第四章 地球椭球及其数学

1、1 、椭球方程：、椭球方程：表面上平行于赤道面的纬圈均为圆表面上平行于赤道面的纬圈均为圆起始子午面0ZXYWENSabQQ平行圈平行圈赤道赤道M0饶饶Z轴旋转，形成纬圈（平轴旋转，形成纬圈（平行圈），其半径：行圈），其半径：经度为经度为L的经线方程：的经线方程：OXYZM1M0MLrSyx2）、纬圈）、纬圈方程：方程：或或：OXYZM1M0MLLrRSyx3、地球椭球的几何、物理元素、地球椭球的几何、物理元素扁率：扁率：第一偏心率：第一偏心率：第二偏心率：第二偏心率：长半轴：长半轴：短半轴：短半轴：b1）、几何元素）、几何元素几个关系式：几个关系式：1954年北京坐标系，克拉索夫斯基椭球元素：

2、年北京坐标系，克拉索夫斯基椭球元素：我国1980年大地坐标系采用第16届 IAGIUGG 椭球，其椭球元素为：起始子午面LBPH注：水准测量的一般为注：水准测量的一般为正常高或正高正常高或正高，GPS测量的为测量的为大地高大地高天文起始子午面P起始子午面PY zxxyzo赤道XYOPxyXYOM XuaYOMMb在在XOY子午面内，有子午面内，有:起始子午面BNWSEnPoXZyMX(北北)Z(天顶天顶)Y(东东)PZMSAAPNMS切线切线MT的斜率的导数式：的斜率的导数式：由椭圆方程求导得：由椭圆方程求导得：代入第一式得：代入第一式得：2XYnB90+ BOTMXy1引入辅助符号：引入辅助

3、符号：则有：则有：2XYnB90+ BOTMXyabQ另外另外,如图可知：如图可知：uayOMMbxMXYZ (y)MOXYZLMuayOMMbxMXYZM0XYZLMXYZM0XYZLnBMQXYZM0XYZLnBPQHPXYZM0XYZLnBPQHP(X,Y)ZM0ZnPHPBPBQuayOMMbxMynBOMXyxynBOMXyx因此，任意方向的曲率半径为：因此，任意方向的曲率半径为：将上式分子分母同除以将上式分子分母同除以M，并顾及，并顾及则有11可见，可见，RA与方位角与方位角A和纬度和纬度B有关。有关。当当A为为0， 时，时，RA取极小值取极小值M， /2， 3 /2时，时，RA取

4、得极大值取得极大值N。当当A由由00900时，时，RA由由MN，当，当A由由9001800时，时，RA由由NM。其变化周期为。其变化周期为1800，并关于子，并关于子午圈和卯酉圈对称。午圈和卯酉圈对称。我们知道，当我们知道，当A由由00900时，时，RA由由MN，所以，所以只要计算该区间的平均值则可。只要计算该区间的平均值则可。E111对于小于对于小于40km的弧长，可进一步简化为的弧长，可进一步简化为： 可见，相同经差在不同纬度的平行圈上的弧长是不同的，在赤道最长，可见，相同经差在不同纬度的平行圈上的弧长是不同的，在赤道最长，越靠近两极越小。越靠近两极越小。由子午平面直角坐标与大地坐标的关系

5、可知平行圈半径：由子午平面直角坐标与大地坐标的关系可知平行圈半径：将相应的偏导数代入有：将相应的偏导数代入有：令令，由于，由于则则针对相同经度差，比较不同纬度上弧长的变化：针对相同经度差，比较不同纬度上弧长的变化：LL+dLBB+dBMdBNcosBdLd大地线上任何点的密切面就大地线上任何点的密切面就 是该点的法截面；是该点的法截面；、大地线的曲率、大地线的曲率ANNAMAkg2222cos11sincos21 ，dA3三个微分关系式可整理为：三个微分关系式可整理为：ANBdSdABNAdSdLMAdSdBsintan cossin cos PP该项改正很小，该项改正很小，100公里约公里约

