信号与系统课后习题与解答第一章

1、假设是离散时间信*f(t)只取1,2,3,4值1-1分别判断图1-1所示各波形是连续时间信号还是离散时间信号是否为数字信号？43210图1-2解信号分类如下:信号连续离散模拟：幅值、时间均连量化：幅值离散,时间抽样：时间离散,幅值数字：幅值、时间均离续(例见图12(a)连续(例见图12(b)连续(例见图12(c)散(例见图12(d)图1-1所示信号分别为号量号号号号土口I土口土口土口、S组续连连离离离离(a)(b)(c)(d)(e)(f) 1-2分别判断以下各函数式属于何种信号？(重复1-1题所示问)(1) eatsin(t)；(2) enT;(3) cos(n)；(4) sin(n0)(0为

2、任意值)；21(5) 1.2解由1-1题的分析可知：(1)连续信号；(2)离散信号；(3)离散信号,数字信号；(4)离散信号；(5)离散信号.1-3分别求以下各周期信号的周期T：(1) cos(10t)cos(30t);(2) ej10t;(3) 5sin(8t)2;(4) (1)nu(tnT)u(tnTT)(n为整数).n0解判断一个包含有多个不同频率分量的复合信号是否为一个周期信号,需要考察各分量信号的周期是否存在公倍数,假设存在,那么该复合信号的周期极为此公倍数；假设不存在,那么该复合信号为非周期信号.(1)对于分量cos(10t)其周期Ti;对于分量cos(30t),其周期T2.由于一

3、5155为、T2的最小公倍数,所以此信号的周期T(2)由欧拉公式ejtcos(t)jsin(t)即ej10tcos(10t)jsin(10t)得周期T-010521cos(16t)2525(3)由于5sin(8t)25一一cos(16t)222所以周期T.168(4)由于1,2nTt(2n1)T原函数n为正整数1,(2n1)Tt(2n2)T图1-31-4对于教材例1-1所示信号,由f(t)求f(-3t-2),但改变运算顺序,先求f(3t)或先求f(-t),讨论所得结果是否与原例之结果一致.解原信号参见例1-1,下面分别用两种不同于例中所示的运算顺序,由f(t)的波形求得f(-3t-2)的波形.

4、两种方法分别小于图1-4和图1-5中.图1-4图1-51-5f,为求f(toat)应按以下那种运算求得正确结果(式中to,a都为正值)?(1) f(at)左移to;(2) f(at)右移to；(3) f(at)左移；a(4) f(at)右移t0.a解(1)由于f(at)左移to,得到的是fa(tto)f(atat.),所以采用此种运算不行.(2)由于f(at)右移to,得到的是fa(tto)f(atat),所以采用此运算不行.(3)由于f(at)左移纹,得到的是fa(t左)f(atto),所以采用此运算不行.aa(4)由于f(at)右移城,得到的是fa(t与f(toat),所以采用此运算不aa

5、行.1-6绘出以下各信号的波形：1、(1) 1-sin(t)sin(8t)；(2) 1sln(t)sln(8t).解(1)波形如图1-6所示(图中f(t)1-sin(t)sin(8t)2f(t)(2)波形如下图1-7(图中f(t)1sin(t)sin(8t)1-7绘出以下各信号的波形：,_4、(1) u(t)u(tT)sin(t);T4、(2) u(t)2u(tT)u(t2T)sin(-t)0解sin(土t)的周期为ToT2(1)波形如图1-8(a)所示(图中u(t)u(tT)sin(4rt)0在区间0,T,内,包含有sin(t)的两个周期.Tf(t)f(t)(a)(b)图1-84(2)波形如

6、图1-8(b)所小(图中u(t)2u(tT)u(t2T)siWt).在区间T,2T内是sin(4t),相当于将sin(；t)倒像.1-8试将教材中描述图1-15波形的表达式1-16和1-17改用阶越信号表示.解表达式1-16为当0ttoto当t0tf(t)ateata(tee这是一个分段函数.假设借助阶越信号,那么可将其表示为f(t)eatu(t)u(tt)eatea(tt0)u(t表达式(1-17)为t1(1eat)(0f()d1a11(1eat)-(1ea(tt0)(t0aat0)eatu(t)ea(tt0)u(ttt.)t)t)借助阶越信号,可将其表示为tf()d1at-(1e)u(t)

