一阶常微分方程解法总结

1、章一阶微分方程的解法的小结、可别离变量的方程：、形如g=75)g(y)dx/7v当g(y)NO时,得到=两边积分即可得到结果：g(v)当g(%)=.时,那么y(A)=%也是方程的解.例1.1、=xydx解：当yWO时,有?=*,收,两边积分得到lnN=g+C(C为常数)所以),=G,g为非零常数且s=±),=o显然是原方程的解：X"综上所述,原方程的解为ynGe?(G为常数)、形如M(x)N(y)"x+P(x)Q(y)力=0当尸(x)N(y)WO时,可有'92八=纱1小,两边积分可得结果；PMN(y)当N(y0)=O时,),=),.为原方程的解,当.(%)

2、=.时,x=x0为原方程的解.例1.2、x(y2-1)dx+y(x2-l)t/y=0解:当(公-1)(产一1).0时,有一L"y=二_"x两边积分得到一厂尸1ln|x2-l|+ln|y2-l|=ln|C|(CwO),所以有(/1)(/-1)=C(CwO)；当(/一1)(丫2-1)=.时,也是原方程的解；综上所述,原方程的解为(/一1)(产1)=C(C为常数).可化为变量可别离方程的方程：、形如包=g(工)dxx解法：令=上,那么小,=皿,+小,代入得到工丝+“=且()为变量可别离方程,得到xdx/(,kC)=O(.为常数)再把代入得到/(2,x,C)=O(C为常数).x、形

3、如虫=G3x+6y),(ab#0)dx解法：令m=ax+by,那么"v=+"",代入得到,也+乜=G()为变量可别离方程,bbdxb得至iJ/'(,x,C)=O(C为常数)再把u代入得到/(ax+勿,x,C)=O(C为常数).mfdvaxx+b.y+c.s、形如丁二一卢L)axa2x+b2y+c2解法：1°、"=0,转化为公=G(ax+"),下同:a.b.dx2.、""WO,出b?clx+b,y+c.=0u=x-xa1J'八的解为(玉),右),令°a2x+b2y+c2=0v=y-y0得到,

4、虫=dua2u+b2va+bv)=/(+)=g(一),下同:.,十乩一11u还有几类：yf(xy)dx+xg(xy)cly=.,=xy2dy-、x=/(xy)3?=xydxdyy、y灰=小溟),卬=7M(x,y)(xdx+ydy)+N(a;y)(xdy-ydx)=0,x=rcos.,y=rsin0以上都可以化为变量可别离方程.dyx-y+5例2.1、=-dxxy2解：令u=x-y-2,那么4y="式一代入得到1一也="+,有udii=7dxdxu所以土=7x+C(C为常数),把u代入得到"一'、2)l+7x=C(C为常数).22dy2x-y+1例2.2、=

5、dxx-2y+解：由2x-y+I=0,得到?x-2y+1=01x=丁,令,1U=x+-31U=V3有dy=dvdx=du化简令/=上,有小=id+udi,代入得到,+讨包=二一-udu1-2t得到1Mi=一非高有吨=.为常数)Q1所以有=,(G=±-),故代入得到%+=&T+J3(3)、一阶线性微分方程：一般形式：q(x)+=h(x)dx标准形式：虫+尸(幻了=0(幻dx解法：1、直接带公式：),=小-"卬杰+一"依=卜飞/,)八十C)2、积分因子法：G)=7J(x)2(x)"x+C,(x)=/p"'3、IVP：+P(x)y=Q

6、(x),y(%0)=y0ax-P(sds"f*P(s)dx-fP(s>dsP(x)dsy=e九(I.eJsdt+),°)=),°e儿+Q(t)edt例3、(x+r)-ny=ex(x+Ydx解：化简方程为:-y=ex(x+)那么P(x)=,_,Q(x)="(x+1);dxx+x+代入公式得到(x)=J"'"=/-才'=(X+1)-“所以,y(x)=(X+lfj(x+1)f/(x+D“dx+C=(x+1)(,+C)(C为常麴(4)、恰当方程:形如M(不y)dx+N(x,y)dy=OyBG(x.ys.t.dG=Af(x

7、,y)dx+N(x,y)dy解法：先判断是否是恰当方程：如果有笆32=空02恒成立,那么原方程是个恰当方程,找出一个dydx、oG(x9y)、dG(x,y)x.z、G(k,y),s.t一丁一=M(X,y一=N(x,y),oxoy有G(x,y)=C,(C为常数);例4、(3x2+6xy2)dx+(6x2y+4y1)dy=0解：由题意得到,A/(x,y)=3x?+6町2,N(x,y)=6/y+4由0£=12町=空得到,原方程是一个恰当方程；dydxTH4人、dG(x,y)x、6G(x,y)xrz、卜而求一个G(x,y),sJ_=M(X,y),-=N(x,y)dxdy由cG(x.y)=M(