6、0.03”，只有一等，只有一等控制网才估计此项改正。控制网才估计此项改正。三差改正主要关系量是否要加改正一等二等三、四等垂线偏差加加酌情标高差截面差不加A2B1L1h1S1L1S2h2AAuAsincos ABumHHSabS0DLBBBBhH参考椭球面参考椭球面过过A点的点的水准面水准面过过A点的点的椭球面椭球面221uuum 2222220,hLDHLs DuhhHm huDhDuDSmm 210)21()21(2)(2222222220hDuDhDuDDuhhDHhDSmmm )(221221210HHuuhuuhuDSSmu ABumHHSabS0DLBBBBhH参考椭球面参考椭球面过

7、过A点的点的水准面水准面过过A点的点的椭球面椭球面 2121HHHm 测线端点测线端点A、B的大地高为：的大地高为：i为仪高，为仪高，v为觇标高，为觇标高，为高程异常。为高程异常。ABDH1H2地面地面椭球面椭球面大地水准面大地水准面11可以证明：椭球半径的误差对边长归算结果影响很小，而高差误差可以证明：椭球半径的误差对边长归算结果影响很小，而高差误差对边长归算比较敏感。对边长归算比较敏感。弦长公式：弦长公式：1已知已知Pl点的大地坐标点的大地坐标(L1，B1)，P1至至P2的大地线长的大地线长S及其大地方位角及其大地方位角A12，计算，计算P2点的大点的大 地坐标地坐标(L2，B2)和大地线

8、和大地线S在在P2点的反方位角点的反方位角A21，这类问题叫做大地主题正解。这类问题叫做大地主题正解。 102180AA如果已知如果已知P1和和P2点的大地坐标点的大地坐标(L1，B1)和和(L2，B2)，计算，计算P1至至P2的大地线长的大地线长S及其正、反方及其正、反方位角位角A12，A21，这类问题叫做，这类问题叫做大地主题反解。大地主题反解。 ：已知已知(L1，B1)， (L2， B2)， 计算计算A12，S12 ，A21A1P2(L2,B2)NP1(L1,B1)S由大地线的微分公式，得其一阶导数为：由大地线的微分公式，得其一阶导数为： 同理，可求出同理，可求出B对对S的高阶导数以及的

9、高阶导数以及L、A对对S的各阶导数。的各阶导数。代入麦克劳林级数展开式，即可得正算公式。代入麦克劳林级数展开式，即可得正算公式。并将上述符号及各阶导数代入级数展开式即可大地正解公式：并将上述符号及各阶导数代入级数展开式即可大地正解公式：引用符号引用符号12类似地，有：类似地，有：两式相减两式相减（偶数项全被抵消）（偶数项全被抵消），得：，得：12与与若能求得以上各式中的各阶导数，便可得到高斯引平均数正若能求得以上各式中的各阶导数，便可得到高斯引平均数正算公式。下面来讨论相关计算。算公式。下面来讨论相关计算。12类似地，有：类似地，有：其中：其中：两式相加两式相加（奇数项全被抵消）（奇数项全被抵

10、消）除以除以2，得：，得：12与与式中式中:12先来求先来求 的各阶导数的各阶导数 ：已知：已知：由大地线微分方程：由大地线微分方程：dSdB可知可知是大地纬度是大地纬度B和大地方位角和大地方位角A的函数，那么有：的函数，那么有：将上式中的系数在将上式中的系数在均点均点Bm，Am处再展开为级数得：处再展开为级数得：目的：求目的：求各阶系各阶系数数注意：中点注意：中点M并非均点并非均点m亦即：亦即：对上式求导，得：对上式求导，得：由于由于BM与与Bm相差很小，取：相差很小，取：将以上各式代入以下：将以上各式代入以下：MdSdB mdSdB MmmMmmmMAAdSdBABBdSdBBdSdBdS

11、dB 3333mMdSBddSBd 2433312SdSBdSdSdBBBBMM 2433312SdSBdSdSdBBBBMM AAALLLBBB 12211212 1212012101210212121AAALLLBBBmmm121212121112121121212sinsinseccosS B ALAANBSLMA C、迭代计算公式为：、迭代计算公式为： 2 2 2 12112111kkmkkmkkmAAALLLBBB直到：直到： 10.00 10.000 10.000 11L1 kmkmAkmkmkmkmBAALLBB其中其中B（K） ，A（K）可用下式计算。可用下式计算。D：最后结果

