2018-2019学年湖南省湘西自治州四校高二上学期12月联考数学(理)试题(解析版)

1、第1页共 16 页2018-2019 学年湖南省湘西自治州四校高二上学期12 月联考数学（理）试题一、单选题1 1.已知：,:,那么下列不等式一定正确的是（）ABCa-cb-dDa-d【答案】D【解析】试题分析：由同向不等式的加法性质可知由:,:可得a + c b + d a-d bc【考点】不等式性质2 2 设：是等差数列 的前项和，若，则.A A.B B.C CD D.13 3 .若不等式：的解集为 I I 则 值是A A. -10-10B B. 1414 C C. 1010D D. 1414【答案】A11【解析】根据不等式的解集可知方程的根为，利用根与系数的关系求解即可【详解】因为：的解

2、集为 I ： J1 1所以方程.的根为.，AA选第2页共 16 页lib|!- HI-=I 23 a112-x _ =因此(23 日，解得 a=-lb = “2,所以 I 故选 A.【点睛】本题主要考查了二次不等式的解集与二次方程的根之间的关系，属于中档题1 4 = 一 + _4 4 .已知：勺宀：；匚;b-?则的最小值是（）19A A.B B. 4 4C.C.D D. 5 5【答案】C【解析】本题考查基本不等式的应用及转化思想141141b4aa 0Tb 0Ta + b = 2t- -(a + + ) =：-(5 + - + )ab2a b2abC.27.5 5 抛物线的准线方程是 ，则的值

3、为（）1 1A A.B B.C C. 8 8D D. -8-8【答案】B,2 V 12* * X = = 2J 2【解析】常方程：表示的是抛物线，：，抛物线：的1 1y =-=2a =准线方程是 ，解得 ，故选 A.y xx +y 0；b 0) a = b =3 b，即 mm 是等号成立.故选第3页共 16 页【解析】根据线性约束条件作出可行域，由得:：,平移直线：,当截距最大时，z 有最大值.【详解】作出可行域如图：由 得,平移直线,当直线过点 I 时，z 有最大值， =2=2 1=31=3故选 C.【点睛】本题主要考查了简单线性规划求最优解，属于中档题7 7 .下列命题中正确的是（）A.A

4、. 若 p pV q q 为真命题，贝 U p pA q q 为真命题B.B.“ ”是”的充分不必要条件c c.命题 ,使得 |，”的否定是“卜，都有 I，” 2.D D.命题若.，则”的否命题为若.，则 I”【答案】B【解析】 试题分析：容易验证.-,则-，反之若，则或.-正确的，故应选 B.【考点】命题、命题的真假、复合命题及充分必要条件的判定.ABCDA-B1CJBD1ARFD8 8 .四棱柱的底面 为矩形，ABAB = 1 1 , ADAD = 2 2ZA.AB = ZA.AD &0* AC.11，则 1 1 的长为（），因此答案 BAAL= 3A A. B.B. 2323C.

5、C.D D. 3232第 3 页共 16 页第 4 页共 i6 页【答案】C【解析】 分析：记 Al在面 ABCD 内的射影为 0, 0 在/ BAD 的平分线上，说明/ BAD 的 平分线即菱形 ABCD 的对角线 AC,求 AG 的长.解答：解：记 Ai在面 ABCD 内的射影为 0, 0 在/ BAD 的平分线上，由 0 向 AB, AD 两边作垂线，垂足分别为 E, F,连接 AiE, AiF, AiE, AiF 分别垂直 AB,AD 于 E, FT AAi=3,Z AiAB=Z AiAD=60 AE=AF=又四棱柱 ABCD-ABiCiDi的底面 ABCD 为矩形7过 G 作 CiM

6、 垂直底面于 M ,则有 CiMCAi0A,由此可得 M 到直线 AD 的距离是,M 到直线 AB 的距离是-,CiM=Ai0=所以 AG =故选 C.9 9.如图所示，一圆形纸片的圆心为O O, F F 是圆内一定点，M M 是圆周上一动点，把纸片折叠使 M M 与 F F 重合，然后抹平纸片，折痕为 CD,CD,设 CDCD 与 OMOM 交于点 P P,则点 P P 的轨 迹是（）/ 0AF=Z 0AE=45，且 0E=0F=，可得 0A=在直角三角形 Ai0A 中，由勾股定理得/ Ai、二AB=Z AiAD,第7页共 16 页A A.圆B.B.双曲线C.C.抛物线 D D.椭圆【答案】

7、D【解析】根据题意知 1 -,所以叫 i迹是椭圆【详解】由题意知，关于 CD 对称，所以 一 “川 故 ” 一 第8页共 16 页点睛：在抛物线中，与焦点有关的最值问题，通常转化为与准线有关的最值问题和双曲线的离心率分别为.，则的最大值为（【答案】A A厂WoJX【解析】、如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，则根据椭圆及双曲线的定义:PF】+ PF2二 2 巧 PF】-PF2=2a2: PF】=+ a2PF2-巧71设沿 2 汐则，在中根据余弦定理可得到13 34-4- - - 4 422 2e ei i 勺故选点睛：本题综合性较强，难度较大，运用基本知识点结合本题椭圆和双曲线的定义

