考研数学公式大全(小字体)

1、学习好资料欢迎下载平方关系：sinA2(a)+cosA2(a)=1tanA2(&)+1=secA2(&)coS2(&)+1=cscA2(&)积的关系：sin民=tan民*cos民cos民=cot民*sin民tan民=sin民*sec民cot民=cos民*csc民sec民=tan民*csc民csc民=sec民*cot民倒数关系：tanacota=1sin民csc民=1cosa.seca=1直角三角形ABC中，角A的正弦值就等于角A的对边比斜边余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比邻边，三角函数恒等变形公式两角和与差的三角函数:cos(a+0)=cosa-sos例s

2、in0cos(a0)=cosa-cos0+sinasin0sin(a±0)=sina-cos0±cosasin0tan(a+0)=(tana+tan-tan(1xtan0)tan(")=(tan-tan0)/(1+tanatan0)三角和的三角函数:sin(a+0+丫)=sina-cos0-cos丫+cosasin0cos-s+cosasitcos0sitsirv丫cos(a+0+f)=cosa-cos-coscosysin0-sisinay-cos0-ssinasin0-cos丫tan(a+0+丫)=(tana+tan&t+itam丫tan0tartan

3、)/(1tanan0-tanan丫tana)辅助角公式：Asina+Bcosa=(AA2+BA2)A(1/2)sin(,a其中sint=B/(A2+B八2)八(1/2)cost=A/(AA2+BA2)A(1/2)tant=B/AAsina+Bcosa=(AA2+BA2)A(1/2)cos(-t),atant=A/B倍角公式：sin(2a)=2sina-cosa=2/(tana+cota)cos(2a)=cosA2(-sinA2(a)=2cosA2(a=12sinA2(a)tan(2a)=2tank晰八2(a)三倍角公式：sin(3&)=3sin-4ainA3(&)cos(3a)

4、=4cosA3(-3cos值半角公式：sin(a/2)=±>c0(5la)/2)cos(a/2)=±，(1+cosa)/2)tan(a/2)=+vcoisla)/(1+cosa)=sina/(1+cos-c©S=(1)/sina降幕公式sinA2(a)=(cos(2a)/2=versin(2a)/2cosA2(a)=(1+cos(2a)/2=covers(2a)/2tanA2(a)=(cos(2a)/(1+cos(2a)万能公式：sina=2tan(a/2)/1+tanA2(a/2)cosa=1-tanA2(a/2)/1+tanA2(a/2)tana=2ta

5、n(a/2)-tanA2(a/2)积化和差公式：sina-cos0=(1/2)sin(a+80+$in(acosasin0=(1/2)sin(-sin(+哪)cosa-cos0=(1/2)cos(a+0)+cos(asina-sin(12)cos(a+cos(a0)和差化积公式：sina+sin0=2sin(a+0)/2cos/2asin(-sin0=2cos(a+0)/2sin()/2acosa+cos0=2cos(a+0)/2cosR)/2acosa-cos0=2sin(a+0)/2sin-(0)/2a推导公式tana+cota=2/sin2atanacota-2cot2a1+cos2a=

6、2cosA2a1-cos2&=2sinA2&1+sina=(sin0/2+cos0/2)八2其他:sina+sin(a+2兀/n)+sin(a+2兀*2/n)+sin(a+2兀*3/n)+s1)/n=0+2兀*(ncos&+cos(a+2兀/n)+cos(a+2兀*2/n)+cos(a+2兀*3/n)+cos-1”n+20*(n及sin八2(a)+sin八2(-2砍/3)+sin八2(a+2兀/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0三角函数的角度换算编辑本段公式一:设a为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(

