全国初中数学联赛试题及详解

1、2021年全国初中数学联合竞赛试题及详解第一试、选择题：此题总分值42分,每题7分1.假设a,b,c均为整数且满足10(ab)10(ac)b|bc|ca|A.1.B,2.C,3.D,4.a由可推得a2.假设实数a,b,c满足等式27a3|b|6,9|b|A.0.B,1.C.2.D,3.由,6c4、,a9b2(2、G3b)15b3.假设a,b是两个正数,4.c1,分别代入即得.0,那么b1.C.12那么c可能取的最大值为15b假设方程13.b时,可计算得3xB.0的两根也是方程一9.C.12,.c2.观察4个选项,只能选C.6.2axbx解：由：x4ax2bxc一定能被x23x1整除.2axbx

2、c(x3x1)(x23x10)(3ab33)x(ac10)0,故3a(3a33100的根,那么ab2c的值为0.b33)x(ac10)2c135.在ABC中,EDDBCE,CDBCAB60CDE,那么,D,E分别是边DCBAED60,B)A.15.B.20.C.25.D.30解：如图,由,ADE是正三角形.作BF/DE交AC于F,贝UBD=EF,从而EC=DE+BD=AB=BF,DE=FC,又/1=Z2=120,故AEDCAFCB.故x门口./CDB=2,ZBDE=120,40,故x40,由40：60120；,得：x20：.上的点,且ACAB,(6.对于自然数n,将其各位数字之和记为an,如2

3、2021200911,8202120103,那么ai8283川a2021a2021A.28062.B.28065.C.28067.D.28068.解：将0,1,2,999这1000个自然数分为500个数组：0,999、1,998、2,997、499,500.注意到：这500个数组中,每个数组的两个自然数各位数字之和均为9+9+9=27,故0,1,2,999这1000个自然数各位数字之和等于2750013500.于是,1000,1001,1002,1999这1000个自然数各位数字之和等于13500+1000=14500.从而a1a2a3a1999135001450028000.显然:a2000

4、a2001Hla202168,故：818283m8202128068.、填空题：此题总分值28分,每题7分xV19-221.实数x,y满足方程组,那么x2y2xy1,13解:33xy19xy122xyxy1922xy2xy1y2132,二次函数yx2bxc的图象与x轴正方向交于C.1ABV3AC,CAO30,那么c-9解：如图,由可推得：OCcOA73c,设A(x1,0),AB23c21由x1x29ccc-.9,x1B(x2,0),那么X2、-3c3、ScA,B两点,与y轴正方向交于点3 .在等腰直角ABC中,AB=BC=5,P是ABC内一点,且PA=J5,PC=5,那么PB=J10.解：见上

5、图.4 .将假设干个红、黑两种颜色的球摆成一行,要求两种颜色的球都要出现,且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放,最多可以摆放15个球.解：先画一个“初始图：OABCDEOABCDE.根据题目要求,逐一确定各个字母的颜色,得到：OOOODOOOOODO显然,D应为黑色.即:再按要求尝试增加小球,确定最后结果如下:此题总分值20分2.2ab2,cabacbc13,由等式可得(ab)2(bc)2(ac)2bm,bc于是,等式变为第二试A)设整数a,b,c(abc)为角形的求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.26cmn,其中m,n均为自然数.2,、2n(mn)2

6、6,即22mnmn13由于m,n均为自然数,判断易知,使得等式成立的m,n只有两组:3,和11,3.(1)当m3,n1时,bc1,ab3c4.又a,b,c为三角形的三边长,所以bc即(c1)cc4,解得c3.又由于三角形的周长不超过30,即abcc4c1c一25解得c一.因此3c325,所以c可以取值4,5,6,7,8,对应可得到5个符合条件的三角形.3(2)当m1,n3时,bc3,ab1c4.又a,b,c为三角形的三边长,所以bc即(c3)cc4,解得c1.又由于三角形的周长不超过30,即abc(c4)(c3)c23解得c23.因此1c3233,所以c可以取值2,3,4,5,6,7,对应可得