7、u(tt)a1at1a(tt0).(1e)一1eu(taat0)1(aeat)u(t)-1ea(tt0)u(tt)aa1-9粗略绘出以下各函数式的波形图：(1) f(t)(2e,u(t)；(2) f(t)(3et6e2t)u(t)；(3) f(t)(5et5e3t)u(t)；(4) f(t)etcos(10t)u(t1)u(t2)图1-9(1)信号波形如图1-9(a)所示(2)信号波形如图1-9(b)所示(3)信号波形如图1-9(4)信号波形如图1-9(c)所示.(d)所示.在区间1,2包含cos(10t)的5个周期1-10写出如下图各波形的函数式.图1-10(c)解(a)由图1-10(a)可

8、写出11-t(2t0)2.1f(t)12t(0t2)0(其它)于是f(t)1Mu(t2)u(t2)2(b)由图1-10(b)可写出0(t0)f(t)1(0t1)2(1t2)3t2于是f(t)u(t)u(t1)2u(t1)u(t2)3u(t2)u(t)u(t1)u(t2)实际上,可看作三个阶越信号u(t),u(t1),u(t2)的叠加,见图1-11,因而可直接写出其函数表达式为uu(t)“u(t-1)Au(t-2)t01t0t图1-11f(t)u(t)u(t1)u(t2)(c)由图1-10(a)可写出f(t)Esin-t(0tT)0(其它)于是f(t)Esin-tu(t)u(tT)T1-11绘出

9、以下各时间函数的波形图:(1) tetu(t)；(2) e(t1)u(t1)u(t2)；(3) 1cos(t)u(t)u(t2)；(4)(5)u(t)2u(t1)u(t2)；sina(tt0)a(tt0)d.一etsintu(t)odt(6)图1-12(2)(3)(4)信号波形如图信号波形如图信号波形如图1-12(b)1-12(c)1-12(d)所示,所示,所示,图中图中图中f(t)f(t)f(t)e1(t1)u(t1)u(t2).cos(t)u(t)u(t2).u(t)2u(t1)u(t2).(5)信号波形如图1-12(e)所示,图中f(t)sina(tt0)a(tto),信号关于tt0偶对

10、称.(6)由于tsintu(t)etsintu(t)etcostu(t)tsint(t)etsintu(t)etu(t)t.1costu(t)cost2所以该信号是衰减正弦波.其波形如图1-12所示,图中f(t)etsintu(t)dt1-12绘出以下各时间函数的波形图,注意它们的区间:(1) tu(t)u(t1)；(2) tu(t1)；(3) tu(t)u(t1)u(t1)；(4) (t1)u(t1)；(5) (t1)u(t)u(t1)；(6) tu(t2)u(t3)；(7) (t2)u(t2)u(t3)0(2)信号波形如图1-13(b)所示,(3)信号波形如图1-13(c)所示,(4)信号

11、波形如图1-13(d)所示,(5)信号波形如图1-13(e)所示,(6)信号波形如图1-13所示,(7)信号波形如图1-13(g)所示,图中f(t)tu(t1).图中f(t)tu(t)u(t1)u(t1)图中f(t)(t1)u(t1).图中f(t)(t1)u(t)u(t1)o图中f(t)tu(t2)u(t3).图中f(t)(t2)u(t2)u(t3)1-13绘出以下各时间函数的波形图,注意它们的区别:(1) f1(t)sin(t)u(t);(2) f2(t)sin(tt0)u(t);(3) f3(t)sin(t)u(tb);(4) f1(t)sin(tt.)u(tt.).to图1-14(d)(

12、2)信号波形如图1-14(b)所示(3)信号波形如图1-14(c)所示.(4)信号波形如图1-14(d)所示.1-14应用冲激函数的抽样特性,求以下表示式的函数值:(Df(tt.)(t)dt；(2) f(t.t)(t)dt；(3) (tto)u(t0)dt；2(4) (tto)u(t2to)dt;(5) (ett)(t2)出；(6) (tsint)(t)dt；6ejt(t)(tto)dto解有冲激信号的抽样特性f(t)(tto)dtf(to)得(1) f(tto)(t)dtf(to)(2) f(tot)(t)dtf(to)(3)设to0,那么(tto)u(t2)dtutoIu彳(4)设too,

13、那么(tto)u(t2to)dtu(to)o(5) (ett)(t2)出e221(6) (tsint)(t)dtsin一66662(7) ej,(t)(tto)dt1ejto此题的(3)、(4)两小题还可用另一种方法求解：(3)冲激(tto)位于t.处,阶越信号ut：始于因而(tto)ut,(tto)那么原式二(tto)dt12to)始于2to,也就是说在to处,u(tto)(4)冲激仍位于to,而u(t(tto)u(t2to)o那么原式=0dt01-15电容C1和C2串联,以阶越电压源v(t)Eu串联接入,试分别写出回路中的电流i(t),每个电容两端电压vC1(t)、vC2(t)的表达式.i