8、给出 a PP PF2 2 与 】、2 2 的数量关系，然后再利用余弦定理求出与弋的数量关系，最后利用基本1111 已知椭圆和双曲线有共同焦点, ,是它们的一个交点，且牛 PFPF 广3，记椭圆C.C. 2 2 D D.化简该式可变成:第9页共 16 页不等式求得范围。花212八（K_1）+V =；1212 如图，已知抛物线：的焦点为 F F,直线 l l 过 F F 且依次交抛物线及圆I I于点 A,B,C,DA,B,C,D 四点，则|AB|+4|CD|AB|+4|CD|的最小值为（）17151311A A.B.B.C.C.D D.【答案】C【解析】由题意得.，即为圆的圆心，准线方程为1。由

9、抛物线的定义得,1 1|AF| = |A0| +-|A0| =xA+-又，所以。|CD|f + f同理。当直线与 x 轴垂直时，则有,33 15|AB| + 4ICD =- + 4 x-= 2 2 2当直线 与 x 轴不垂直时，设直线 方程为：,（ = kx-l）由|；消去 y 整理得；5 I- 513|AB| + 4|CD|-XA+4XO+- 2 抄石+-=-13x； 4K当且仅当时等号成立。第10页共 16 页|AB| + 4CD|综上可得。选 C。点睛：(1)与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关利用定义可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，可以使运算化繁为简.

10、“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.(2)圆锥曲线中的最值问题，可利用基本不等式求解，但要注意不等式成立的条件。二、填空题1313 已知数列时满足ai=Mn_Vl=2n 1则 _【答案】63【解析】根据递推关系式，可采用累加法求其通项公式或直接求数列的第6 项.【详解】由递推关系式可知：累加得：&1 1-2所以【点睛】本题主要考查了数列的递推关系，累加法，等比数列求和，属于中档题1414 若命题“MR”使 K2K+LCI 是假命题，则实数冷勺取值范围为 _答案【解析】 根据命题为假命题知其否命题为真命题，即二次不等式恒成立,根据判别式即可求解【详

11、解】因为命题“ 使 I ，是假命题，第11页共 16 页所以命题“ ？、使:是真命题，第12页共 16 页即二次不等式恒成立,所以:,【点睛】 本题主要考查了含量词的命题及命题的否定，二次不等式的恒成立，属于中档题1515 寒假期间，某校家长委员会准备租赁 A,BA,B 两种型号的客车安排 900900 名学生到重点高 校进行研学旅行，A,BA,B 两种客车的载客量分别为3636 人和 6060 人，租金分别为 12001200 元/ /辆和 18001800 元/ /辆，家长委员会为节约成本，要求租车总数不超过2121 辆，且 B B 型车不多于A A 型车 7 7 辆，则租金最少为 _元.

12、【答案】27600【解析】设分别租用两种型号的客车辆，：辆，所用的总租金为36x + 60y 900,x + y 21 ,(xTy e N)中待满足不等式组!2 2y =：x 十十丄少山，得，作出不等式组对应的平面区域平移y = -x +- + Sy = 75由图象知当直线：经过点时，直线的截距最小，此时最小，由 |K- 5得:，即当 m - -上时，此时的总租金 mm心。17 厂册元，达到最小值，故答案为一.1616 .在如图所示的平面四边形ABCDABCD 中，AB=1AB=1, BC=BC= , ACDACD 为等腰直角三角形,且 / ACD=90ACD=90，贝 U U BDBD 长的

13、最大值为 _元，则U S ,其3K+ Sy 75,x +21 /x.y N)即 w w 7 7，由2zy = x 十-31800第13页共 16 页【答案】-【解析】设/ ABCa，/ ACB=B ,则在ABC 中，i-i-由余弦定理得 AC2=l+3 - 2 cos a =4 2 cos ,ABAB ACAC由正弦定理得,sinasina即 sin 3=,ACD 为等腰直角三角形， AD= AC ,在厶 BCD 中，由余弦定理得：BD2=BC2+CD2- 2BC?CD?cos (90+ 3)即 BD2=3+AC2+2 ACsin 3=3+4 - 2 cos a +2 sin a=7+2 si

14、n ( a-) 当 a=时，sin ( a-)取得最大值 1,对角线 BD 最大，最大值为 1+.故答案为：1+.三、解答题3$厂 5-(1)(1)求角 C; (2 2)若：，求的周长. .C二-【答案】(1)(2)1717 .的内角 A A, B,B, C C 的对边分别为a a, b b, c.c.已知第14页共 16 页【解析】试题分析：（1 ）根据正弦定理把”宀:2 沁:化成1 1cosCcosC = =九 MZrwmMZrwm 沙呵小、irir匚 利用和角公式可得从而求的角；（2）根据三角形的面积和角的值求得，由余弦定理求得边得到的周长.试题解析：（1）由已知可得 工1H H=2co

