人教版八年级上册数学全等三角形专题练习(解析版)

1、一、八年级数学全等三角形解做题压轴题(难)1.在平面直角坐标系中,直线48分别交x轴,v轴于A(a,0),B(0,b),且满足a2+b2+4a-8b+20=0.B(1)求5b的值；(2)点P在直线八8的右f那么：且N4P8=45.,假设点P在x轴上(图1),那么点P的坐标为:假设ABP为直角三角形,求P点的坐标.【答案】(1).=-2,b=4：(2)(4,0)：P点坐标为(4,2),(2,-2).【解析】【分析】(1)利用非负数的性质解决问题即可.(2)根据等腰直角三角形的性质即可解决问题.分两种情形：如图2中,假设NABP=90.,过点P作PCJ_OB,垂足为C.如图3中,假设NBAP=90

2、.,过点P作PD1.OA,垂足为D.分别利用全等三角形的性质解决问题即可.【详解】(1)Vo2+4a+4+b2-86+16=0/.(q+2)2+(b-4)2=0,q=-2,b=4.2如图1中,/AP8=45.,ZPOB=90°,OP=O8=4,：.P(4,0).故答案为(4.0).-2,b=4,O4=2O8=4又.48P为直角三角形,NAP8=45.,只有两种情况,NA8P=90°或N84P=90.如图2中,假设乙48P=90.,过点P作PC_LO8,垂足为C.图2：.ZPCB=ZBOA=90Q.又:N4P8=45°,/8AP=N4P8=45.,：.BA=BP.又

3、/ZABOZOBP=NO8P+N8PC=90°,/.ZABO=ZBPC,：.AABOABPC(A4S),PC=0B=4,8c=04=2,OC=O8-8C=4-2=2,：.P(4,2).如图3中,假设N84P=90.,过点P作PD_L04垂足为D.图3,NPD4=NAO8=90°,又:N4P8=45°,/ZABP=ZAPB=5q9：.ap=ab,又N8AD+NOAP=90Q,NO%+N0AP=9O0,：.ZBAD=ZDPA.：.ABA0/APP(AAS),PD=0A=2,40=08=4,0D=A.-04=4-2=2,：.P(2,-2).综上述,P点坐标为(4,2),

4、(2,-2).【点睛】此题属于三角形综合题,考查了等腰直角三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题.2.如图1,等腰八8c中,47=8C=4jI,N4C8=45°,AO是8c边上的高,.为线段八.上一动点,以C.为一边在8下方作等腰Z1CDE,使CD=CE且NDCE=45°,连结8E.(1)求证："CD4ABCE；如图2,在图1的根底上,延长8E至Q,P为8.上一点,连结CP、C&假设CP=CQ=5,求PQ的长.连接.£,直接写出线段0E的最小值.【答案

5、】(1)证实见解析；(2)PQ=6；(3)OE=4-2>/2【解析】试题分析：(1)根据5人5即可证得2488.氏(2)首先过点.作C"_L8Q于,由等腰三角形的性质,即可求得NQAC=45.,那么根据等腰三角形与直角三角形中的勾股定理即可求得PQ的长.(3)OE_L8Q时,0E取得最小值.试题解析：(1)证实：八8c与aOCE是等腰三角形,：.AC=BCtDC=EC,ZACB=ZDCE=45',/.ZACD+4DCB=ZECB+ZDCB=45.,ZACD=ZBCE；在aACD和中,AC=BC ZACD=ZBCEDC=EC,/.ACDaBCE(SAS)；(2)首先过点.