12、：最后结果： kkkkkkAAALLLBBB1212212121212212121 2222222222221241cos3 232sin241cosmmmmmmmmmmmmmttAtANSASNVBBB 222222221291cos sin241sincosmmmmmmmmmmtAtANSASBNLLL 222222222222241cos3 232sin24coscosmmmmmmmmmmmmmmttAStASNASVNBAS 22222222291cossin24sincossinmmmmmmmmmmmtAStASNASBNLAS 右端第二项与第一项相比为小量，可以作近似：右端第二项与

13、第一项相比为小量，可以作近似：mmmmmmBNLASVNBAScossin cos2 将将右端第二项中所含右端第二项中所含SsinAm，ScosAm用上式右端代入可得：用上式右端代入可得： 3302121032222322222824332coscosBSLBSBSBtNLBttBNVBNASmmmmmmmmmmmm 303221013322222324sincos9124coscossinLrLBrLrLBBNLBtBNLBNASmmmmmmmmmmm 由此求出由此求出SsinAm，ScosAm，便，便可得平均方位角和大地线长可得平均方位角和大地线长度如下：度如下：mmAAS Ssinsin

14、 SsinAm，ScosAm 422222222212215972cos 22sin241sinmmmmmmmmmmmmtAtANSASNtAAA 最后得起终点的大地方位角为：最后得起终点的大地方位角为： 2 22112AAAAAAmm cossintan1mmmASASA 12dS ds（1）、）、主方向：主方向：在椭球面上有两个正交的方向投影到平面上后在椭球面上有两个正交的方向投影到平面上后仍然正交，则这两个方向为主方向。仍然正交，则这两个方向为主方向。 性质：性质：主方向投影后具有最大和最小长度比。主方向投影后具有最大和最小长度比。变形椭圆变形椭圆axPBBPbyPAAPbyaxbyax

15、, ,P椭球面上1AB122 12222 byax yxP ,投影面上rAB单位圆单位圆 ,P椭球面上1AB yxP ,投影面上rAB投影后的变形投影后的变形椭圆椭圆投影前的投影前的单位圆单位圆单位圆单位圆yxP,1投影面上投影面上xy某方向（以主方向起始）某方向（以主方向起始） 投影后为投影后为 1，则有：，则有：,P椭球面上椭球面上 由三角公式，得：由三角公式，得：显然，当显然，当 = 时时,亦即在主方向亦即在主方向,没有方向变形没有方向变形当当 + = 90或或 270 时，方向变形最大时，方向变形最大,若若 0与与 0为最大变形方向，则最大变形量可表示为：为最大变形方向，则最大变形量可

16、表示为：顾及：顾及：解得最大变形方向为：解得最大变形方向为：两方向两方向 、 所夹角所夹角u的变形称为角度变形，用的变形称为角度变形，用u表示。即：表示。即：xyABuoxyABuo若角度变形最大，则方向变形应最大，若角度变形最大，则方向变形应最大，即即思考：直观上理解，角度变形与方向变形有何关系？思考：直观上理解，角度变形与方向变形有何关系？ 显然，当显然，当 + = 90、 + = 270 或或 + = 270、 + = 90 时，角度变形最大，最大角度变形可表示为：时，角度变形最大，最大角度变形可表示为：角度变形是方向变形的两倍角度变形是方向变形的两倍（4）、面积变形：）、面积变形：p-

17、1 原面单位圆面积为原面单位圆面积为，投影后变形椭圆面积，投影后变形椭圆面积ab,则投影面积则投影面积 比为：比为：得面积变形得面积变形(p-1)。投影前的投影前的单位圆单位圆投影后的投影后的变形椭圆变形椭圆 为控制投影后的长度变形，采用分带投影的方法。常用为控制投影后的长度变形，采用分带投影的方法。常用3度度带或带或6度带分带，城市或工程控制网坐标采用任意带分带。度带分带，城市或工程控制网坐标采用任意带分带。： （1）、）、是正形投影，是正形投影，投影后角度不变；投影后角度不变； （2）、）、中央子午线不变形中央子午线不变形已知已知6度带的带号度带的带号n计算其中央子午线的经度计算其中央子午

