考研数一真题及解析

1、2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.lim(cosx_01x) ln(1 x2)曲面z=x2+y2与平面2x+4yz=0平行的切平面的方程是0o设x2='ancosnx(-二nz02从R的基外-21利基01 =一11、2的过渡矩阵为(5)(X,Y)的概率密度为f(x,y) = «6x, 0<x<y<1,廿 J则 PX+YE1 =0, 其他，(6)已知一批零件的长度X (单位：cmcm)服从正态分布N(N,1),从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 ( cm),则

2、N的置信度为0.95的置信区间是(注：标准正态分布函数值 (1.96) =0.975，(1.645) =0.95.)二、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分，下列每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内 .设函数f(x)在(,)内连续，其导函数的图形如图所示,则£(刈有()(A) 一个极小值点和两个极大值点.(B)两个极小值点和一个极大值点.(C)两个极小值点和两个极大值点.(D)三个极小值点和一个极大值点.设an,bn,cn 土匀为非负数歹I，且lim ann ”二bn < Cn对任意n成立.(A) an < bn对任意n成

3、立.(B)(C) 极限limancn不存在.(D)极限nimRCn不存在.已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且lim"y)；xy=1,则()xQy)0(x2-y2)2(A) 点(0,0)不是f(x,y)的极值点.(B) 点(0,0)是f(x,y)的极大值点.(C) 点(0,0)是f(x,y)的极小值点.(D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点.(4)设向量组I：%,Q2，为可由向量组II：豆，卜2,，丸线性表示，则()(A)当r<s时，向量组II必线性相关.(B)当rs时，向量组II必线性相关.(C)当r<s时，向量组I必线性相关

4、.(D)当r>s时，向量组I必线性相关.(5)设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0,其中A,B均为mxn矩阵，现有4个命题：若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)之秩(B);若秩(A)之秩(B),则Ax=0的解均是Bx=0的解；若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A尸秩(B);若秩(A)=tt(B),则Ax=0与Bx=0同解.以上命题中正确的是()(A).(B).(C).(D).1 一(6)设随机变量Xt(n)(n>1),Y=1,则()X(A)Y2(n).(B)Y2(n-1).(C)YF(n,1).(D)YF(1,n).三、(本题满分10分)过坐标原点作曲线y=lnx的切线，该切线

5、与曲线y=lnx及x轴围成平面图形D.(1)求D的面积A;(2)求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积V.四、(本题满分12分)1-2x一.二(-1)n,一将函数f(x)=arctan展开成x的吊级数，并求级数工-的和.1 2xnz2n1五、(本题满分10分)已知平面区域D=(x,y)0MxEn,0WyWn,L为D的正向边界.试证：sinysinxsinysinx(1) xedy-yedx=xedy-yedx;(2) Lxesinydy-ye"inxdx-2-2.六、(本题满分10分)某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功.设土层对桩的

6、阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为k,k>0).汽锤第一次击打将桩打进地下am.根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0cr<1).问(1)汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？(2)若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？(注：m表示长度单位米.)七、(本题满分12分)设函数y=y(x)在(fHc)内具有二阶导数，且y，#0,x=*(丫)是y=y(x)的反函数.(1)试将x=x(y)所满足的彳分方程将+卬+$的祖史)3=0变换为y=y(x)满足的微dydy分方程；3.(2)求变换后的微分万程潴足初始条件y(0)=0,y&#

7、39;(0)=3的解.八、(本题满分12分)G(t)=_22.f (x y )d。D(t)t 2f(x )dx设函数f(x)连续且恒大于零,f(x2y2z2)dvF(t)2(t22-2f(x2y2)d二D(t)其中C(t)=(x,y,z)x2+y2+z2<t2,D(t)=(x,y)x2+y2<t2.(1)讨论F(t)在区间(0,收)内的单调性._2(2)证明当t>0时，F(t)>-G(t).冗九、(本题满分10分)322010设矩阵A=232,P=101,B=P,A*P,求B+2E的特征值与特征向量，：223_901_其中A*为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵.十、(本题