15、sCsin(A + B) = sinCcosC = 一二匚=-2313r1J3_S.- absinC -J3 = -ab ab = S(2)又 -:日 + + b b - - 1313 认(a(a + + b)b)二 25a25a + + 5 5 = = 5 5 ?【考点】 正余弦定理解三角形1818 设命题 p p：实数 x x 满足 ：:，其中 ；命题 q q：实数 x x 满足 （1 1）若.且 p q q 为真，求实数的取值范围;（2 2）若 是，的充分不必要条件，求实数-的取值范围. .【答案】-；（2）【解析】试题分析：（1 ）若 a=1，分别求出 p, q 成立的等价条件，利用且

16、 pA q 为真， 求实数x 的取值范围；（2）利用p 是q 的充分不必要条件，即 q 是 p 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围.试题解析：2 2x - 4ax + 3a 又，所以:当 时，I -,即 为真时实数的取值范围为 I为真时实数的取值范围是-,若为真，则真真，所以实数的取值范围是-x-30 x-2第15页共 16 页(2) 是：的充分不必要条件，即：，等价于卩,设“ *：m m ： -讣，则是；的真子集;则,且 所以实数的取值范围是|.佃.(本小题满分 1212 分)已知等差数列:an/满足： 乱=7,氏a 26. 、an的 前 n n 项和为Sn.(i)求an及Sn；1(n

17、)令 bn = 2(nN ),求数列的前 n 项和 Tn .an-1【答案】(i)an= 2n 1, Sn二n n 2 ；(n)n.4( n +1)【解析】试题分析：(1)设等差数列 订的公差为d,由已知a3=7,a5- a7= 26可得 印2d =712ai10d =261 /11解得ad，则an及Sn可求；(2)由(1)可得 bn =-，裂项求和即可4 Jn n +1 丿试题解析：(1)设等差数列、an的公差为 d，因为a3= 7,a5a7= 26，所以有a12d =7，12a110d =26解得冃=3,d =2，所以a 3 2 n-1 = 2n 1,(2)由(1)知，an=2n 1,1

18、1 1 1(2n +1)-14n(n +1) 4(n斗/丄111L14(22 3 n n +1丿41即数列、bn f的前 n 项和Tnn.4( n +1)【考点】 等差数列的通项公式，前 n 项和公式。裂项求和2020 .如图，正方形 ACDEACDE 所在的平面与平面 ABCABC 垂直，M M 是 CECE 和 ADAD 的交点，ACAC BC,BC,Sn=3n所以所以TnJn +1.丿第16页共 16 页且 AC=BC.AC=BC.(2)(2) 求直线 ABAB 与平面 EBCEBC 所成角的大小，(3)(3) 求二面角 A-BE-CA-BE-C 的大小. .【答案】(1)见解析(2)

19、30( 3) 60【解析】 以点 A 为原点，以过 A 点平行于 BC 的直线为 x 轴，分别以直线 AC 和 AE 为 y 轴和 z 轴，建立空间直角坐标系 A-xyz,利用向量法能证明娱何-平面求出平面 EBC 的法向量，利用线面角公式求解(3)求平面 EAB 的法向量，根据向量法求出二面角A-BE-C 的大小.【详解】建立空间直角坐标系A-xy，设：=;=一=-所以- 1：=-.-：-. 121 已知数列的前 n 项和 满足且 。求数列 的通项公式；aa(2)求.的值。【答案】(1)1(2)【解析】(1)根据数列前 n 项和与数列通项满足求通项公式(2)利用错位相减法求和即可 【详解】(

20、1)当 时，、，解得 或 0 (舍去)当沁 2 时，+2%_十家 1 + 51)1，2a = a2- a + 1 (a -l)2-a2=0两式相减得：，即， a 1,.,3 -1 + a . 0 a -1 -a . = 0 a - a “ = 1又因为 ，所以。，即，a = a, + fn - IV 1 = n + 1 是公差为 1 的等差数列，a. a,a(2)因为，所以，2Tn= 2 x 23+ 3 24+ . + n 21 + 1+ (n + 1) 2两式相减得:数列第18页共 16 页所以【点睛】本题主要考查了数列的通项公式，前 n 项和与通项间的关系，错位相减法，属于中档题2 2厂C：一 + =_22 .已知椭圆，的离心率为，其左、右焦点分别为F1F1、F2F2,点P(3o)是坐标平面内一点，且|0 卄 5 5, , PFPFPFPF 厂止(为坐标原点). .(1) 求椭圆 C C 的方程；(2)过点：: I 且斜率为 k k 的动直线 l l 交椭圆于ABAB 两点，在 y 轴上是否存在定点 M M , , 使以 ABAB 为直径的圆恒过该点？若存在，求出点 M M 的坐标，若不存在，说明理由 . .2 2x y-1-=1【答案】(1)宀