一次函数恒过点问题

1、一次函数恒过点问题1.假设(2k-1)x-(k-3)y-(k-4)=0是y关于x的一次函数.(1)求k的取值范围；(2)在k满足第(1)问的前提下,试证实：不管k为何值,此一次函数恒过一定点,并求此定点的坐标.A,3 .(2021?浙江自主招生)假设二次函数y=x2-(2b+2)x+b2+2b的图象与x轴交于B两点,一次函数y=ax+2(a+1)的图象恒过定点C.(1)求点C的坐标及|AB|的值；(2)假设ABC为等腰三角形,求b的值.(x>0)4 .(2021?黄石模拟)：直线11：y=-x+n过点A(-1,3),双曲线Cy=-过点B(1,2),动直线12：y=kx-2k+2(常数k&

2、lt;0)恒过定点F.(1)求直线1i,双曲线C的解析式,定点F的坐标；(2)在双曲线C上取一点P(x,y),过P作x轴的平行线交直线1i于M,连接PF.求证：PF=PM.5 .(2021?武汉模拟)抛物线y=x2+(2m-1)x-2m(m>0.5)的最低点的纵坐标为一4.(1)求抛物线的解析式；(2)如图1,抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,D为抛物线上的一点,BD平分四边形ABCD的面积,求点D的坐标；(3)如图2,平移抛物线y=x2+(2m-1)x-2m,使其顶点为坐标原点,直线y=-2上有一动点P,过点P作两条直线,分别与抛物线有唯一的公共点E、F(

3、直线PE、PF不与y轴平行),求证：直线EF恒过某一定点.卸6 .在平面直角坐标系中,借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根,比方对于方程x2-5x+2=0,操作步骤是：第一步：根据方程系数特征,确定一对固定点A(0,1),B(5,2);第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板,使一条直角边恒过点A,另一条直角边恒过点B;x轴上点C处时,点C的横坐标mx轴上另一点D处时,点D的横坐标第三步：在移动过程中,当三角板的直角顶点落在即为该方程的一个实数根(如图1);第四步：调整三角板直角顶点的位置,当它落在为n即为该方程的另一个实数根；(1)在图2中,根据“第四步的操作方法作出点D(请保存作出点D

4、时直角三角板两条直角边的痕迹)；(2)结合图1,请证实“第三步操作得到的m就是方程x2-5x+2=0的一个实数根.7 .以满足|x|+|y|=1的所有的对数(x,y)为坐标原点,构成了一个正方形MNPQ(如图所示),这个正方形被直线l：y=ax-a-1分成了两局部.(1)求证：无论a为何值,直线l恒过点A,求A点的坐标,并用a表示l与MQ的交点C的坐标；(2)当a在什么范围时,l分别与MN,PN,PQ有交点(只要求结论)；(3)当l与PN交于D点时,设四边形CMND的面积为S,求S关于a的函数关系式.8 .定义：假设直线(不与y轴平行)与抛物线只有一个公共点,那么称该直线为物线的切线,其公共点

5、称为切点.点P是直线l:y=-1上一点,过点P作抛物线y=x2的切线.4(1)假设P的横坐标为0,求切线的函数解析式.(2)求证：过直线l上任意给定的一点P,都存在两条抛物线的切线.(3)设(2)中的两个切点分别为M,N.问：直线MN是否恒过某一定点？假设是,求该定点坐标；假设不是,说明理由.【解答】解：(1)(2k-1)x-(k-3)y-(k-4)=0,2k-1v_k-4k-3k3,至,解得kw1且H3;k-302(2).原式可化为(1二=57y=T2x-y-1)k+(4-x+3y)=0,f2i£-y-l=0解得I.4-x+3y=0.此函数恒过定点(-【解答】解：一次函数y=(2-

6、k)x+3k可化为y=2x-(x-3)k,一次函数与k无关,.x-3=0,即x=3,当x=3时,y=6,:一次函数y=(2-k)x+3k恒过点(3,6).故答案为：(3,6).【解答】解：(1);二次函数y=x2-(2b+2)x+b2+2b的图象与x轴交于A,B两占八、,"0=x2-(2b+2)x+b2+2b=(x-b)(x-b-2)xi=b,x2=b+2,/.|AB|=|b-(b+2)|=2,.一次函数y=ax+2(a+1)的图象恒过定点C.y=(x+2)a+2.当x=-2时,y=-2a+2a+2=2,:点C(-2,2);(2)假设点A,点B坐标为(b,0),(b+2,0),.AB

7、C为等腰三角形,CA=AB=2或CB=AB=2或CA=CB,假设CA=AB=2,CA2=AB2=4WJ(-2-b)2+(2-0)2=4,解得b=-2,假设CB=AB=2,CB2=AB2=4那么(-2-b-2)2+(2-0)2=4,解得b=-4,假设CA=CB,ca2=cb2,那么(2b)2+(2-0)2=(-2-b-2)2+(2-0)2,解得b=3,b=-2或-4或-3.【解答】解：(1).直线直线11：y=-x+n过点A(-1,3),_(-1)+n=3,解得：n=2,直线"的解析式为y=-x+2;双曲线C:y=B(x>0)过点B(1,2),x.亚=2,1解得：m=2,即双曲线