8、满分8分)已知平面上三条不同直线的方程分别为(11) ax+2by+3c=0,l2:bx+2cy+3a=0,131cx+2ay+3b=0.试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0.H、(本题满分10分)已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：(1)乙箱中次品件数X的数学期望；(2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率.十二、(本题满分8分)设总体X的概率密度为其中ea0是未知参数.从总体X中抽取简单随机样本X1,x2，xn,记(1)求总体X的分布函数F(x);(2)求统计量9的分布函数F?(x);(

9、3)如果用©作为8的估计量，讨论它是否具有无偏性.2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题1【答案】【详解】方法1:求limu(x)v(x)型极限，一般先化为指数形式然后求limv(x)lnu(x),再回到指数上去.In cosxlim _x_0,ln(1 x2)-e1lncosxlim(cosx)ln(1x)=limeln(1")x)0x0ln cosx lim2x 0 ln(1 x )ln(1 cosx -1)=lim2 =hmx 0 ln(1 x ) x 0聋二1(等价无穷小替换ln(1+x)x) x1 2 x 二 lim 22 x 50 x1 一

10、 = -2(等价无穷小替换1 21 - cosxL 一 x )2生-1原式=e2：一.可解得，xo=1,y0=2,相应地有Zo=x0+y；=5.所求切平面过点(125),法向量为：出=2,4,1,故所求的切平面方程为2(x1)+4(y2)(z5)=0,即2x+4yz=5【答案】1【详解】将f(x)=x2(-冗MxMn)展开为余弦级数f(x)=od冗'f (x) cos nxdx .所以2a2=一 jicos2xdx = 1 ° x2d c 12sin2x =x sin2x-TT J0 - sin2x 2xdx【答案】23-1-2x=£ancosnx(一冗<x&

11、lt;n),其中annz0根据定义，从R2的基10.I1-b到基Pi的过渡矩阵为，1P= ：1,：2 ：1, ：2 = 0-11231= I211 -<【答案】4【分析】本题为已知二维随机变量(X ,Y)的概率密度f (x, y),求满足一定条件的概率Pg(X,Y) Ez。.连续型二维随机变量(X,Y)概率的求解方法此题可转化为二重积分Pg(X ,Y) W z0 = JJ f (x, y)dxdy进行计算.g(x,y) _Zo 【详解】图中阴影区域为积分区域.由题设，有P X Y _ 1 二 f (x, y)dxdy * xy</ /、(6)【答案】(39.51,40.49).1C

12、/【分析】可以用两种方法求解:(1)已知方差仃2 =1 ,对正态总体的数学期胃-O乙进加计.因为Xi N(t1),设有n个【详解】n维向量空间中，从基%,气，0n到基PiM,，Pn的过渡矩阵P满足43,，Pn=%,。2,PnP,因此过渡矩阵P为:P=%5，Pn'屋%,，.,n样本，样本均值X=1£Xi,则三口*匕1),将其标准化，由公式X_E(X)N(0,1)得:nijnD(X)X-J1N(0,1)由正态分布分为点的定义Pn<uj=1a可确定临界值U,进而确定相应的置信2万区间(x -u凫赤,x+u凫忑).经求出的置信区间(x-u.,二，x，u二2 . n 2 . n(

13、2)本题是在单个正态总体方差已知条件下，求期望值N的置信区间问题.由教材上已),其中PU|<Upt=1-a,ULjN(0,1),可以直接得2出答案.【详解】方法1:由题设，1-a=0.95,可见a=0.05.查标准正态分布表知分位点ua=1.96.240 -1 <16<1.96 =0.95 ,有P本题n=16,x=40.<1.96=0.95,即P39.51<4<40.49=0.95,故N的置信度为0.95的置信区间是(39.51,40.49).方法2:由题设，1-口=0.95,查得=1.96.将0'=1,n=16,x=40代入(x-u%=,x+u%不