18、线的经度L0：已知某点的经度已知某点的经度L计算其所在计算其所在6度带的带号度带的带号n：已知已知3度带的带号度带的带号n计算其中央子午线的经度计算其中央子午线的经度L0：已知某点的经度已知某点的经度L计算其所在计算其所在3度带的带号度带的带号n： 椭球面椭球面高斯投影面高斯投影面大地线大地线平行圈平行圈中央子午线中央子午线赤道赤道中央子午线中央子午线平行圈平行圈大地线大地线椭球面椭球面高斯投影面高斯投影面大地线大地线平行圈平行圈中央子午线中央子午线赤道赤道中央子午线中央子午线平行圈平行圈大地线大地线MdBNcosBdlMdBNcosBdl等量纬度的物理意义：相同的等量纬度的物理意义：相同的d

19、q与与dl所对应的椭球面上所对应的椭球面上的弧长相同的弧长相同.求微分，得求微分，得dx、dy与与dq与与dl的关系式：的关系式：将上式代入将上式代入可得：可得：并令：并令：则，长度比公式为：则，长度比公式为：代入代入MdBNcosBdl当当A=0或或180 ，得经线方向长度比：，得经线方向长度比：当当A = 90或或270 ，得纬线方向长度比：，得纬线方向长度比：GlylxqyqxElyqylxqxF22220121qxlyqylx323lyqx考虑到导数的方向考虑到导数的方向（x随随q增加而增加增加而增加, y随随l增加而增加）增加而增加），开根得：，开根得：再代入再代入qxlyqylxG

20、lylxqyqxElyqylxqxF2222012ABC 是是A点处子午线收敛角。点处子午线收敛角。(l,B)(X,Y)P1(-l,B)(X,-Y)P2(l,B)(X,Y)P1(-l,B)(X,-Y)P2l（x，y）(l,B)(X,Y)P1(-l,B)(X,-Y)P2 oxydydx平行圈子午线沿平行圈纬度沿平行圈纬度B不变，不变，dq=0 ,求微分得：求微分得： 如图如图,两曲线为子午线与平行圈在平面上的投影两曲线为子午线与平行圈在平面上的投影, 为收敛角为收敛角.11保角投影前后角度相同，即保角投影前后角度相同，即22222babababayyxxRRPyyxxDEBEADP bambam

21、yyyxxyR 21222 考虑到方向值是顺时针方向增加的，考虑其正负号后，考虑到方向值是顺时针方向增加的，考虑其正负号后，方向改化公式可表示如下：方向改化公式可表示如下：acbXYababbabakimmikxxRy22即即aANNNNNNaNNAacabacabacacababacabacab)()(cbcababcacabcbacba1212121211212xxyytgTATOyxA12T12P2P1)1 (cos61 cos)1 (cos6cos22222233tBlBNltlNBNly)2(cos3)1 (cos12442222tBlBlm将前面的偏导数代入长度比公式，将前面的偏导

22、数代入长度比公式，得：得：开方根得用大地坐标表示的长度比公式如下：开方根得用大地坐标表示的长度比公式如下：)1 (cos61 )1 (cos61 cos222212222tBlNytBlNyBl)45(cos24)1 (cos21244222tBlBlm1因因lcosBy/N，将上式右端中的，将上式右端中的lcosB用用y/N代替可得代替可得：)1 (611 cos2222tNyNyBl444422442222cos)1 (3cosNyBltNyNyBl对上式求平方和四次方，得：对上式求平方和四次方，得：代入用大地坐标表示的长度比公式代入用大地坐标表示的长度比公式 得：得：1)41 (2412

23、1244222NyNym244222222)1 (111NRNNVRMNMNRmmm44222421mmRyRym代入代入 式，得：式，得：2可见：可见：、长度比只与点的位置（、长度比只与点的位置（L，B）或（）或（x，y）有关，与方向无）有关，与方向无关。关。、在纵坐标轴（、在纵坐标轴（y=0）或中央子午线（）或中央子午线（l=0）上，长度比）上，长度比m=1, 即中央子午线投影后长度不变。即中央子午线投影后长度不变。、长度比是长度比是y坐标的偶函数，且只与坐标的偶函数，且只与y坐标有关。坐标有关。、当、当y0（或（或l0）时，）时，m1,即除中央子午线外的点投影后都即除中央子午线外的点投影后都变长了。变长了。、长度变形（、长度变形（m-1）与）与y2（或（或l2）成比例地增大。）成比例地增大。ssDdsvdsdsvdDvdsvdsdDsssD ,22121cos0020202即：dsdDvssvdsvss22 222max02 椭球面上的大地线