14、(t)+ooC-CViL1(t)/iL2(t)1II,v(t)i(t)LL1LL2/J,C2-O0图1-15图1-16解由题意可画出如图1-15所示的串联电路,两电容两端的电压分别为vC1(t),vC2(t),那么回路电流i(t)C1C2dv旦-E(t)其中,生-为C1、C2的串联等效电容值.C1C2dtC1C2C1C2再由电容的电流和电压关系,有vC1(t)Ji(t)dtC2Eu(t)C1C1C2vC2(t)；ti(t)dtC1Eu(t)C2C1C21-16电感L1与L2并联,以阶越电流源i(t)Iu(t)并联接入,试分别写出电感两端电压v(t)、每个电感支路电流iL1(t)、iL2(t)的

15、表示式.解由题意可画出图1-16所示并联电路,两条电感支路的电流分别为iL1(t)和iL2(t),那么电感两端电压v(t)LLdi(t)L1L2dtL1L2L1L2其中工为LL1L2L2的并联等效电感值.再由电感的电流和电压关系,有iL1(t)v(t)dtu(t)L1L1L2iL2(t)L2v(t)dtLilL1L2u(t)1-17分别指出以下各波形的直流分量等于多少？(1)全波整流f(t)|sin(t)；(2) f(t)sin2(t);(3) f(t)cos(t)sin(t);(4)升余弦f(t)K1cos(t)o解(1)sin(t)的周期为2-,|sin(t)的周期为一,因而f(t)的直流

16、分量1 T1.12fDT0f(t)dt0sin(t)dt-cos(t)|0(11)一211(2) f(t)sin(t)-cos(2t)由于cos(2t)在一个周期内的平均值为0,因而221f(t)的直流分量fD-o222.一(3) f(t)的两个分室cos(t)和sin(t)的周期均为,因而的周期也为o但由于cos(t)和sin(t)在一个周期内的均值都为0,所以f(t)的直流分量fD0.(4) f(t)与(2)中f(t)类似,所以fDK,理由同(2).1-18粗略绘出图1-17所示各波形的偶分量和奇分量(c)图1-17(d)解(a)信号f的反褶f(t)及其偶、奇分量fe(t)、fo(t)如图

17、1-18(a)、(b)、(c)所示.(b)由于f(t)是偶函数,所以f(t)只包含偶分量,没有奇分量,即fe(t)f(t),fo(t)0(c)信号f(t)的反褶f(t)及其偶、奇分量fe(t)、fo(t)如图1-19(a)、(b)、(d)信号f(t)的反褶f(t)及其偶、奇分量fe(t)、fo(t)如图1-20(a)、(b)、图1-209fo(t)1-19绘出以下系统的仿真框图：(1) r(t)a0r(t)Melt)bie(t);dtdt(2) -dyr(t)air(t)a0r(t)b0e(t)bie(t)dt出dt解(1)选取中间变量q(t),使之与鼓励满足关系:dqaq(t)edte(t)

18、a0q(t),易画出如图1-21(a)所示的方框图.再将代aq(t)bq(t)a0q(t)b0q(t)bq(t)a.b0q(t)bq(t)将此式改写成ddt入原微分方程,有r(t)a0r(t)b0q(t)比照两边,可以得到q(t)与r(t)之间的关系式:r(t)b0q(t)bq(t)将此关系式在图1-21(a)中实现,从而得到系统的仿真框图,如图1-21(b)所示图1-21(2)方法同(1).先取中间变量q(t),使q(t)与e(t)满足:q(t)aq(t)aq(t)e(t)将式代入原微分方程后,易看出q(t)与r(t)满足：r(t)b0q(t)bq(t)将、式用方框图实现,就得到如图1-22

19、所示的系统仿真框图bi1-20判断以下系统是否为线性的、时不变的、因果的?(1) r(t)/；dt(2) r(t)e(t)u(t);(3) r(t)sine(t)u(t)；(4) r(t)e(1t)；(5) r(t)e(2t)；(6) r(t)e2；t.r(t)e()d；5t(8)r(t)e()d.解(1)由于de1(t)ei(t)ri(t)172dte2(t)r2(t)de2(t)dt而C1e1(t)C2e2(t)C1rl(t)C2r2(t)C1der2(t)C2de2dtdt所以系统是线性的.当e(t)r(t)胆8,而鼓励为e(tt.)时,响应为dtr(tt.)de(tt.)de(tt.)