6、作CH,8.于,过点C作CH_L8Q于 二A8c是等腰三角形,NAC8=45°,AO是8c边上的高, .ZDAC=45J,ACQ%8CE,NPBC=NDAC=45., 在RUBHC中,CH=BCx立=4四x=4,22.PC=CQ=5,CH=4,PH=QH=3,PQ=6.(3)0七_L3Q时,0E取得最小值.最小值为：OE=4-2y/2.3.如图,ZBAD=ZCAE=90%AB=AD,AE=AC,AFJLCB,垂足为F.(1)求证:AABC合ADE：(2)求2FAE的度数：(3)求证：CD=2BF+DE.【答案】(1)证实见解析：(2)ZFAE=135°：(3)证实见解析.【

7、解析】【分析】(1)根据条件易证NBAC=ZDAE,再由AB=AD,AE=AC,根据SAS即可证得 ABC合ADE；(2)NCAE=90°,AC=AE,根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得NE=45°,由(1)知BA8DAE,根据全等三角形的性质可得NBCA=ZE=45°,再求得ZCAF=45.,由NFAE=ZFAC+ZCAE即可得NFAE的度数：(3)延长BF到G,使得FG=FB,易证AFB合AFG,根据全等三角形的性质可得AB=AG,ZABF=ZG,再由BACWDAE,可得AB=AD,ZCBA=ZEDA,CB=ED,所以AG=AD,ZABF=ZCDA,

8、即可得NG=ZCDAz利用AAS证得CGACDA,由全等三角形的性质可得CG=CD,所以CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF.【详解】(1).ZBAD=ZCAE=90°rJZBAC+ZCAD=90°,ZCAD+ZDAE=90°r/.ZBAC=ZDAE,在小BAC私DAE中,AB=ADZBAC=ZDAE,AC=AE .BAC2DAE(SAS)；(2)/ZCAE=90°rAC=AE, ZE=45°f由(1)知aBAC合2DAE, ZBCA=ZE=45°fAF±BC, ,ZCFA=90°,ZCAF=45&#

9、176;f .ZFAE=ZFAC+ZCAE=45o+90°=135°；(3)延长BF到G,使得FG=FB,AFJLBG, ZAFG=ZAFB=90°r在AFB和AFG中,BF=GF<ZAFB=ZAFG,AF=AF.:,&AFB合AFG(SAS),AB=AG,ZABF=ZG,:BACDAEz,AB=AD,ZCBA=ZEDA,CB=ED,/.AG=AD,ZABF=ZCDA,/.ZG=ZCDAz在CGA和CDA中,ZGCA=ZDCA,乙CGA=ZCDA,AG=AD.CGA合CDA,/.CG=CD,CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF.CD=2

10、BF+DE.【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质,解决第3问需作辅助线,延长BF到G,使得FG=FB,证得CGA合CDA是解题的关键.4.如图,AB=12cm,AC±AB,BDJ_AB,AC=BD=9cm,点P在线段AB上以3cm/s的速度,由A向B运动,同时点Q在线段BD上由B向D运动.1假设点Q的运动速度与点P的运动速度相等,当运动时间t=ls,ACP与ABPQ是否全等？说明理由,并直接判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；2将“AC_LAB,BD_LAB改为“NCAB=NDBA",其他条件不变.假设点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能使

11、4ACP与aBPQ全等.3在图2的根底上延长AC,BD交于点E,使C,D分别是AE,BE中点,假设点Q以2中的运动速度从点B出发,点P以原来速度从点A同时出发,都逆时针沿4ABE三边运动,求出经过多长时间点P与点Q第一次相遇.【解析】【分析】(1)利用SAS证得ZkACP合4BPQ,得出NACP=ZBPQ,进一步得出ZAPC+ZBPQ=ZAPC+ZACP=90.得出结论即可：(2)FhAACPBPQ,分两种情况：AOBP,AP=BQ,(2)AC=BQ,AP二BP,建立方程组求得答案即可.(3)由于Vq<Vp,只能是点P追上点Q,即点P比点Q多走PB+BQ的路程,据此列出方程,解这个方程即