8、乂,3,)=3/+6vy2得G(vy)=/+十以刃,两边对y求偏dx导得到=6x2y+(pf(y)=6x2y+4v3,得到(p'(y)=4y3,有/(y)=y4,故G(x,),)=/+3/y2+),由ig=O,得到x3+3/y2+y4=c,(C为常数)(5)、积分因子法：方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0,3/(x,),),."fiMdx+jLiNdy=0是一个恰当方程,那么称",)是原方程的积分因子；积分因子不唯一.dM0N当且仅当=(PM原方程有只与x有关的积分因子,且为",),)=/必'",N两边同乘以(x,y),化为恰当方

9、程,下同.dM0当且仅当q义-=.(、),原方程有只与y有关的积分因子,且为=-M两边同乘以(x,y),化为恰当方程,下同.例5.1>(ex+3y2)dx+2xydy=0a.4GAT解：由M(x,y)=ex+3yN(x,y)=2xy得以-=6y-2y=4y,且有oyoxoMdN-=(p(x)=-,有(x,y)=,原方程两边同乘得到Nxx2ex+3yb小+2x3ycly=0,化为d(x2-2x+2)eK+x3y2)=0,得到解为(x2-2x+2)ex+x3y2=C,(C为常数)例5.2、ydx-(x+y')dy=0解油题意得到,M(x,y)=y,N(x,y)=(x+y3),有如一叱

10、=1一(_)=2dydxdMdN-r2有fV“八=/()')=_二,有=厂2,原方程两边同乘厂2,得-Mydxxxv2到+(-="(一一M)二°,得到原方程的解为：y)广y2VH=c,(c为常数)y2(6)、贝努力方程：形如a+P(x)y=.(初月dx解法：令=yj,有点=(1一)尸外,代入得到也+(1一)尸(幻=(1一“)°(外,下dx同(3)例6、虫=62-"2dxx解：令=y",有du=一,代入得到+w=x>那么P(x)=9,Q(x)=x,dxXX有(x)=X6,w(x)=x",fx6xdx+C=上+:,(C为常数

11、),把U代入得J8xC到,=J+=,(C为常数),ySx(7)、一阶隐式微分方程:一般形式：E(x,Fy')=O,解不出)/的称为一阶隐式微分方程.下面介绍四种类型:V=/(X,y)(2)X=f(y,了)(3)F(X,V)=0(4)F(y,yf)=0、形如y=/(x,牛),一般解法：令=空,代入得到),=/3,),两边对x求导得到=弘+与啰,这是dxdxdpdx关于x,p的一阶线性微分方程,仿照(3),1、得出解为=g(x,C),C为常数,那么原方程的通解为y=/(x(x,C),C为常数2、得出解为X=O(P,C),.为常数,那么原方程的通解为屋蓝黑"C为常数3、得出解为(x

12、p,C)=.,.为常数,那么原方程的通解为,.为吊数Up)、形如x=/()dx一般解法：令p=3,代入有x=/(y,p),两边对y求导,得到L=M+此方dxpoydpdy程是一阶微分方程,可以根据以上一求出通解(y,p,C)=.,.为常数,那么原方程的通解为,y“)=O,C为常数、形如尸(x,y')=0一般解法：设卜：=以,.为参数),.=>,7戊=阿)“力,两边积分得到/=").),=J帆)叭,)出+c,c为常数,于是有原方程的通解为),力("(6+.(为常数A=(p(t)、形如尸(y,y')=O一般解法：设卜：="“),(,为参数),由关

13、系式=得°'("=.)心,有(7=0(/)(卜=缪出,两边积分得到x=+C为常数,于是有猊"+c,C为常数>'=叭t)例7.1Ay"=1+)/解：令=了,得到x=/,两边对y求导,得到,=(上3(1)虫,PPPPdy7223有力=(-三-1)即,得到),=+C,C为常数,于是通解为1rP.P2p-_1+px<94,c为常数y=一十六+CP2/厂例7.2y=yf2eY解：令=y',得到V=p?eP,两边对x求导,得到=(p2+2p),也,有dxdx=(p+2)ePdp,两边积分得到*=(+1)/+.,.为常数,于是通解为

14、例7.3x2+y2=i解：设为常数x=cosf./.、,COS2/-1,UL,有dv=ydx=sin/-(-sint)dt=,所以y'=sint2),=%££,+"为常数2于是通解为例7.4y2(l-y2)=lyr=sin/解：设?于是通解为sin2tty=r_+c,c为常数x=cosr.+,dy-sin/1,不jdx=y=5：ycos"rsinrJ一山dt=-=J(-tanr),所以cos*tx=-tant+C,C为常数x=-tant+C_1C为常数y二cost、里卡蒂方程:一般形式:=PMy2+QMy+R(x)dxIdv一般解法：先找出一个特解儿(外,那么令丁=儿+,有一=Zdxdy01dzdxz1dx代入原方程得到佻clx最%=如)(%+3+刎(y°+»R,化简得到+(2P(x)y0+0(x)z+P(x)=0,为一阶线性微分方程,解出dxz(x)=0(x,C),C为常数那么原方