全国数学联赛初中数学试题及答案打印版

1、2013年全国初中数学竞赛试题班级姓名成绩供稿人：李锦扬一、选择题共5小题,每题7分,共35分.每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分1.设非零实数a,b,c满足a2b3c0那么"bC聚的值为().2a3b4c0,a2b2c2(A)2(B)0(C)1(D)12.a,b,c是实常数,关于x的一元二次方程ax2bxc0有两个非零实根Xi,X2,那么以下关于X的一元二次方程中,以口,4X1x2为两个实根的是().22222222(A) cx(b2ac)xa0(B)cx(b2ac)xa0(C)

2、 c2x2(b22ac)xa20(D)c2x2(b22ac)xa203.如图,在RtABC中,O是斜边AB的中点,CDLAB垂足为D,DHOC垂足为E.假设ADDBCD的长度都是有理数,第3题第4题那么线段ODOEDEAC的长度中,不一定是有理数的为.AODBOE(C)DE(D) AC4.如图,ABC的面积为24,点D在线段AC上,点F在线段BC的延长线上,且BC4CF,DCFE是平行四边形,那么图中阴影局部的面积为.A3B4(C)6(D)85.对于任意实数x,y,z,定义运算“*为:33-2233xy3xyxy45xy33,x1y160且xyzxyz,那么20212021L32的值为().(

3、A)607967、填空题(B)1821967967(D)163899676 .设a®b是a2的小数局部,那么b23的值为.7 .如图,点D,E分别是ABC勺边ACAB上的松日百点,直线BgCE交于点F,ACDFABFEABCF弟7屉的面积分别是3,4,5,那么四边形AEFD勺面积是.8 .正整数a,b,c满足ab22c20,3a28bc0,那么abc的最大值为.9 .实数a,b,c,d满足：一元二次方程x2cxd0的两根为a,b,一元二次方程x2axb0的两根为c,d,那么所有满足条件的数组a,bcd为.10 .小明某天在文具店做志愿者卖笔,铅笔每支售4元,圆珠笔每支售7元.开始时他

4、有铅笔和圆珠笔共350支,当天虽然笔没有全部卖完,但是他的销售收入恰好是2021元.那么他至少卖出了支圆珠笔.三、解做题11 .如图,抛物线yax2bx3,顶点为E,该抛物线与x轴交于A, B两点,与y轴交于点C,且OB=OC=3OA直线1 一"一一第11题y-x1与y轴父于点D.3求/DBC/CBE12 .设ABC的外心,垂心分别为O,H,假设B, C,H,O共圆,对于所有的ABC,求BAC所有可能的度数.13 .设a,b,c是素数,记xbca,ycab,zabc,当z2y,五百2时,a,b,c能否构成三角形的三边长？证实你的结论.14 .如果将正整数M放在正整数m左侧,所得到的新

5、数可被7整除,那么称M为m的“魔术数例如,把86放在415的左侧,得到的数86415能被7整除,所以称86为415的魔术数.求正整数n的最小值,使得存在互不相同的正整数a1,a2,an,满足对任意一个正整数m在即a",品中都至少有一个为m的魔术数.2021全国数学联赛试题参考答案一、选择题i.设非零实数a,b,c满足a,3c0；那么abbcca的值为().2a3b4c0,a2b2c2(A)1(B)0(C)1(D)122【答案】A【解答】由得abc(2a3b4c)(a2b3c)0,故21.2.22abbcca1(abc)0.于是abbcca-(abc),所以-22一.2a2b2c222

6、.a,b,c是实常数,关于x的一元二次方程ax2bxc0有两个非零实根X1,X2,那么以下关于X的一元二次方程中,以口,3X1x2为两个实根的是().(A)c2x2(b22ac)xa20(B)c2x2(b22ac)xa20(C)c2x2(b22ac)xa20(D)c2x2(b22ac)xa20那么a0.因c0,且【解答】由于ax2bxc0是关于x的一兀二次方程,为工2xxx2,xx2c,且xx20,所以aa1(%x2)22x1x2b22ac11a22222)22)x24x2cx1x2c于是根据方程根与系数的关系,以为两个实根的一元二次方程是x2b22acx0即c2x2(b22ac)xa20.c

7、c3.如图,在RtAABC,O是斜边AB的中点,CD!AB,垂足为D,DaOC垂足为E.假设ADDBCD的长度都是有理数,那么线段ODOEDEAC的长度中,不一定是有理数的为().(A)OD(B)OE(C)DE(D)AC(第3题)【解答】因AD所以,.与.氏OC=DBCD的长度都是有理数,ADBD是有理数.于是,od2第3题做题=OA-AD是有理数.由RSDOEs2RtACOD,知oeOD-,OC,de变坨都是有理数,而AC=/ad-ab不一定是OC有理数.4.如图,ABC的面积为24,点D在线段AC上,点F在线段BC的延长线上,且面积为.A3BC4CF,DCFE是平行四边形,那么图中阴影局部

8、的(B)4第4题C6【答案】【解答】且EF/DC(D)8C由于DCF里平行四边形,所以DE/CF连接CE由于DE/CF,即DE/BF,所以$defSadec因此原来阴影局部的面积等于ACE勺面积.连接AF,由于EF/CD即EFF/AC所以Saace=Saacf.由于BC4CF,所以SaabC=4Sxacf.故阴影局部的面积为6.5.对于任意实数x,y,z,定义运算“*为：第4题做题(A)zx60732233xy3xyxy453x1y1那么202120211821(B)967602的值为().5463(C)967(D)16389967C设20212021L20212021L443mm,那么333

