八年级上册一次函数经典例题

1、学习必备欢送下载立仁教育一次函数知识点总结及经典题目练习知识点1一次函数和正比例函数的概念假设两个变量x,y间的关系式可以表示成y=kx+b(k,b为常数,kw.的形式,那么称y是x的一次函数(x为自变量),特别地,当b=0时,称y是x的正比例函数.例如：y=2x+3,y=-x+2,y=1x等都是一次函数,y=1x,y=-x都是正比例函数.22【说明】(1)一次函数的自变量的取值范围是一切实数,但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定.(2)一次函数y=kx+b(k,b为常数,bw.中的幺次和一元一次方程、一元一次不等式中的"次意义相同,即自变量x的次数为1,一次项系数k必须是不为零

2、的常数,b可为任意常数.(3)当b=0,kw.时,y=kx仍是一次函数.(4)当b=0,k=0时,它不是一次函数.知识点2函数的图象把一个函数的自变量x与所对应的y的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点,所有这些点组成的图形叫做该函数的图象.画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线.知识点3一次函数的图象由于一次函数y=kx+b(k,b为常数,kw.的图象是一条直线,所以一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b.由于两点确定一条直线,因此在今后作一次函数图象时,只要描出适合关系式的两点,再连成直线即可,一般选取两个特殊点：直线与y轴的交点(0,b),直线与x轴的交点

3、(-b,0).但也不必一定选取这两个特殊点.画正比例函数y=kx的图象时,只要描出点(0,k0),(1,k)即可.知识点4一次函数y=kx+b(k,b为常数,kw.的性质(1) k的正负决定直线的倾斜方向；k>0时,y的值随x值的增大而增大；学习必备欢送下载k<O时,y的值随x值的增大而减小.(2) |k|大小决定直线的倾斜程度,即|k|越大,直线与x轴相交的锐角度数越大(直线陡),|k|越小,直线与x轴相交的锐角度数越小(直线缓)；(3) b的正、负决定直线与y轴交点的位置；当b>0时,直线与y轴交于正半轴上；当b<0时,直线与y轴交于负半轴上；当b=0时,直线经过原

4、点,是正比例函数.(4)由于k,b的符号不同,直线所经过的象限也不同；如图11-18(1)所示,当k>0,b>0时,直线经过第一、二、三象限(直线不经过第四象限)；如图11-18(2)所示,当k>0,b>O时,直线经过第一、三、四象限(直线不经过第二象限)；如图11-18(3)所示,当k<O,b>0时,直线经过第一、二、四象限(直线不经过第三象限)；如图11-18(4)所示,当k<O,b<O时,直线经过第二、三、四象限(直线不经过第一象限).(5)由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小,k相同,说明这两个锐角的大小相等,且它们是同位角,因此,它

5、们是平行的.另外,从平移的角度也可以分析,例如：直线y=x+1可以看作是正比例函数y=x向上平移一个单位得到的.知识点5正比例函数y=kx(kw.)的性质(1)正比例函数y=kx的图象必经过原点；(2)当k>0时,图象经过第一、三象限?随乂的增大而增大；(3)当k<0时,图象经过第二、四象限?随乂的增大而减小.知识点6点P(x.,y.)与直线y=kx+b的图象的关系(1)如果点P(x0,y0)在直线y=kx+b的图象上,那么x0,y0的值必满足解析式y=kx+b;(2)如果x0,y0是满足函数解析式的一对对应值,那么以x0,y0为坐标的点P(1,2)必在函数的图象上.例如：点P(1

6、,2)满足直线y=x+1,即x=1时,y=2,那么点P(1,2)在直线y=x+1的图象上；点P'(2,1)不满足解析式y=x+1,由于当x=2时,y=3,所以点P'(2,1)不在直线y=x+l的图象上.知识点7确定正比例函数及一次函数表达式的条件(1)由于正比例函数y=kx(kw.中只有一个待定系数k,故只需一个条件(如一对x,y的值或一个点)就可求得k的值.(2)由于一次函数y=kx+b(kw.中有两个待定系数k,b,需要两个独立的条件确定两个关于k,b的方程,求得k,b的值,这两个条件通常是两个点或两对x,y的化知识点8待定系数法先设待求函数关系式(其中含有未知常数系数),