7、2k%+a)=sinacos(2kTt+a)=cosatan(2kit+a)=tanacot(2ku+a)=cota公式二：设a为任意角，Tt+a的三角函数值与a的三角函数值之间的关系：sin(Tt+a)=sinacos(Tt+a)=cosatan(Tt+a)=tanacot(Tt+a)=cota公式三：任意角a与-a的三角函数值之间的关系：sin(a)=sinacos(a)=cosatan(a)=tanacot(a)=cota公式四：利用公式二和公式三可以得到TT-a与a的三角函数值之间的关系:sin（兀一a)二=sin值cos（兀一a)=cosatan（兀一a)二=tanacot（兀一d)

8、二=cota公式五：利用公式一和公式三可以得到2w-a与a的三角函数值之间的关系:sin(2兀-a)=-sinacos(2%a)=cosatan(2%-a)=tanacot(2it-a)=cota公式六：兀/2土及3兀/2土由a的三角函数值之间的关系:sin（%/2+a）=cosacos(n/2+a)=sinatan(兀/2+a)=cotacot(兀/2+a)=tanasin(兀/2d)=cosacos(兀/2d)=sinatan(兀/2-a)=cot民cot(兀/2-a)=tan民sin(3兀/2+d)=cosacos(3兀/2+a)=sinatan(3兀/2+a)=cotacot(3兀/2

9、+a)=tanasin(3兀/2d)=cosacos(3兀/2a)=sinatan(3兀/2a)=cotacot(3兀/2a)=tana(以上kZ)部分高等内容编辑本段高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：sinx=eA(ix)-eA(-ix)/(2i)cosx=eA(ix)+eA(-ix)/2tanx=eA(ix)-eA(-ix)/ieA(ix)+ieA(-ix)泰勒展开有无穷级数，eAz=exp(z)=1+z/l!+zA2/2!+zA3/3!+zM/4!+z/n!+此时三角函数定义域已推广至整个复数集。三角函数作为微分方程的解：对于微分方程组y=-y"y=y"

10、",有通解Q,可证明Q=Asinx+Bcosx,因此也可以从此出发定义三角函数。补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数一一双曲函数，其拥有很多与三角函数的类似的性质，二者相映成趣。特殊三角函数值a0'30'45'60'90'sina01/2V2/2V3/21cosa1V3/2V2/21/20tana0V3/31V3NonecotaNone，31V3/30导数公式:(tgx)sec2x(ctgx)csc2x(secx)secxtgx(cscx)cscxctgx(ax)axlna(logax)1xlna(arcsinx)(arccosx)

11、(arctgx)(arcctgx)基本积分表：tgxdxIncosxCctgxdxInsinxCsecxdxInsecxtgxCcscxdxIncscxctgxCdx2-cosxdx2sinx2secxdxtgxC2cscxdxctgxCsecxtgxdxsecxCdx1一xcarctgCaadxdx1|xaIn2a|xa1,axIn2aaxcscxctgxdxcscxCxxaadxCInashxdxchxCchxdxshxCdx2x.x_arcsin-Cadx22aln(xx2a2)CInsinnxdx0cosoxdx.x2a2dx.x2a2dx2a/一ln(x22a一lnx.x2a2)Cd

12、x22a.xarcsin一C三角函数的有理式积分:-2usinxr,1u2cosx一些初等函数:2L2，udx2du1u2两个重要极限:双曲正弦：shx双曲余弦：chx双曲正切:thx2shxexchxexlimx0lim(1-)xe2.7182818284590452arshxln(xx1)archxln(xx21)1 .1xarthxIn2 1x三角函数公式:诱导公式：''工工西数角4、sincostgctg-a-sinacosa-tga-ctga90-acosasinactgatga90+acosa-sina-ctga-tga180-asina-cosa-tga-ctga

13、180+a-sina-cosatgactga270-a-cosa-sinactgatga270+a-cosasina-ctga-tga360-a-sinacosa-tga-ctga360+asinacosatgactga和差角公式:和差化积公式:sin()sincoscossinsinsin2sin2cos2cos()cossinsincostg()tgsinsin2cos2-sin21tgtgcoscos2cosctg()ctg_ctgctgctg12cos-sin22sincoscos22学习好资料欢迎下载1倍角公式:sin2cos2ctg2tg22sincos2cos2ctg212ctg