20、dtd(tt.)所以系统是时不变的.由r(t)de可知,响应r(t)只与此时的输入e(t)有关,与这之前或之后的输入都无dt关,所以系统是因果的.(2)由于3aeue2(t)Mt)e2(t)u(t)而C1e(t)C2e2(t)Cei(t)u(t)C2o(t)u(t)Ce.)C2r2(t)所以系统是线性的.由于当e1(t)u(t1)u(t1)时,r1(t)u(t)u(t1)而为(t)e1(t1)u(t)u(t2)时,r2(t)u(t)u(t2)r1(t1),即当鼓励延迟1个单位时,响应并未延迟相同的时间单位,所以系统是时变的.由r(t)e(t)u(t)可知,系统只与鼓励的现在值有关,所以系统是因

21、果的.(3)由于ei(t)ri(t)sinei(t)u(t)e2(t)2.)sin金(t)u(t)而Cie(t)0262(t)r(t)sinCie(t)u(t)C2&(t)u(t)Cii(t)02r2(t)Cisine(t)u(t)C2sine2(t)u(t)所以系统是非线性的.当鼓励为e(tto)时,响应r(t)sinei(t)u(t)sine(tto)u(tto)r(tto)所以系统是时变的.由r(t)sine(t)u(t)可知,响应只与鼓励的现在值有关,所以系统是因果的.(4)由于ei(t)?)ei(it)e2(t)口e2(it)而Cie(t)C2e2(t)r(t)Cie(it)C2e2

22、(it)CiR(t)C2r2(t)所以系统是线性的.由于当e1(t)u(t)u(ti.5)时,r1(t)u(t0.5)u(ti)而当e2(t)ei(t0.5)u(t0.5)u(t2)时,搂u(ti)u(t0.5)r1(t0.5)所以系统是时变的.令r(t)e(it)中t0,那么有,说r(0)e(i)明响应取决于将来值(0时刻输出取决于i时刻输入),所以系统是非因果的.(5)由于3(t)ri(t)ei(2t)e2(t)口e2(2t)而Ci(t)C2e2(t)Ciei(2t)C2e2(2t)Ciri(t)02r2(t)所以系统是线性的由于当ei(t)u(t)u(ti)时,r(t)u(t)u(t0.

23、5)而当e2(t)ei(ti)u(ti)u(t2)r2(t)u(t0.5)u(ti)ri(ti)所以系统是时变的.对于r(t)e(2t),令ti,有r(i)e(2),即响应先发生,鼓励后出现,所以系统是非因果的.(6)由于3(t)ri(t)e2(t)2e2(t)口e2(t)而2Cie(t)C2e2(t)r(t)CiG(t)C2e2(t)Gri(t)02r2(t)所以系统是非线性的.由于e1(t)r1(t)e2(t)2e2(t)e1(tt0)r2(t)e1r(t)de(t)；dtt(t卜)r1(tb)所以系统是时不变的.由r(t)e2(t)知,输出只与现在的输入值有关,所以系统是因果的(7)由于

24、tei(t)r1(t)e1()dte2(t)二e2()dtt而C(t)C2G(t)Ciei()dC2e2()dCji(t)C2r2(t)所以系统是线性的.,ttatt0由于e(tto)r(to)de(a)dar(tto)所以系统是时不变的.t由)e()d可知,t时刻的输出只与t时刻以及t时刻之前的输入有关,所以系统是因果的.(8)由于5tei(t)(t)ei()d5te2(t)Mt)G()d5t而Cie(t)C2G(t)C()Ciri(t)C2r2(t)所以系统是线性的.5t由于e(tto)e(to)dC2e2()dtoa5tCi5te(a)da3()dC25(tto)e(a)da5te2()d)r(tto)所以系统是时变的5t5对于r(t)e()d,令ti,有r(i)e()d即输出与未来时刻的输入有关,所以系统是非因果的i-2i判断以下系统是否是可逆的.假设可逆,给出它的逆系统；假设不可逆,指出使该系统产生系统输出的两个输入信号.(3)r(t)e()d；(Dr(t)e(t5)；(4)r(t)e(2t).解(1)该系统可逆,且其逆系统为r(t)e(t5)(2)该系统不可逆,由于当,e