12、可求得.【详解】(1)当t=l时,AP=BQ=3fBP=AC=9,XVZA=ZB=90°,AP=BQ在ACP与aBPQ中,<乙4=N8,AC=BPACP合4BPQ(SAS),工ZACP=ZBPQ/,ZAPC+ZBPQ=ZAPC+ZACP=90ofZCPQ=90°f那么线段PC与线段PQ垂直.(2)设点Q的运动速度x,假设AACP合BPQ,那么AC=BP,AP=BQ,9=12-4t=xtt=3解得假设4ACP合BPQ,那么AC=BQ,AP=BP,9=xtf=12-*7=6解得,3,x=2综上所述,存在f=63使得4ACP与4BPQ全等.x=2(3)由于Vq<Vp,

13、只能是点P追上点Q,即点P比点Q多走PB+BQ的路程,设经过x秒后P与Q第一次相遇,VAC=BD=9cm,C,D分别是AE,BD的中点；/.EB=EA=18cm.当VQ=1时,依题意得3x=x+2x9,解得x=9；31 1Vq=一时,23依题意得3x=x+2x9,2解得x=12.故经过9秒或12秒时P与Q第一次相遇.【点睛】此题考查了一元一次方程的应用,解题的关键是熟练的掌握一元一次方程的性质与运算.5.如图,在平面直角坐标系中,A、3坐标为6,0、0,6,P为线段A3上的一点.1如图1,假设夕为A3的中点,点M、N分别是04、.8边上的动点,且保持AM=ON,那么在点M、N运动的过程中,探究

14、线段尸M、PN之间的位置关系与数量关系,并说明理由.2如图2,假设P为线段A8上异于A、8的任意一点,过4点作3O_LOP,交.尸、04分别于产、.两点,E为04上一点,且NPEA=ZBD0,试判断线段OD与AE的数量关系,并说明理由.【答案】1PM=PN,PM1PN,理由见解析；20D=AE,理由见解析【解析】【分析】1连接0P.只要证实PONTPAM即可解决问题：2作AGJ_x轴交0P的延长线于G.rfUDBOAGOA,推出0D=AG,NBDO=NG,再证实PAEgPAG即可解决问题：【详解】1结论：PM=PN,PM1PN.理由如下：如图1中,连接0P.,:A、B坐标为6,0、0,6,A0

15、B=0A=6,ZAOB=90°,VP为AB的中点,AOP=-AB=PB=PA,OP_LAB,ZPON=ZPAM=45°,2AZOPA=90°t在aPON和APAM中,ON=AM<ZPON=NP4M,OP=AP.APONPAM(SAS),PN二PM,ZOPN=ZAPM,/.ZNPM=ZOPA=90o,PM_LPN,PM=PN.(2)结论：OD=AE.理由如下:如图2中,作AG_Lx轴交OP的延长线于G.VBD±OPf,ZOAG=ZBOD=ZOFD=90°,AZODF+ZAOG=90%NODF+NOBD=90°,ZAOG=ZDBO,

16、VOB=OA,AADBOAGOA,?.OD=AG,ZBDO=ZG,VZBDO=ZPEA,/G=NAEP,在ZiPAE和PAG中,ZAEP=ZG*NPAE=ZPAG,AP=APAAPAEAPAG(AAS),JAE二AG,AOD=AE.考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质、直角三角形的性质等知识,解题的关犍是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题.6.如图1,在A3C中,ZA=90°,A3=AC,点.是斜边8C的中点,点E,产分别在线段A3,4c上,且NEDF=90.1求证：.所为等腰直角三角形：2假设ABC的面积为7,求四边形AEDF的面积：3如图2,

17、如果点E运动到A8的延长线上时,点尸在射线C4上且保持ZEDF=90°,.石尸还是等腰直角三角形吗.请说明理由.【答案】1证实见解析；23.5：3是,理由见解析.【解析】【分析】1由题意连接AD,并利用全等三角形的判定判定BD年ADFASA,进而分析证得.瓦'为等腰直角三角形；2由题意分析可得S网边形aedf=Smdf+Saade=Sabde+Sacdf,以此进行分析计算求出四边形AEDF的面积即可；3根据题意连接AD,运用全等三角形的判定判定BDEADFASA,进而分析证得.所为等腰直角三角形.【详解】解：1证实：如图,连接AD.NBAC=90°,AB=AC,点D