14、2tg1tg22sin22cos2sinsin33sin4sin3cos34cos33costg33tg33tg2半角公式:1cossin2.21costg2;1coscos21cos2cossinsin1cos1cosj,1cos1cossinsin1cos正弦定理：sinAsinB-c-2RsinC余弦定理:,2b2abcosC反三角函数性质:arcsinx一arccosx2arctgxarcctgx高阶导数公式一一莱布尼兹(Leibniz公式:n(n)i(nk)(k)(uv)Cnuvk0(n)(n1)uvnuvn(n1)(n2)-°UVn(n中值定理与导数应用:拉格朗日中值定理

15、:柯西中值定理:f(b)2!f(b)f(a)f(a)f(F(b)F(a)1)(nk-k!1)(nk)(k)UV(n)uvf()(ba)当F(x)x时,曲率：柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。弧微分公式:y2dx,其中ytg平均曲率：K:从M点到M点，切线斜率的倾角变化量；s：MM弧长。M点的曲率:ds(1y2)3.直线：K0;半径为a的圆:学习好资料欢迎下载定积分的近似计算:b矩形法：ab梯形法：af(x)f(x)b抛物线法：f(x)aba/(y。n定积分应用相关公式:功：W水压力:引力：Fyiyn)yn)sPAkmm2,k为引力系数r函数的平均值：yif(x)dxbaayn1)yiyn12(

16、y2V4yn2)4(yiy3yn1)均方根：1bbf2(t)dtaa空间解析几何和向量代数:空间2点的距离：dM1M2一(x2xi)2(y2yi)2(z2zi)2向量在轴上的投影：PrjuABABcos,是AB与u轴的夹角Prju(&82)PrjaiPrja?cosaxbxaybyazbz,是一个数量,两向量之间的夹角:cosaxbxavbvazbxxyyz,22axay2azbx2zby2bz2cabaxbxa,b,azbz,c向量的混合积：abc(aabsin例:线速度:b)azbzccos,为锐角时,cycz代表平行六面体的体积平面的方程：1、点法式：A(xxo)B(y2、般方程

17、：AxByCzyo)C(zDozo)o,其中nA,B,C,Mo(xo,yo,zo)3、截距世方程：-yab平面外任意一点到该平面的距离:AxoBy。CzoD,A2B2C2Xo空间直线的方程:xxomyyonzopt,其中sm,n,p;参数方程:yozomtntPt二次曲面:1、椭球面:2、抛物面:2x2a2x2p2yb22y2qz,(p,q同号)3、双曲面:单叶双曲面:双叶双曲面:2xa2xa丫2b22yb22zc2zc1(马鞍面)多元函数微分法及应用全微分：dzdxx全微分的近似计算：dyyzdz,u.u,u.dudxdydzxfx(x,y)xyzfy(x,y)y多元复合函数的求导法：zfu

18、(t)，v(t)第zfu(x,y),v(x,y)uzv-tvtzuz当uu(x,y),v,u.u.dudxdyxv(x,y)时，dv隐函数的求导公式:隐函数F(x,y)0,dydxdxxdyy隐函数F(x,y,z)0,邑Fy卜Fzd2ydx2一(当+一(为xFyyFyJFzdydxFFJ(F,G)"-v(u,v)GGuvFuFvGuGvu1(F,G)v1(F,G)xJ(x,v)xJ(u,x)u1(F,G)v2(F,G)yJ(y,v)yJ(u,y)隐函数方程组：F(x,y,u,v)0G(x,y,u,v)0微分法在几何上的应用:x空间曲线yz(t)在点M(x0,y0,z0)处的切线方程:

19、(t)XX0yyzz(t。)在点M处的法平面方程:(tO)(xX0)(t°)(yy°)(t0)(zZ0)0若空间曲线方程为：F(x，y，Z)0,则切向量TFyFz,FzFyG(x,y,z)0GyGzGzGxGxGyj曲面F(x,y,z)0上一点M(x0,y0,zO)，则：1、过此点的法向量:nFx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z°)2、过此点的切平面方程：Fx(x0,y0,z°)(xx°)Fy(x0,y0,z°)(yy°)Fz(x°,y°,z°)(zz0)03

20、、过此点的法线方程:xx0yyzz0Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,yoZ)方向导数与梯度：函数zf(x,y)在一点p(x,y)沿*方向l的方向导数为：上cossinlxy其中为x轴到方向l的转角。函数zf(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf(x,y)f-if-jxy它与方向导数的关系是：一fgradf(x,y)e,其中ecosisinj,为l方向上的单位向量。一是gradf(x,y)在l上的投影。设 fx(x0,y°)多元函数的极值及其求法：fy(x0,y0)0,令：fxx(x0,y°)A,fxy(x0,y0)B,fyy(x0,y&#

21、176;)CAC B2则：AC B2AC B2I A0时， A0时，0寸，0,(x0,y0)为极大值0,(%)0)为极小值无极值不确定重积分及其应用:f(x,y)dxdyf(rcosDD,rsin)rdrd曲面zf（x,y）的面积A2dxdy平面薄片的重心：xMxMx(x,y)dD(x,y)d平面薄片的转动惯量:D对于x轴Ixy2(x,y)d,Dy(x,y)dD(x,y)dD对于y轴Iyx2(x,y)dD平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点M(0,0,a),(a0）的引力:FFx,Fy,Fz，其中:FxfD/2(x(x,y)xd3，22、2ya)2FyfD/2(x(x,y)yd3，a2”Fz

22、faD/2(x(x,y)xd3a2户柱面坐标和球面坐标:xrcos柱面坐标：yrsin,zz其中：F(r,z)f(rcosxrsincos球面坐标：yrsinsin,zrcosf(x,y,z)dxdydz,rsin,z)dvrdrsinf(x,y,z)dxdydzF(r,)r2sindrd重心：xxdv,ydv,转动惯量:Ix(y2z2)Iy(x2曲线积分:第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）设f（x,y）在L上连续,L的参数方程为:,(t)F(r,ddr,z)rdrd2dd001Mz2)dz,2rsindrddr(,)F(r,0,)r2sindrdv,其中Mdvdv,Iz(x2y2)dv），则

23、:f(x,y)dsf(t),L(t).2(t)2(t)dt特殊情况：y(t)第二类曲线积分(对坐标的曲线积分)：设L的参数方程为x，则:y(t)P(x,y)dx Q(x,y)dy P (t), (t)L两类曲线积分之间的关系：Pdx QdyLL上积分起止点处切向量 的方向角。(t) Q (t), (t)dt(Pcos Qcos )ds其中和分别为LQPQP格林公式：(一一)dxdy：PdxQd册林公式：(一一)dxdy：PdxQdydxyldxyl一一QP1当Py,Qx,即：2时，44到D的面积：Adxdyoxdyydxxyd2l平面上曲线积分与路径无关的条件:一 Q P 、,且二一。江息奇点

24、，如(0,0),应 x y1、G是一个单连通区域；2、P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数减去对此奇点的积分，注意方向相反！二元函数的全微分求积：在-Q=-P时，PdxQdy才是二元函数u(x,y)的全微分，其中：xy(x.y)u(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy,通常设x0y00。(x0,yo)曲面积分：对面积的曲面积分：f(x,y,z)dsfx,y,z(x,y)(1z2(x,y)zy(x,y)dxdyDxy对坐标的曲面积分：P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdy,其中：R(x,y,z)dxdyRx,y,z(x,y)dxdy取曲面的上侧