7、再根据条件列出方程(或方程组),求出未知系数,从而得到所求结果的方法,叫做待定系数法.其中未知系数也叫待定系数.例如：函数y=kx+b中,k,b就是待定系数.知识点9用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤(1)设函数表达式为y=kx+b；(2)将点的坐标代入函数表达式,解方程(组)(3)求出k与b的值,得到函数表达式.例如：一次函数的图象经过点(2,1)和(-1,-3)求此一次函数的关系式.解：设一次函数的关系式为y=kx+b(kw.,由题意可知,12kb,43,533kb,k解b此函数的关系式为y=4x5.33【说明】此题是用待定系数法求一次函数的关系式,具体步骤如下：第一步,设(根据题中

8、要求的函数设"关系式y=kx+b,其中k,b是未知的常量,且kw.；第二步,代(根据题目中的条件,列出方程(或方程组),解这个方程(或方程组),求出待定系数k,b)；第三步,求(把求得的k,b的值代回到设的关系式y=kx+b中)；第四步,写(写出函数关系式).思想方法小结(1)函数方法.函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系,抽象、升华为函数的模型,进而解决有关问题的方法.函数的实质是研究两个变量之间的对应关系,灵活运用函数方法可以解决许多数学问题.(2)数形结合法.数形结合法是指将数与形结合,分析、研究、解决问题的一种思想方法,数形结合法在解决与函数有关的问题时,能起到

9、事半功倍的作用.知识规律小结(1)常数k,b对直线y=kx+b(kw.位置的影响.当b>0时,直线与y轴的正半轴相交；当b=0时,直线经过原点；当b<0时,直线与y轴的负半轴相交.当k,b异号时,即-b>0时,直线与x轴正半轴相交；k当b=0时,即-b=0时,直线经过原点；k当k,b同号时,即-b<0时,直线与x轴负半轴相交.k当k>O,b>O时,图象经过第一、二、三象限；当k>0,b=0时,图象经过第一、三象限；当b>O,b<O时,图象经过第一、三、四象限；当k<O,b>0时,图象经过第一、二、四象限；当k<O,b=0时

10、,图象经过第二、四象限；当b<O,b<O时,图象经过第二、三、四象限.(2)直线y=kx+b(kw.与直线y=kx(kw0)位置关系.直线y=kx+b(k*如行于直线y=kx(kw0)当b>0时,把直线y=kx向上平移b个单位,可得直线y=kx+b;当b<O时,把直线y=kx向下平移|bW单位,可得直线y=kx+b.(3)直线bi=kix+bi与直线y2=k2x+b2(k1w0,k2w.的位置关系.kiW2yi与y2相交；k1k2yi与y2相父于y轴上同一点(0,bi)或(0,b2)；b1b2""'yi与y2平行；bib2K"

11、9;yi与y2重合.bib2''典例讲解基此题本节有关根本概念的题目主要是一次函数、正比例函数的概念及它们之间的关系,以及构成一次函数及正比例函数的条件.例i以下函数中,哪些是一次函数？哪些是正比例函数？(i)y=x；(2)y=-2;(3)y=-3-5x；2x(4)y=-5x2;(5)y=6x-(6)y=x(x-4)-x2.2根底应用题本节根底知识的应用主要包括：(1)会确定函数关系式及求函数值；(2)会画一次函数(正比例函数)图象及根据图象收集相关的信息；(3)利用一次函数的图象和性质解决实际问题；(4)利用待定系数法求函数的表达式.例3一根弹簧长15cm,它所挂物体的质量不

12、能超过18kg,并且每挂1kg的物体,弹簧就伸长0.5cm,写出挂上物体后,弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)之问的函数关系式,写出自变量x的取值范围,并判断y是否是x的一次函数.学生做一做乌鲁木齐至库尔勒的铁路长约600千米,火车从乌鲁木齐出发,其平均速度为58千米/时,那么火车离库尔勒的距离s(千米)与行驶时间t(时)之间的函数关系式是.例5y-3与x成正比例,且x=2时,y=7.(1)写出y与x之间的函数关系式；(2)当x=4时,求y的值；(3)当y=4时,求x的值.学习必备欢送下载例6假设正比例函数y=(1-2m)x的图象经过点A(xi,yi)和点B(x2,y2),当xi&

13、lt;X2时,yi>y2,那么m的取值范围是()A.m<OB.m>0C.m<1D,m>M2学生做一做某校办工厂现在的年产值是15万元,方案今后每年增加2万元.(1)写出年产值y(万元)与年数x(年)之间的函数关系式；(2)画出函数的图象；(3)求5年后的产值.例8求图象经过点(2,-1),且与直线y=2x+1平行的一次函数的表达式.综合应用题本节知识的综合应用包括:(2)与不等式知识的综合应(1)与方程知识的综合应用;用；(3)与实际生活相联系,通过函数解决生活中的实际问题.例8y+a与x+b(a,b为是常数)成正比例.(1) y是x的一次函数吗？请说明理由；(2