14、)得置信区问(39.51,40.49)二、选择题(1)【答案】(C)【分析】函数的极值点可能是驻点(一阶导数为零)或导数不存在的点，极值点是极大值点还是极小值点可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定.【详解】根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个(导函数与x轴交点的个数)；x=0是导数不存在的点.对3个一阶导数为零的点左右两侧导数符号均不一致，故必为极值点，其中第一个交点左右两侧导数符号由正变为负，是极大值点；第二个交点和第三个交点左右两侧导数符号由负变为正,是极小值点，则三个驻点中有两个极小值点，一个极大值点；对导数不存在的点：x=0.左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为

15、极大值点.故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C).【答案】(D)【详解】方法1:推理法由题设limbn=1,假设limbncn存在并记为A,则mm=bncn=A,这与limcnn_scn_scn_Cnacbnn_sc矛盾，故假设不成立，limbncn不存在.所以选项(D)正确.n.方法2:排除法1n1取an=,a=，辆足liman=0,limbn=1,而&=1,D=0,a1>6,(A)不正确；nnnn，二n-1取bn=,cn=n-2,湎足limbn=1,limcn=8，而b1=0>-1=c1,(B)不正确；nn>二nf二1取an=一,cn=n2,才两足l

16、iman=0,limcn=00,而limancn=1,(C)不正确.nnj二二nj二二n-J：【答案】(A)其中 lim a = 0 .x 0y )0【详解】由limf(x,y)；xy=1=f(x,y)xy=(1+a)(x2+y2)2,x0，y0(xy)由f(x,y)在点(0,0)连续知，f(0,0)=0.My=x,x充分小，x#0,有f(x,y)=x2+(1+a)(2x2)2>0;取y=x,x充分小，x#0,有f(x,y)=x2+(1+u)(2x2)2<0故点(0,0)不是f(x,y)的极值点，应选(A).(极值的定义)(4)【分析】本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：

17、若向量组I：%Q2，产,可由向量组II:%¥2,，Ps线性表示，则当rs时，向量组I必线性相关.或其逆否命题：若向量组I：%,%,，可由向量组II：P1J2,，Ps线性表示，且向量组I线性无关,则必有rMs.可见正确选项为(D).本题也可通过举反例用排除法找到答案.【详解】用排除法：%=P=/2=，则%=0万1+0凡，但01户2线性无关，排除(A)；必%=0，则F2可由3线性表示，但3线性无关，排除(B)；Q。/。汽1 =, M0、为可由良，P2线性表示，但由线性无关，排除(C) .(5)【答案】(B)【分析】本题可找反例用排除法进行分析，但、两个命题的反例比较复杂一些，关键是抓住、

18、，迅速排除不正确的选项.【详解】若AX=0与BX=0同解，则它们的解空间中的基础解系所含向量个数相同，即n-秩(A尸门-秩(B),得秩(人)=秩(B),命题成立，可排除(A),(C);但反过来，若秩(A尸秩(B),则不能推出以=0与8*=0同解，通过举一反例证明，“1 0右A 二 0 0不成立，排除(D).(6)【答案】(C).,则秩(A尸秩(B)=1 ,但AX =0与BX =0不同解，可见命题故正确选项为(B) .【分析】求解这类问题关键在于了解产生X变量、t变量、F变量的典型模式.n(1) X分布：设Xi,X2|,Xn相互独立且均服从标准正态分布，则随机变量Z=£Xi2服i从自由

19、度为n的炉分布.记做ZLX(n).(2) t分布：设Xil_N(0,1),X2/之且X3X2相互独立，则随机变量Z=服X2/n从自由度为n的t分布.记做Z|_|t(n)(3) F分布：设X172(必),丫72(n2),且X,Y相互独立，则随机变量Z=&2服从F分Yn2布，其第一、二自由度分别为5,1.记做Zl_F(ni,n2).【详解】其实，由F分布的性质以及t分布和F分布的关系得，(1)如果统计量TUt(n),则有T2F(1,n);1(2)如果统计量Fl_F(n1,n2),则有1LIFSm).由以上两条性质可以直接得出本题的答案为(C).先由t分布的定义知X=l_t(n),其中UN(

