x=0将定义域分成三个区间,列表讨论如下：X

29、SO)0(0,1)1(L+8)/V)+不存在+/(A)/极大值极小值/由上表可得,函数的极大值为/(0)=0,极小值为/(1)=-1.【例3-10求函数/(x)=2/+3,V2-12x4-14在区间3,4上的最值.解：由于fx)=6x2+6x-12=6(x+2)(x-l),令;(x)=0,得玉=一2,工2=1,计算/(-3)=23,/(-2)=34,/=7,4)=142.比拟上述结果可知,最大值为7(4)=142,最小值为/(I)=7.【例3-11】求以下曲线的凹凸区间和拐点.1 ./(x)=3x4-4丁+1.解：函数的定义域为(8,+8),且有2/“(X)=12/-12/,fx)=36x(x

30、-二),2令/"(x)=0,得X=0,x?=,列表讨论如下:X(-oo,0)0(0,|)232(-,+oo)/"(幻+00+/X凹对应拐点凸对应拐点凹22由上表可得,曲线/X的凹区间为-8,0和二,y,凸区间为0,拐点为330,1.3272 .于X=亚.12-解：函数的定义域为-s,+oo,当XW.时有了'x=-X3,fx=一一X39当X=.时,/'R和/"X均不存在,但在区间一8,0内,/X0,故曲线在一8,0上是凹的；在区间0,+8内,/幻0,故曲线在0,+8上是凸的.所以曲线的凹区间为-8,0,凸区间为0,+8,拐点为0,0.【历年真题】一、

31、选择题1 .2021年,1分假设函数y=/x满足/'/=0,那么x=/必为/x的A极大值点B极小值点C驻点D拐点解：假设rXo=O,那么x=/必为/X的驻点,选C.2 .2021年,1分当x0时,曲线?=xsinXA没有水平渐近线B仅有水平渐近线C仅有铅直渐近线D既有水平渐近线,又有铅直渐近线.11sin解：由limxsin=lim一井=1可知,y=1为曲线的水平渐近线："T8XXTBIXlimxsin-=0,故曲线无铅直渐近线.选项B正确.x3. 2021年,3分函数/x=InX在区间1,2上满足拉格朗日公式中的J等于AIn2BIniCIneD-In2解：对函数/O=Inx

32、在区间1,2上应用拉格朗日中值定理,21=1021,即ln2-0=i,故.选D.gIn24. 2007年,3分曲线y=-3不上切线平行于x轴的点为A-1,-4B2,2C0,0D1,-2解：切线平行于x轴的点即为一阶导数等于零的点.由了=3123=0可得,x=±ix=l时,y=-2,工=-1时,y=2,故曲线y3工上切线平行于x轴的点为1,-2和一1,2.选项D正确.5. 2007年,3分假设在区间,内,导数f'xo,二阶导数/"X0,那么函数/X在该区间内A单调增加,曲线为凸的B单调增加,曲线为凹的C单调减少,曲线为凸的D单调减少,曲线为凹的解：/.0可得/X单调增

33、加,/*0可得曲线为凸的,应选A.二、填空题1. (2021年,2分)函数/(工)=2*3912+12工的单调减区间是.解：令/'*)=6犬-18x+12=6(x-l)(x-2)=O,得驻点x=l和x=2；当xi时,r*)o,当1工2时,r(x)o,当工2时,r(x)o,故函数的单调递减区间为1,2.兀兀“、sinx2. (2021年,2分)当一X一时,/(x)=是函数(填“单调递增、62x“单调递减.4,乃sinzjsin个兀、C/兀、63.兀、£/兀、7,解：当工=一时,f()=:当工=一时,f(一)=一:故663乃2'2/)62兀兀“、sinx当一x«

34、一时,f(x)=是单调递减函数.62x3. (2021年,2分)函数/0)=2/一9+12X+1在区间0,2上的最大值点是.解：令/'(x)=6x?-18x+12=6(x-l)(x-2)=0,得驻点x=l和x=2.比较函数值/(1)=6,f(2)=5,/(0)=1,可知,函数的最大值为/(1)=6,故函数的最大值点为x=l.x=t24. (2007年,4分)曲线在,=1处的切线方程为.v'4解：将1=1代入参数方程可得切点为(1,4),切线斜率攵=工|,=Li=2,故X；2t切线方程为y-4=2(x-l),即y=2x+2.5. (2005年,3分)y=的凸区间是.解：y=(xe