14、)在什么条件下,y是x的正比例函数？例9某移动通讯公司开设了两种通讯业务：全球通使用者先交50元月租费,然后每通话1分,再付费0.4元；神州行使用者不交月租费,每通话1分,付话费0.6元(均指市内通话)假设1个月内通话x分,两种通讯方式的费用分别为y1元和y2元.(1)写出y1,y2与x之间的关系；(2) 一个月内通话多少分时,两种通讯方式的费用相同？(3)某人预计一个月内使用话费200元,那么选择哪种通讯方式较合算？例10y+2与x成正比例,且x=-2时,y=0.(1)求y与x之间的函数关系式；(2)画出函数的图象；(3)观察图象,当x取何值时,y>(P(4)假设点(m,6)在该函数的

15、图象上,求m的值；(5)设点P在y轴负半轴上,(2)中的图象与x轴、y轴分别交于A,B两点,且Szabp=4,求P点的坐标.例11一次函数y=(3-k)x-2k2+18.(1) k为何值时,它的图象经过原点？(2) k为何值时,它的图象经过点(0,-2)?(3) k为何值时,它的图象平行于直线y=-x?(4) k为何值时,y随x的增大而减小？例12判断三点A(3,1),B(0,-2),C(4,2)是否在同一条直线上.探索与创新题主要考查学生运用知识的灵活性和创新性,表达分类讨论思想、数形结合思想在数学问题中的广泛应用.例13老师讲完乙次函数这节课后,让同学们讨论以下问题：(1) x从0开始逐渐

16、增大时,y=2x+8和y=6x哪一个的函数值先到达30?这说明了什么？(2)直线y=-x与y=-x+6的位置关系如何？甲生说：“y=6x勺函数值先到达30,说明y=6x比y=2x+8的值增长得快.乙生说：直线y=-x与y=-x+6是互相平行的.你认为这两个同学的说法正确吗？例14某校一名老师将在假期带着学生去北京旅游,用旅行社说：如果老师买全票,其他人全部半价优惠.乙旅行社说：所有人按全票价的6折优惠.全票价为240元.(1)设学生人数为x,甲旅行社的收费为y甲元,乙旅行社的收费为y乙元,分别表示两家旅行社的收费；(2)就学生人数讨论哪家旅行社更优惠.学生做一做某公司到果园基地购置某种优质水果

17、,慰问医务工作者.果园基地对购买量在3000千克以上(含3000千克)的有两种销售方案.甲方案：每千克9元,由基地送货上门；乙方案：每千克8元,由顾客自己租车运回,该公司租车从基地到公司的运输费为5000元.(1)分别写出该公司两种购置方案的付款y(元)与所购置的水果量x(千克)之间的函数关系式,并写出自变量X的取值范围；(2)当购置量在什么范围时,选择哪种购置方案付款少？并说明理由.-5<y-2,那么这个函数的解析式为中测试题预测例1某地举办乒乓球比赛的费用y(元)包括两局部：一局部是租用比赛场地等固定不变的费用b(元),另一局部与参加比赛的人数x(人)成正比例,当x=20时y=160

18、O;当x=3O时,y=200O.(1)求y与x之间的函数关系式；(2)动果有50名运发动参加比赛,且全部费用由运发动分摊,那么每名运发动需要支付多少元？例2一次函数y=kx+b,当x=-4时,y的值为9;当x=2时,y的值为-3.(1)求这个函数的解析式2在直角坐标系内画出这个函数的图象.例3如图11-27所示,大拇指与小拇指尽量张开时,两指尖的距离称为指距.某项研究说明,一般情况下人的身高h是指距d的一次函数,下表是测得的指距与身高的一组数据.指距d/cm20212223身高h/cm1601691781871求出h与d之间的函数关系式；不要求写出自变量d的取值范围2某人身高为196cm,一般情况下他的指距应是多少？例4汽车由重庆驶往相距400千米的成都,如果汽车的平均速度是100千米/时,那么汽车距成都的路程s千米与行驶时间t时的函数关系用图象如图11-28所示表示应为例5函数：1图象不经过第二象限；2图象经过点2,-5.请你写出一个同时满足1和2的函数关系式：例6人在运动时的心跳速率通常和人的年龄有关.如果用a表示一个人的年龄,用b表示正常情况下这个人运动时所能承受的每分心跳的最高次数,另么b=0.8220-a.1正常情况下,在运动时一个16岁的学生所