8、C的解析式为：y=2,x动直线动直线12：y=kx-2k+2=(k-2)x+2,：不管k为任何负数时,当*=2时,那么丫=2,即动直线12：y=kx-2k+2恒过定点F(2,2);(2)如图1,在双曲线C上任取一点P(x,y),过P作x轴的平行线交直线li于M(xo,y),连结PF.贝UPF=x-xo,又M(xo,y)在直线11±,xo+2=y,xo=2-y=2,2PM=x+互-2,>2/2-2>0)PM=PF;【解答】解：(1),y=x2+(2m-1)x-2m=(x+m-0.5)2-m2-m-0.25,顶点坐标为(0.5-m,-m2-m-0.25)最低点的纵坐标为-4,

9、-m2-m_0.25=-4,即4m2+4m_15=0,m=1.5或-2.5,m>0.5,m=1.5.抛物线的解析式为y=x2+2x-3;(2)ynK+Zx-3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,A(-3,0),B(1,0),C(0,-3).如图1,连AC交BD于巳过A作AMLBD于M,过C作CNLBD于N,BD平分四边形ABCD的面积,SaaBD=S/LCBD,BDxAM=BDxCN,22AM=CN,且/AEM=ZCMN,ZAME=ZCNE=90.AEMACEN(AAS),AE=CE,E(1.5,1.5),且B(1,0),直线BE的解析式为y=0.6x-0.6.1-

10、0.6x-0.6=x2+2x-3,解得xi=-工x2=1,5D(-处,-,525(3)由题意可得平移后解析式为y=x2,设E(t,t2),F(n,n2),设直线PE为y=k1(x-t)+t2,由题意可得x2-k1x+k1t-t2=0,=k/-4(k1tt2)=(k12t)2=0,1-k1=2t.直线PE为y=2t(xt)+t2,即y=2tx-t2.人/口t2-2令y=-2,得xp=,2t同理,设直线PF为y=k2(x-n)+n2,twn,tn=-2.设直线EF的解析式为y=kx+b,得x2-kx-b=0,xE?xF=-b,即tn=-b,b=2.直线£5为丫=卜*+2,过定点0,2【解

11、答】解：1点D如下图.2如图1中,作BD,x轴于D.Si /AOC=ZACB=ZCDB=90°, .ZACO+ZBCD=90°,/BCD+/CBD=90 ./ACO=/CBD,ACOACBD,-A0_0d.CDBD=5-m2整理得：m2-5m+2=0,.m是方程x2-5x+2=0的实数根.【解答】解：(1)y=ax-a1=a(x1)1,不管a取何值,当x=1时,y=-1,那么一定过点1,-1设MQ的解析式是y=kx+b,贝UJ°一一1Ik十b=0解得：L:那么MQ的解析式是y=x-1.根据题意得：F"nT:y=5£-l那么c的坐标是一,一；a-

12、la-l(2)当y=ax-a-1经过点M(1,0)时,a-a-1=0,不成立,当丫=2*-a-1经过点N0,1时,-a-1=1,解得：a=-2,当丫=2*a1经过点1,0时,aa1=0,解得：a=一白,当丫=2*-a-1经过点0,-1时,a-1=-1,解得a=0.那么直线于MN有交点时,-2vav0,当直线与PN有交点时,-2Wav-1；2当直线与PQ有交点时-<a<0;23设直线PN的解析式是y=mx+n,根据题意得:三Qtn=l解得:mEn-1那么直线PN的解析式是y=x+1.nrtIy=az-a-l那么,1卜普解得：,隔那么D的坐标是曳±2,2Ala-1a-1那么D

13、N=卜+2四+L工V良.1'丁1a-1CNW1告那么S=DN+CN?MN=/xV【解答】解：1点P0,1将直线表达式与抛物线表达式联立并整=k2-1=0,解得：k=±1,石?|:|=答,l-a1-a叼xM/2+返城第1-a1-al-a11-a,设过点P的直线表达式为：y=kx-1,理得：x2-kx+1=0,4故切线的函数解析式为：y=x-1或y=x+1;(2)设点P(m,-1),同理可得过点P的直线表达式为：y=kx-1-km,将直线表达式与抛物线表达式联立并整理得：Lx2-kx+1+km=0,=卜2-1-km=0,'=m2+4>0,故存在两个k值,故过直线l上

14、任意给定的一点P,都存在两条抛物线的切线;(3)二点M、点N为抛物线y=Lx2上的点,设M(2a,a2),N(2b,b2),设直线PM的解析式为y=kx+n,.直线PM过点M,.a2=2ak+n,.n=a2-2ak,直线PM的解析式为y=kx2ak+a2,即y=k(x2a)+a2,(y-k0-2a)整理得x2-4kx+8ak-a2=0,直线PM(不与y轴平行)与抛物线只有一个公共点,=16k24(8aka2)=0,解得k=a,.直线PM为y=ax-a2,同理证得直线PN为：y=bx-b2,nfc-b2把P(m,-2)分别代入直线PM和直线PN的解析式得1m解得m=a-b=-L,ab=_2,ab设直线MN的解析式为y=mx+k,M(2a,aQ(m,n)是直线L上的点,1-2m-1=n,即2m-n=1,二原式=(1+3)2=16.故直线MN恒过(0,1)点.),N(2b,b2),2-2a"k二/,?7、2bm匕,直线MN的解析式