18、是斜边BC的中点,/.AD±BC,AD=BD, ,Z1=ZB=45°,ZEDF=90%Z2+Z3=90%又,Z3+Z4=90°,/.Z2=Z4,在BDE和ADF中,Z1=ZB,AD=BD,Z2=Z4,/.BDE合,ADF(ASA), ,DE二DF,又；ZEDF=90 ADEF为等腰直角三角形.(2)由(1)可知DE=DF,NON6=45.,又N2+N3=90°,Z2+Z5=90%JZ3=Z5,aADE级CDF, 'Sn边h,aedf=Saadf+Scade二Sabde+Scdf,Smbc=2S网边毛aedf,Swijn；aedf=3.5.(3)是

19、,如图,连接AD. /ZBAC=90AB=AC,D是斜边BC的中点,/.AD±BCZAD=BD,Z1=45°,ZDAF=180°-Zl=180°-45°=135%ZDBE=180°-ZABC=180°-45°=135%/.ZDAF=ZDBE,ZEDF=90/.Z3+Z4=90%又；Z2+Z3=90°,Z2=Z4,在仆BDE和aADF中,ZDAF=ZDBE,AD=BD,N2=Z4,BDE合ADF(ASA),.DE=DB又：ZEDF=90.aDEF为等腰直角三角形.【点睛】此题考查等腰直角三角形的性质以及全等

20、三角形的判定与性质,根据题意作辅助线构造出全等三角形是解题的关键.7.在AAbC中,A8=A.,点.在8C边上,且n4.3=60.,£是射线0A上一动点不与点.重合,且ZMWO8,在射线OB上截取.=.石,连接跖.1当点E在线段AO上时,假设点E与点A重合时,请说明线段斯=OC；如图2,假设点E不与点A重合,请说明BF=DC+AE；备用图2当点E在线段DA的延长线上.七>时,用等式表示线段AE,BF、CD之间的数量关系直接写出结果,不需要证实.【答案】1证实见解析：证实见解析；2BF=AE-CD【解析】【分析】1根据等边对等角,求到NB=NC,再由含有60°角的等腰三

21、角形是等边三角形得到AAOE是等边三角形,之后根据等边三角形的性质以及邻补角的性质得到ZAFB=ZADC=nO°,推出&A8/运根.,根据全等三角形的性质即可得出结论；过点A做AGEF交BC于点G,由ADEF为等边三角形得到DA=DG,再推出AE=GF,根据线段的和差即可整理出结论：2根据题意画出图形,作出AG,由1可知,AE=GF,DC=BG,再由线段的和差和等量代换即可得到结论.【详解】1证实：:AB=AC:"B=ZCDF=DE、ZADB=60°,且E与A重合,.AOP是等边三角形:.ZADF=ZAFD=60°:.ZAFB=ZADC=20Q在

22、AABE和A4CQ中ZAFB=ZADC<ZB=ZCAB=ACAABFAACD.BF=DC如图2,过点A做AGEF交BC于点G,VZADB=60°DE=DFDEF为等边三角形VAG/EFAZDAG=ZDEF=60%ZAGD=ZEFD=60°AZDAG=ZAGDADA=DGADA-DE=DG-DF,即AE=GF由易证AGBg/iADC,BG=CD,BF=BG+GF=CD+AE(2)如图3,和(1)中相同,过点A做AGEF交BC于点G,由1可知,AE=GF,DC=BG,BF+CD=BF+BG=GF=AE故BF=AECD.【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质,等边三角形的