20、0,1),V22(n),于是Vn丫丫222/5XUU分母中只含有一个标准正态分布的平方，所以U2*(1).由F分布的定义知YF(n,1).故应选(C).【分析】圆锥体体积公式：Vjrf旋转体的体积：(1)连续曲线y=f(x),直线x=a、x=b所围成的图形绕直线x=x0旋转一周而成的立b2体的体积V1=-aIf(x)-x02dx(2)连续曲线x=g(x),直线y=c、y=d所围成的图形绕直线y=y0旋转一周而成的g(y) -y02 dyd立体的体积V2=二c【详解】为了求D的面积，首先要求出切点的坐标，设切点的横坐标为x0,则曲线y=lnx在点(孔刖)处的切线方程是:切线的斜率为y；=1,由于

21、该切线过原点，将(0,0)点代入切线方程，得此刈-1=0,从xo而x°=e所以该切线的方程为(1)利用平面图形D的面积公式S=j9(y)-(y)dy,得(2)旋转体体积可用一大立体(圆锥)体积减去一小立体体积进行计算，为了帮助理解,可画一草图.O 1ex切线y=1x与x轴及直线/=e所围成的三角形绕直线x=e旋转所得的圆锥体积为:e曲线y=lnx与x轴及直续x=e所围成的图形绕直线x=e旋转所得的旋转体体积为:因此所求旋转体的体积为四【分析】幕级数展开有直接法与间接法，一般考查间接法展开，即通过适当的包等变形、求导或积分等，转化为可利用已知幕级数展开的情形.另外，由于函数展开成的幕级

22、数，经两边求导或积分(其中一边是逐项求导或逐项积分)后，其新的展开式收敛区间不变，但在收敛区间端点处，求导(积分)后的展开式成立与否，要另行单独处理，设已有收敛区间为(xo-R,x。+R).如果在x=xo+R处级数收敛，并且f(x)(左)连续，则展开式成立的范围可扩大到x=x0+R处，在x=x0-R处亦有类似的结论，不过此时f(x)(左)连续应改称(右)连续.【详解】本题可先求导，所以f (x)=1 -2x1 2x彳 1 -2x f11 2x对于函数一1-21 4x21 2x) 2(1 2x)1+2x2)11-2x12x基本求导公式,可以利用我们所熟悉的函数八(Sx2)n ='、. J

23、1)n4nx2nn =01f (x)二一2FoOcn , n 2n=_2V (-1) 4 xn z0的幕级数展开:1 - x1</x2<1 (把 x换成 Bx2)1 1x (-2,2).对上式两边求积分，得= "-1)n4non -0t"二 _23>1n 卫 2n 1, 1 1、*(-妙'又因为f(0)=工，所以4xnn(x)=f(0)fdt=_-2、(1)4x2n11 1，x (一5,2).04n卫2n1(*)arctanU=j-2<：且fx?",12x4n22n1在x6处,右边级数成为(E,收敛(利用莱布尼茨定理)，左边函数f

24、(x)连续,一一、 一 1所以成立范围可扩大到x=1处.而在x =2, 八一11续，所以成立范围只能是x5-.2 21 一-1处，右边级数虽然收敛，但左边函数f(x)不连为了求包,n62n 1.1令x=2代入(*)JI(-1)4n12n 1 22n 13, 4 nzo 2n 1一.1 .一再由f(-) =0,得2五【详解】(1)方法1:用格林公式证明.由曲线为正向封闭曲线，自然想到用格林公式J Pdx+Qdy = Jjj 啦一史 jD【ex cy所以_ sin yxe dy -ye-sin xsin y - sin xxdx = (e e )dxdyD所以Ci-sin ysin xsin ys