7、到6个符合条件的三角形AB边交于点P,的切线.5+6=11.综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为二.此题总分值25分等腰三角形ABC中,AB=AC,/C的平分线与ABC的内切圆.I与BC边的切点,作MD/AC,交.I于点D.证实：PD是.I的切线.证实过点P作.I的切线PQ切点为Q并延长,交BC于点N.由于CP为/ACB的平分线,所以/ACP=/BCP.又由于PA、PQ均为.I的切线,所以/APC=/NPC.又CP公共,所以ACPANCP,所以/PAC=ZPNC.由NM=QN,BA=BC,所以QNMsBAC,故/NMQ=/ACB,所以MQ/AC.又由于MD/AC,所以MD和MQ为

8、同一条直线.又点Q、D均在.I上,所以点Q和点D重合,故PD是.三.(此题总分值25分)二次函数yX2bxc的图象经过两点P(1,a),Q(2,10a).(1)如果a,b,c都是整数,且cb8a,求a,b,c的值.(2)设二次函数yx的方程2xbxc的图象与x轴的交点为a、B,与y轴的交点为C.如果关于x2bxc0的两个根都是整数,求ABC的面积.解点P(1,a)、Q(2,10a)在二次函数yx2bxc的图象上,故1bca,42a解得b9a3,c8a2.-8a29a3,-一(1)由cb8a知解得1a3.9a38a,又a为整数,所以a2,b9a315,c8a214.(2)设m,n是方程的两个整数

9、根,且mn.n)6,由根与系数的关系可得mnb39a,mnc28a,消去a,得9mn8(m两边同时乘以9,得81mn72(mn)54,分解因式,得(9m8)(9n8)10.所以9m89n81,9m829m8或或10,9n85,9n8109m85,或1,9n82,解得2,或1019或9或7,9193又m,n是整数,所以后面三组解舍去,故m1,n2.因此,b(mn)3,cmn2,二次函数的解析式为yx23x2.1)21.13,求符易求得点A、B的坐标为(1,0)和(2,0),点C的坐标为(0,2),所以ABC的面积为1(22第二试(B)一.(此题总分值20分)设整数a,b,c为三角形的三边长,满足

10、a2b2c2abacbc合条件且周长不超过30的三角形的个数(全等的三角形只计算1次).解不妨设abc,由等式可得(ab)2(bc)2(ac)226令abm,bcn,那么acmn,其中m,n均为自然数.于是,等式变为m2n2(mn)226,即m2n2mn13由于m,n均为自然数,判断易知,使得等式成立的m,n只有两组：m3,和m1,n1n3.(1)当m3,n1时,bc1,ab3c4.又a,b,c为三角形的三边长,所以bca,即(c1)cc4,解得c3.又由于三角形的周长不超过30,即abc(c4)(c1)c30,2525解得c一.因此3c,所以c可以取值4,5,6,7,8,对应可得到5个符合条

11、件的三角形.33(2)当m1,n3时,bc3,ab1c4.又a,b,c为三角形的三边长,所以bca,即(c3)cc4,解得c1.又由于三角形的周长不超过30,即abc(c4)(c3)c30,r2323解得c一.因此1c一,所以c可以取值2,3,4,5,6,7,对应可得到6个符合条件的三角形.33综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5+6=11.二.(此题总分值三.(此题总分值25分)题目和解答与(25分)题目和解答与(A)卷第二题相同A)卷第三题相同第二试(C)一.(此题总分值20分)题目和解答与(B)卷第一题相同.二.(此题总分值25分)题目和解答与(A)卷第二题相同.三.(此题总分值25分)设p是大于2的质数,k为正整数.假设函数yx2px(k1)p4的图象与x轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数,求k的值.解由题意知,方程x2px(k1)p40的两根x1,x2中至少有一个为整数.由根与系数的关系可得x1x2p,x1x2(k1)p4,从而有(x12)(x22)x1x22(x1x2)4(k1)p(1)假设k1,那么方程为x2px2(p2)0,它有两个整数根2和2p.(2)假设k1,那么k10.由于x1x2p为整数,如果x1,x2中至少有一个为整数,那么不,*2都是整数.又由于p为质数,由式知p|x12或p|x22.不妨设p|2,那么