23、判定和性质,等腰三角形的判定和性质,正确的作出辅助线是解题的关键.8.1如图a所示点.是等边3c边84上一动点点.与点8不重合,连接DC,以DC为边在8c上方作等边OCQ,连接4F.你能发现线段4F与8D之间的数量关系吗？并证实.2如图b所示当动点.运动至等边ABC边84的延长线上时,其他作法与1相同,猜测4F与8.在1中的结论是否仍然成立？直接写出结论3如图c所示,当动点.在等边3c边以上运动时点.与点8不重合,连接.C,以0C为边在8c上方、下方分别作等边.厂和等边QCF',连接AF、BP,探究4F、8尸'与A8有何数量关系？并证实.如图d所示,当动点D在等边aABC边84

24、的延长线上运动时,其他作法与3相同,中的结论是否成立？假设不成立,是否有新的结论？并证实.【答案】1AF=BD,理由见解析：2AF=BD,成立：3证实见解析；中的结论不成立新的结论是=+理由见解析【解析】【分析】1根据等边三角形的三条边、三个内角都相等的性质,利用全等三角形的判定定理SAS可证得BCOgzMb,然后由全等三角形的对应边相等知AF=8.2通过证实BC性Ab,即可证实A/=%>.3A尸+8/'=A8,利用全等三角形88g"b的对应边,同理BCF'9/ACD,那么8尸=4.,所以A/+8尸=钻：中的结论不成立,新的结论是从/=人8+3/：通过证实Bbg

25、AAC.,那么BF,=AD全等三角形的对应边相等,再结合2中的结论即可证得AF=AB+BF'.【详解】AF=BD证实如下：.ABC是等边三角形,/.BC=ACZBCA=60°.同理可得：DC=CF,ZDCF=60°.:.ZBCA-ZDCA=ZDCF-ZDCA.即ABCD=ZACF.8C-CE./.AF=BD.2证实过程同1,证得BCDgAACE,那么=全等三角形的对应边相等,所以当动点D运动至等边AABC边BA的延长线上时,其他作法与1相同,Af=8£依然成立.3®AF+BF=AB证实：由1知,ABCD口/ACF.:.BD=AF.同理Bb'

26、;gAAC.:.BFr=AD.：.AF+BF,=BD+AD=AB.中的结论不成立新的结论是AF=AB+BFf:vBC=AC,ABCF'=ZACD,F'C=DC,BCFXAACD.:.BFr=AD.又由2知,AF=BD.:.AF=BD=AB+AD=AB+BF,.即AF=AB+BF'.【点睛】此题考查了三角形的综合问题,掌握等边三角形的三条边、三个内角都相等的性质、全等三角形的判定定理、全等三角形的对应边相等是解题的关键.9.：在MBC中,AB=AC,ZBAC=90°,尸.为过点A的一条直线,分别过B、C两点作8M_LP0,CN_LP0,垂足分别为M、N.1如图所

27、示,当P.与边有交点时,求证：MN=CNBM；2如图所示,当与边不相交时,请写出线段8M、OV和MN之间的数量关系,并说明理由.【答案】1见解析：2MN=BM+CN或BM=MNCN或CN=MN-BM,理由见解析【解析】【分析】1根据条件先证A切运ACN4,得到AM=CN,BM=4N,即可证得MN=CNBM：2由1知得到AM=CN,BM=4N,即可确定MN=BM+CN.【详解】证实：BM_LPQ,CN_LP.,NAME=NCAN=90., ZBAC=90°,.ZCAN+ZACN=90°,ZCAN+ZBAM=90°(或NCAN+ZAOV=Z.CAN+ZBAM) ZBAM=ZACN,在/HAMB和ACNA中,'ZAMB=4CNA .N8AM=ZACN,AB=CA:.AAM*ACN4(A4S),:.AM=CN,BM=AN, MN=AM-AN,:MN=CNBM.(2)MN=BM+CN(或BM=MNCN或CN=MNBM).理由：8M_LP0,CN_LP., ,.ZAMB=ZCAN=90°, ZBAC=90°,.ZCAN+ZACN=90°,ZCAN+ZBAM=90°(或NC4N+NACN=NC4N+NBAM), ZBAM=ZACN,在AAMB和NCNA中,AAMB=ZCNAABAM=ZACN,AB=CA:.AAM