9、m29m2745于是20212021L323m23933m164602391032293609,32455463967、填空题6.设a语,b是a2的小数局部,那么(b2)3的值为.【答案】【解答(b2)3(39)37.如图,91由于1a2a23,故ba22&2,因此9.点D,E分别是ABC勺边AGAB上的点,直线BgCE交于点F,CDFABFEABCF的面积分别是3,4,5,那么四边形AEFD勺面积是.答案理(第7题)13【解答】如图,连接AF,那么有:SAEF4SAEFSBFEBFSAFDSAFD3SAEF解得SAEF警13SafdfdSAFDSCDFCFSAEFFEc96SAFD1

10、3sBCFSGDFSBCFSBEF53'54,(第7题做题)所以,四边形AEFD勺面积是8.正整数a,b,c3a28bc0,那么abc的最大值为.204*13满足ab2【答案】2021【解答】由ab22c2b假设假设假设26a21,那么2,那么3,那么66.由a为正整数及8b6a2c0消去C,并整理得a<66,可得1wa03.282828(ii)假设b5,那么59,无正整数解；40,无正整数解；9,于是可解得b11,c61,从而可得abc3c13,从而可得abc3b1155.612021；13195.综上知abc的最大值为2021.9.实数a,b,c,d满足：一元二次方程x2cx

11、d0的两根为a,b,一元二次方程x2axb0的两根为c,d,那么所有满足条件的数组(a,bcd)为.【答案】(12,1,2),(t,0t,0)(t为任意实数)abc,【解答】由韦达定理得abdcda,cdb.由上式,可知bacd.假设bd0,那么ad1,cPl,进而bdac2.bd假设bd0,那么ca,有(a,bcd)(t,0t,0)(t为任意实数).经检验,数组(1,2,1,2)与(t,0t,0)(t为任意实数)满足条件.10 .小明某天在文具店做志愿者卖笔,铅笔每支售4元,圆珠笔每支售7元.开始时他有铅笔和圆珠笔共350支,当天虽然笔没有全部卖完,但是他的销售收入恰好是2021元.那么他至

12、少卖出了支圆珠笔.【答案】207【解答】设x,y分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数,那么4x7y2021,xy350,所以x-(5032y)口,44于是上是整数.又20214(xy)3y43503y,4所以y204,故y的最小值为207,此时x141.三、解做题11 .如图,抛物线yax2bx3,顶点为E,该抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且O氏OO30A直线1 _(第11题)y-x1与y轴交于点D.3求/DBC/CBE【解答】将x0分别代入y1x1,yax2bx33知,D(0,1),q0,3),所以B(3,0),A(1,0).直线y1x1过点B.3将点C(0,3)的坐标代入ya

13、(x1)(x3),得a1.(第11题做题)5分抛物线yx22x3的顶点为E(1,4).于是由勾股定理得BC=3",CP灰,BE=26.由于BC+CE=B&所以,BCE为直角三角形,bce90.10分因止匕tancbe=ce=1,又tan/DBOOD-,贝fj/DBG=cbe.CB3OB3'15分所以,DBCCBEDBCDBOOBC45.20分12.设ABC的外心,垂心分别为O,H,假设B,C,H,O共圆,对于所有的ABC,求BAC所有可能的度数.【解答】分三种情况讨论.i假设ABC为锐角三角形.由于BHC180ABOC2A,所以由BHCBOC,可得180A2A,于是A

14、60.5分第12题做题ii第12题做题iii假设ABC为钝角三角形.当A90时,因为BHC180A,BOC2180A,所以由BHCBOC180,可得3180A180,于是A120.10分当A90时,不妨假设B90,由于BHCA,BOC2A,所以由BHCBOC180,可得3A180,于是A60.15分iii假设abc为直角三角形.当A90时,由于.为边BC的中点,B,C,H,O不可能共圆,所以A不可能等于90;当A90时,不妨假设B90,此时点B与H重合,于是总有8, C,H,O共圆,因此A可以是满足0A90的所有角.综上可得,A所有可能取到的度数为所有锐角及120.20分13 .设a,b,c是

15、素数,记xbca,ycab,zabc,当z2y,.XJ2时,a,b,c能否构成三角形的三边长？证实你的结论.【解答】不能.依题意,得a1(yz),b-(xz),c1(xy)222由于yz2所以a-(yz)1(z2z)zz-222a3.10分b9,c10,与b,15分又由于z为整数,a为素数,所以z2或3,当z2时,yz24,x(百2)216.进而,c是素数矛盾；当z3时,abc0,所以a,b,c不能构成三角形的三边长.20分14 .如果将正整数M放在正整数m左侧,所得到的新数可被7整除,那么称M为m的“魔术数(例如,把86放在415的左侧,得到的数86415能被7整除,所以称86为415的魔术数).求正整数n的最小值,使得存在互不相同的正整数为,a2,an,满足对任意一个正整数m在即a",品中都至少有一个为m的魔术数.【解答】假设nW6,取m1,2,7,根据抽屉原理知,必有aba2,an中的一个正整数M是i,j(1WiVjW7)的