信号与系统课后习题答案-第1章

1、第1章习题答案1-1题1-1图所示信号中,哪些是连续信号？哪些是离散信号？哪些是周期信号？哪些是非周期信号？哪些是有始信号？解：连续信号：图(a),(c)、(d)；离散信号：图(b)：周期信号：图(d)；非周期信号：图(a)、(b)、(c)；有始信号：图(a)、(b)、(c).1-2某系统的输入f与输出y的关系为y(t)=lfI,试判定该系统是否为线性时不变系统c解：设T为此系统的运算子,由己知条件可知：y(t)=Tf(t)=lf(t)l,以下分别判定此系统的线性和时不变性.线性1)可加性不失一般性,设f(t)=fl(t)+f2(t),那么yi(gT由(t)=l6I,y2(t)=Tf2(t)=

2、lf2(t)l,y(t)=Tf(t)=Tf1(t)+f2(t)=lf1(t)+f2(t)l,而即在fKt)fyi(t)、f2(t)-y2(t)前提下,不存在R+f2(t)山+y2(t),因此系统不具备可加性.由此,即足以判定此系统为一非线性系统,而不需在判定系统是否具备齐次性特性.2)齐次性由条件,y(t)=Tf(t)J=fit)f!=ay(t)(其中a为任一常数)即在f(t)-y(t)前提下,不存在af(t)-ay®,此系统不具务齐次性,由此亦可判定此系统为一非线性系统.时不变特性由条件y(t)=Tf(t)=lf(t)l,那么y(t-to)=Tf(t-to)=lf(t-to)l,即

3、由f(t)-y,可推出y(t-to),因此,此系统具备时不变特性.依据上述、两点,可判定此系统为一非线性时不变系统.1-3判定以下方程所表示系统的性质：S)y(0=-+j'Mdx(b)y"(t)+2y(t)+3y(t)=/'(/)+f(t-2)atJ.(c)y"(/)+2tyt)+2y(t)=3f(t)(d)y(t)2+y(t)=f(t)解：(a)线性1)可加性由)'«)=今"+£/(X)心可得,y")=Mdx即a(oty,(o废八那么为=+fflWdx即力(r)->'1(r)atJ.y+y2(0

4、=勺+£力Mdx+等+£f2(x)dx=(r)+/2(01+£/.«+f2Md.x即在力(f)-y(f)、力一乃前提下,有力十人,+乃,因此系统具备可加性.2)齐次性由f(t)ty(t)即y(t)=也2+ff(x)dx,设a为任一常数,可得ddtdtW.)+£=a+U+£/(x)Ja=ay(t)即4(1)-")'(,),因此,此系统亦具备齐次性.由上述1)、2)两点,可判定此系统为一线性系统.时不变性/具体表现为：y«)=丝+)(幻心atJ.将方程中得f(t)换成序-to)、y换成y(t-to)(to为大于

5、0的常数),即M-o)=用+.1跖设x,o=T,那么八=(,因此二.'"(；")+ratJ.也可写成y(t-t0)=%)+I"''f(x)dx,atJt.只有f(t)在t=o时接入系统,才存在/(r,o)f),.一八),当f在two时接入系统,不存在/(/t.)y"To),因此,此系统为一时变系统.依据上述、,可判定此系统为一线性时变系统°(b)线性1)可加性在由)/(0+2y«)+3y(f)=+2)规定的f(t)-y(t)对应关系的前提下,可得%(f)+2y+3y(f)=/+/(-2)>2%)+2y2+

6、3y2.)=fi+6.-2)j=>"+力+2%.)+%+3"(f)+y2(0=/i+/.-2)+f2(t-2)d,l；>/i(0+/2(r)-,系统满足可加性.2)齐次性由/,即y'«)+2y(f)+3y(r)=f(r)+/(f2),两边同时乘以常数a,有H),+2),Q)+33,(4="'(,)+f(t-2)nay(t),+2ay(t)+3ay(t)=af(t)+af(t-2)即qf")->i),Q),因此,系统具备齐次性.由1)、2)可判定此系统为一线性系统,时不变性分别将和/'(,%)(to为大于

7、0的常数)代入方程y'(f)+2y'«)+3y«)=/'«)+>(-2)左右两边,那么左边二"Id+2*22+3MT.)drdt右边=+f(t_%_2)=y(f-%)+2-y(t-%)+3y(f-/0)dt"(ro)"(一0)"(fo)、而T7T7y(/-AJ=3)"'.)'/J/Rf=y«T.)"(fTo)di"(/To)d.To)dt-所以,右边="二":砧+2"V"二©+3y(/T.)