25、in x、xe dy - ye dx 11 (e e ) dxdy因为积分区域D关于y=x对称，所以sinysinxsinysinx故xedy-yedx=xedy-yedx方法2:化为定积分证明-0.-.左边丑xesinydy，ye-inxdx=.尸®一_.一如=二°(esinxe-inx)dx右边=1xe"inydy-瓜yesinxdx=ne'inydy-fesinxdx=n(esinx+e-sinx)dx所以Qxesinydy-yesinxdx=qxe_sinydy-yesinxdx.(2)方法1:用格林公式证明=口esinydxdy+JJeinxdx

26、dy=jjesinxdxdy+JJe3nxdxdy利用轮换对称性DDDD+ e-inx)dxdy > ff2dxdy =2n2方法2:由(1)知，Jxesinydyye3inxdx=nr(esinx+e3nx)dxM02dx=2n2六【详解】(1)建立坐标系，地面作为坐标原点，向下为x轴正向，设第n次击打后，桩被打进地下xn,第n次击打时，汽锤所作的功为Wn(n=1,2,3,).由题设，当桩被打进地下的深度为x时，土层对桩的阻力的大小为kx,汽锤所作的功等于克服阻力所做的功.xik2x2k22x3k22W1=kxdx=xj,W2=kxdx=(x2-x1),W3=fkxdx=(x；x2),

27、x1=ao2x12x22ko从而w1w2w；x22又W2=rWi,W；=rW2=r2Wj,从而kx2=W1W2W3=(1rr2)W1=(1rr2)ka222于是x3=a.1rr2.第n次击打后，桩被打进地下xn,第n次击打时，汽锤所作的功为Wn(n=1,2,3,).则汽锤前n次所功的和等于克服桩被打进地下xnm所做的功.而Wi=1kxdx=-a2牛-莱公式1,o2所以kxn2=(1rIHrn'(a2等比数列求和公式从而xn=aJ+r训+rn二=a3T.由于0<r<1,所以limXnn22七【详解】(1)将题中的dx与d_X变换成以X为自变量y为因变量的导数dy与d_y来表示

28、dydydxdxdx _ 1dy dydxd2x dy2(即通常所说的反函数变量变换)，有d/dx、d,1、dx-v1二一()=()=-2-dydydxydyyy代入原方程，得y,-y=sinx.方程(*)所对应的齐次方程为y"-y=0,特征方程为r. 一.一且y(x)的导函数y(x)=e +e cosx>0 ,?两足题设y'/0条件.八【详解】(1)首先对F(t)进行化简，三重积分转化为在球面坐标系中的计算；二重积分转 化为在极坐标系中的计算.=2兀(f (r2)r2dr .(-cos9，：=4n0 f (r2)r2dr(球面坐标)2tt17 f (x +y )d。=

29、 d8 j f (r )rdr =2n(f (r )rdr ( 极坐标)D(t)所以为了讨论F(t)在区间(0,f)内的单调性，对F(t)求导：由于f(t)>0,r>0,t-r>0,所以f(r2)r(t- r)> 0.再利用定积分的性质：若在区间a,b上f(x)A0,则f f(x)dx0.所以F'(t)>0,所以F(t)在区间(0,收)内严格单调增加.a(2)将待证的不等式作适当的包等变形后，构造辅助函数，再用单调性进行证明即可.因为J(x2)dx=2 1f (x2)dx=2( f(r2)dr ,所以1=0,根72=±1,因此通解为Y=C1ex+

30、C2e”由于九十囿不是特征方程得根，所以设方程(*)的特解为贝y'=-Asinx+Bcosx,y"=-Acosx-Bsinx代入方程(*),得：AcosxBsinxAcosxBsinx=2Acosx2Bsinx=sinx1 一*1斛得A=0,B=-一，故y=sinx.从而yy=sinx的通斛为2 23由y(0)=0,y'(0)=2,得Cl1,C2=-1.故变换后的微分万程潴足初始条件3一y(0)=0,y(0)=2的解为22要证明t>0时F(t)AG(t),只需证明t>0时，F(t)G(t)>0,即3131人t_oot_ot_o2令g(t)=0f(r2