35、x)'="X-x/x=(1-x)ex.yn=-ex-(1-x)ex=(x-2)ex.令),二(工一2)6一'=.可得,x=2,且当x>2时,y>0,当x<2时,y<0,故函数y二16一'的凸区间是(一00,2.6. (2005年,3分)曲线),=X、通过(1,1)点的切线方程为.解：因y'=(f)'=®ig),=/mx,(nx+l)=x'(lnx+l),故切线斜率k=xv(Inx+l)j|A=1=1,所以切线方程为y-l=l(x1),即y=x.三、应用题或综合题1. (201.年,io分)现有边长为96

36、厘米的正方形纸板,将其四角各剪去一个大小相同的小正方形,折做成无盖纸箱,问剪区的小正方形边长为多少时做成的无盖纸箱容积最大？解：设剪区的小正方形边长为X,那么纸盒的容积y=x(962x)2,0<x<48.y'=(96-+x.2(96_2x)(2)=(96-2x)(966x),令y'=0,可得x=16(x=48舍去).因只有唯一的驻点,且原题中容枳最大的无盖纸箱一定存在,故当剪区的小正方形边长为16厘米时,做成的无盖纸箱容积最大.2. (2021年,10分)设函数,f(x)在0,1上连续,并且对于0,1上的任意x所对应的函数值/(X)均为o«/(x)

37、1;l,证实：在0上至少存在一点使得了(?)=§.解：令厂(工)=/")一工,由于在0,1上连续,故尸(王)在0,1上也连续.F(0)=/(0)-0=/(0),尸(1)=/(1)1.而对V人弋0,1,故厂(0)20,F(l)<0.假设尸(0)=0,即/(0)0=0,/(0)=0,那么4=0；假设/1=0,即/11=0,/i=i,那么g=i：当/(O)wO,尸(1).0时,F(0)-F(l)<0,而/(工)在0,1上连续,故根据零点定理可得,至少存在一点会(0,1),使得尸/)=0,即/©)4=0,/©)=4.综上,在0上至少存在一点自,使得/

38、c)=q.3. (2021年,10分)某工厂需要围建一个面积为512"/的矩形堆料场,一边可以利用原有的增壁,其他三边需要砌新的墙壁.问堆料场的长和宽各为多少时,才能使砌墙所用的材料最省？512.512解：设堆料场的宽为xm,那么长为m.设砌墙周长为y,那么y=2x+,XX51?令y'=2二；=0,得x2=256,x=16(x=16舍去).因只有一个驻点,厂且原题中最值一定存在,故当x=16时,函数有最小值.即当宽为16加,长为32利时,才能使砌墙所用的材料最省.4. (2021年,io分)当x>0,0<4<1时,x0-ax<-a.解：原不等式即为-a

39、x+a-l<0.设/(x)=x"-ax+a-l,那么(1)当x=l时,/'(x)=1一.+41=0,即x"一.1+.-1=0成立；(2)当0cx<1时,fx)=uxal-t/=6/(-1)>0,故/(X)单调增加,X可得/(x)</(l)=0,即X"一.工+.一1<0成立：(3)当天>1时,f,(x)=axa-a=a(-l)<0,故/(x)单调减少,可得入/(X)</(1)=O,即0¥+41V.成立.综上,当x>0,0<.<1时,不等式；1“一.工+.一1«0成立,即工&

40、quot;-ax<-a.5. (2021年,8分)求函数),=3工2/的单调区间、极值、凹凸区间与拐点.解：函数的定义域为(一>,+8).先求单调区间和极值.令y'=6x3x2=3x2x=0,得驻点x=0,x=2,用驻点将整个定义域分为三个区间一8,0,0,2,2,+s.当xe8,0时,丁'<0,函数单调减少；当xe0,2时,y'>0,函数单调增加：当xe2,+8时,y'<0,函数单调减少.故函数的单调增加区间为0,2,单调减少区间为-8,0和2,+8：极小值0=0,极大值2=4.再求凹凸区间和拐点.令y=66x=0,得x=l.当X£8,l时,y">0,函数为凹的：当工七1,+8时,<0,函数为凸的,且当x=l时,y=2,故函数的凹区间为-8,1,凸区间为1,+8,拐点为1,2.16. 2007年,8分求函数y=X+的单调区间、极值、凹凸区间和拐点.X+1解：函数的定义域为一切,一1Ul,+s先求单调区间和极值.令y'=11(X+1)2x(x+2)(工+1)2=0,得驻点工=-2,x=0.用驻点将整个定义域分为三个区间一8,2,-2,-1,1,0,0,+s