25、时取正号；DxyP(x,y,z)dydzPx(y,z),y,zdydz取曲面的前侧时取正号；DyzQ(x,y,z)dzdxQx,y(z,x),zdzdx取曲面的右侧时取正号。Dzx两类曲面积分之间的关系：PdydzQdzdxRdxdy(PcosQcosRcos)ds高斯公式:PQR八八(一)dvPdydzQdzdxRdxdy(PcosQcosRcos)dsxyz高斯公式的物理意义一通量与散度:散度：divP _Qx y通量：A nds AndsR,即：单位体积内所产生的流体质量，若z(Pcos Qcos Rcos )ds,div0,则为消失因此，高斯公式又可写 成： div Adv o And

26、s斯托克斯公式一一曲线积分与曲面积分的关系：RQPRQ(一 )dydz ( )dzdx ( yzzxxdydz dzdx dxdy上式左端又可写成：xyzP QR空间曲线积分与路径无关的条件：- yp、, )dxdy Pdx Qdy Rdzycos cos cosxyzPQRQP R Q Pzz xx yijk旋度：rotA 一 一 xyzPQR向量场A沿有向闭曲线的环流量：, Pdx Qdy Rdz A tds常数项级数：等比数列：1 q q2等差数列：1 2 3调和级数:1 - 12 31 qn1 q(n 1)n21是发散的 n级数审敛法:别法）：1、正项级数的审敛法设：limY；Un,则

27、根植审敛法（柯西判1时，级数收敛1时，级数发散1时,不确定2、比值审敛法:设： lim nUn_L,则Un1时,1时,级数收敛级数发散1时，不确定3、定义法:SnU1 U2Un;limsn存在，则收敛；否则发 n散。交错级数U1U2U1 U2 U3,Un 0）的审敛法 莱布尼兹定理:如果交错级数满足Unlim UnUn10,那么级数收敛且其和SUi，其余项rn的绝又t值rnUn 1。绝对收敛与条件收敛:(1)U1 U2,其中un为任意实数;(2)5U2U3如果（2）收敛，则（1）肯定收敛，且称为绝对收敛级数;如果（2）发散，而（1）收敛，则称为条件收敛级数。调和级数:Ei攵敛;n1时发散1时收

28、敛哥级数1时,对于级数(3)a°a1xa2x1时,n收敛于JL1x发散数轴上都收敛,则必存求收敛半径的方法：设函数展开成哥级数:函数展开成泰勒级数:余项：Rnf(n1)()(n1)!xo4x-Ix在R,使：|x|xlimnan1an,如果它不是仅在原点收敛,R时收敛R时发散，其中R称为收敛半径。R时不定其中an,an1是(3)的系数,f(x0)2f(x)f(xO)(xx0)-(xx°)2!也不是在全0时，R-0时,R时，R0心)(x0),ir(xx°)n(xx0)n1,f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：limRn0时即为麦克劳林公式:f(x)ffx号x2心(

29、0)nxn!些函数展开成骞级数:(1x)mm(m1)21mxx2!m(m1)(mn1)n;:;xn!(1x1)sinxx3x3!5x5!2n1欧拉公式:ixecosxisinxf(t)Ao其中,a。Ansin(nn1aAo，an1)nx(2n1)!cosx或sinxAnsinn，bnixeixee2ixe2ix(ancosnxn1bnsinnx)Ancos正交性：1,sinx,cosx,sin2x,cos2xsinnx,cosnx上的积分=0。傅立叶级数：tx。任意两个不同项的乘积在f(x)0(ancosnxbnsinnx),周期22n11an一f(x)cosnxdx(n0,1,2)其中,1bn-f(x)sinnxdx(n1,2,3)彳112.1111专乒11手蜡235823411121112T4262242232472正弦级数：an0,bnf(x)sinnxdx02余弦级数：bn0,an-f(x)cosnxdx02一(相加)62(相减)12n1,