31、)r2dr0f(r2)dr-0f(r2)rdr故g(t)在(0,y)内单调增加，又因为g(0)=0,所以当t>0时，有g(t)Ag(0)=0,2从而t>0时，F(t)>-G(t).九【分析】法1:可先求出A*,P,，进而确定B=P'A*P及B+2E,再按通常方法确定其特征值和特征向量；法2:先求出A的特征值与特征向量，再相应地确定A*的特征值与特征向量，最终根据B+2E与A+2E相似求出其特征值与特征向量.【详解】方法1:经计算可得01-1100：001一5-2-2_1A*=-25-2,P所以一70B =P,A P= -252 2-2-250900一4,B+2E=-2

32、7-43-二2-25_90KE-(B+2E)|= 27-1220_2 _4 =(九9)(九3)=0 ,九一5故B+2E的特征值为=九2=9,%=3.当=%=9时，解（9E-A）x=0,得线性无关的特征向量为所以属于特征值%=%=9的所有特征向量为-1-2KZ+k2"2=k11+k20,其中k1,k2是不全为零的任意常数.“一J一当=3时，解（3E-A）x=0,得线性无关的特征向量为-01“3=1I一-01所以属于特征值%=3的所有特征向量为k3n3=k31,其中k3r0为任意常数.上0.方法2:设A的特征值为人，对应的特征向量为刈，即An=Qi.由于A=7#0,所以h#-*.所以AA

33、=AE=AA=|AE"=A(A)=|A(E")*|A|二A（九力）=A"二九A"=恒n=An,于是B（P）=p-IA*P（P_1r）=lA（pJn）,因此，iA+2为B+2E的特征值，对应的特征向量为p-1n.九3由于住_A= -2-2-2-2九3-2=（九1）2（九7）,故A的特征值为乙=%=1,%=7-2九一3-IlT当先=丸2=1时，对应的线性无关特征向量可取为=1,=2=0/JJi当% =7时，对应的一个特征向量为 =一1110 1由 P，= 1 00 0-11一110 ,得 P、= |-1 , P”1 一，一-1 , Pf3J 一一。111 一

34、因此，B+2E的三个特征值分别为9,9,3,对应于特征值9的全部特征向量为一11FkF、+k2P2=K1+k21,其中k1,k2是不全为零的任意常数;'0J对应于特征值3的全部特征向量为k3P'”3=卜31，其中k3是不为零的任意常数.一1一十【分析】三条直线相交于一点，相当于对应线性方程组有唯一解，进而转化为系数矩阵与增广矩阵的秩均为2.【详解】方法1: “必要性”设三条直线11,12,13交于一点，则线性方程组ax2by=-3c,bx2cy=-3a,(*)cx2ay-3b,飞2b"a2b3c有唯一解，故系数矩阵A=b2c与增广矩阵A=b2c-3a的秩均为2,于是1

35、c2a一Ic2a3b_A=0.-222二3(abc)(a-b)(b-c)(c-a),由于三条直线互不相同，所以(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2/0,故a 2bb 2c“充分性”.由a+b+c=0,则从必要性的证明可知，|A=0,故秩(A)<3.由于=2(ac-b2)=-2a(a+b)+b2=-2(a+-b)2+-b20,24故秩(A)=2.于是，秩(A尸秩(A)=2.因此方程组(*)有唯一解，即三直线11,12,13交于百八、方法2:“必要性”X0a2b3c设三直线交于一点(x0,y0),则y0为BX=0的非零解，其中B=b2c3a.J一/2a3bj所以|B|=0.而=3(a+b+c)(ab)2十(b-c)2+(ca)2,(解法同方法1