8、=左边,故系统具备时不变特性.drdt依据上述、,可判定此系统为一线性时不变系统.(c)线性1)可加性在由式.)+2).)+2)=3/.)规定的/(,)Ty.)对应关系的前提下,可得.(t)+2tyx(t)+2yx(0=3/)(/)%(0+26(f)+2y2(t)=3f8)'>><(0+乃.)+2fy；")+2%+2y,(t)+2y2(t)=3力(r)+3f2(f)>y(f)+为+2心1«)+为(,)+20«)+为=3"(f)+A即在力一>M«)、%的前提下,有式/(,)+-%(,)+力.)存在,即系统满足

9、可加性.2)齐次性由/fy«),即y-)+2/y(f)+2y(f)=3f),两边同时乘以常数a,有ay+2aty'(t)+2ay(t)=3af(r)=ay(t)+2tay(t+2ay(t)=3af(/),即有af(t)ay(t),因此,系统具备齐次性.依据上述1)、2),此系统为一线性系统.时不变性分别将y将一幻和/'("幻(3为大于0的常数)代入方程：(.+大丁.)+2),(.=3“,)左右两边,那么八二边=丁7yQ-io)+2,y(t-)+2y(t-r0)dt-att2»右边F/Q-,o)=-y«-%)+2.九)-)(/-%)+2y(

10、r-r0)"(一o厂"(ro)d?d=-,o)+2(,一八)7)0,0)+2y(/一八)右边drdt因此,系统是时变的.依据上述、,可判定此系统为一线性时变系统Q(d)线性1)可加性在由式丁+y(t)=/规定的f(t)Ty(t)对应关系的前提下,可得+为(f)F+y1+y2s=M)+/2(0y1(r)2+y1(r)=/I(0y2(f)2+y2(t)=f2(t)而不是：必(0+乃(/)'2+必(0+乃(/)=/1«)+fl(01即在此为乃的前提下,并不存在力.)+/2(,)-%«)+丫2«)因此系统不满足可加性,进而系统不具备线性特性.(

11、下方的齐次性判定过程可省略)2)齐次性由-即yd)2+y«)=/.),两边同时乘以常数a,有ay(t)2+ay(t)=af(t),即式做?+"=妙不成立,不存在打f缈因此,系统也不具备齐次性.单独此结论,也可判定此系统为一非线性系统.时不变性分别将和/.一/.)(E为大于.的常数)代入方程>(/)+)")=/左右两边,那么左边可7、(,一,0)+-,0)at右边=/«_%)=",+y(f-/°)=<A(/-2+)夕一%)=右边即以式以H)2+y(t)=f(t)规定的fit)ty(z)关系为前提,存在f(t-r0)-y(t-

12、10)因此,系统是非时变的.依据上述、,可判定此系统为一线性时不变系统°1-4试证实方程y«)+),“)=/(f)所描述的系统为线性系统.提示：根据线性的定义,证实满足可加性和齐次性.证实：1)证实齐次性),'(/)+ay(t)=f(t)任:常.如+ay(t)=bf(t)-by(t)+aby(t)=bf(t)bf(t)fby(t)>满足齐次性2)证实可加性y2(t)+ay2(t)=f2(t)y+小.)+y2(t)+缈2=")+力>'1(0+%(,)+“M")+%«)=fi(0+fi")/i+%-yW)+丫2

13、一>满足可加性由以上1)、2),可知系统是线性的.1-5试证实题1-4的系统满足时不变性.提示：将方程中的t换为t-t.,导出f(t-1.)与y(t-t.)对应.证实：分别将y.%)和/'.一").为大于0的常数)代入方程),'.)+")=/«)左右两边,那么左边二%(一.)+双一.)右边=/(/_,0)=dyf一1"'一0=9"+ayt-0=右边at即以式y(t)+ay(t)=f(t)规定的f(t)->y(t)关系为前提,存在f(t%)-y(ttQ)因此,系统满足时不变性.1-6试一般性的证实线性时不变系统具有微分特性.提示：利用时不变性和微分的定义推导.证实：设线性时不变系统的鼓励与响应的对应关系为/«)T)'«),那么-Ar)-y(t-Ar)(时不变性)由线性可加性可得/«)一WAr)-y(t)-y(t-Ar)/(0-f(t-加)-y")-N)因此一飞>一飞1./W-y(r)-y(t-Ar)所以limz>limjA/T)ZZ70&/(0-yf)线性时不变系统具有微分特性