全国高中数学联赛试卷及答案

1、TYYGROUPsystemofficeroomTYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-(10月4日上午8:0G-9:40)题号合计加试总成绩131415得分评卷人复核人学生注意：1、本试卷共有三大题(15个小题),全卷总分值150分.2、用圆珠笔或钢笔作答.3、解题书写不要超过装订线.4、不能使用计算器.一、选择题(此题总分值36分,每题6分)此题共有6个小是题,每题均给出(A)(B)(C)(D)四个结论,其中有且仅有一个是正确的.请将正确答案的代表字母填在题后的括号内,每题选对得6分；不选、选错或选的代表字母超过一个(不管是否写在括号内),一律得.分.1、a为给定的实数,那么集合M=

2、x|x-3又-£+2=0小£1«的子集的个数为(A)1(B)2(C)4(D)不确定2、命题1：长方体中,必存在到各顶点距离相等的点；命题2：长方体中,必存在到各棱距离相等的点；命题3：长方体中,必存在到各面距离相等的点；以上三个命题中正确的有(A) 0个(B)1个(C)2个(D)3个3、在四个函数y=sinx,y=cosIxI,y=IctgxI,y=Iglsinx中以为周期、在(0,-)上单调递增的偶函数是2(A)y=sinx(B)y=cosx(C)y=ctgx(D)y=lgsinx4、如果满足NABC=60°,AC=12,BC=k的/ABC恰有一个,那

3、么k的取值范围是(A)k=8V3(B) 0<kl2(C)2(D)0<k<12或k=8%5 .假设(l+x+x?)8.的展开式为ao+aix+a2x?+,+a：ooox:o°°,那么a°+a3+a6+a9+,+ai%s的值为().(A)3双(B)3湫(C)3期(D)320016 .6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24,而4枝攻魂与5枝康乃馨的价格之和小于22元,那么2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比拟,结果是().(A)2枝玫瑰价格高(B)3枝康乃馨价格高(C)价格相同(D)不确定二、填空题(此题总分值54分,每题9分)7.椭圆P=1/(2-co

4、s0)的短轴长等于.38、右复数Z,2?满足Zi=2,z二二3,3zi-2z二二-1,那么Z/二二.9、正方体ABCDABC.的棱长为1,那么直线AC与BD1的距离是O10、不等式_+2的解集为log1X211、函数y=X+J33x+2的值域为12、在一个正六边形的六个区域栽种欣赏植物如图,要求同一场块中种同一种植物,相邻的两块种不同的植物.现有4种不同的植物可供选择,那么有种栽种方案.二、解做题此题总分值60分,每题20分13、设aj为等差数列,bj为等比数列,且仇=,b2=a23?比,又limA+/%+2=&+1,试求aj的首项与公差.14、设曲线a：二+,2=10为正常数与0.三

5、26+111在乂轴上方公有一个公共点a-Po1求实数m的取值范围用a表示；20为原点,假设a与x轴的负半轴交于点A,当0<a<1时,试求Z10AP的面积2的最大值用a表示.15用电阻值分别为a1、a2>为、a、a5a6>a1>a2>a3>a1>a5>a6的电阻组装成一个如图的组件,在组装中应如何选取电阻,才能使该组件总电阻值最小？证实你的结论.二OO一年全国高中数学联合竞赛加试试题<10月4日上午10：0012：00)学生注意：1、2、3、4、本试卷共有三大题,全卷总分值150分.用圆珠笔或钢笔作答.解题书写不要超过装订线.不能使用计

6、算器.一、此题总分值50分如图：NABC中,0为外心,三条高AD、BE、CF交于点H,直线ED和AB交于点M,FD和AC交于点果求证：10BJ_DF,0C1DE；20H±MNo二、此题总分值50分设XiN0I=l,2,3,n且+2工二七勺=1,求的最大值与最小值./=1j/-I三、此题总分值50分将边长为正整数m,n的矩形划分成假设干边长均为正整数的正方形,每个正方形的边均平行于矩形的相应边,试求这些正方形边长之和的最小值.2001年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准选择题：CBDDCA1 .a为给定的实数,那么集合乂=x|x3xa+2=0,xGR的子集的个数为.1 .1B.

7、2C.4D.不确定讲解：M表示方程x23xa2+2=0在实数范围内的解集.由于A=l+4a2>0,所以M含有2个元素.故集合M有2?=4个子集,选C.2 .命题L长方体中,必存在到各顶点距高相等的点.命题2：长方体中,必存在到各条棱距离相等的点；命题3：长方体中,必存在到各个面距离相等的点.以上三个命题中正确的有.A.0个B.1个C.2个D.3个讲解：由于长方体的中央到各顶点的距离相等,所以命题1正确.对于命题2和命题3,一般的长方体除正方体外中不存在到各条棱距离相等的点,也不存在到各个面距离相等的点.因此,此题只有命题1正确,选B.3 .在四个函数y=sin|x|、y=cos|x|、y

8、=|ctgx|、y=1gIsinx|中,以Ji为周期、在0,五/2上单调递增的偶函数是.A.y=sin|x|B.y=cosIxIC.y=|ctgx|D.y=1g|sinx|讲解：可考虑用排除法.y=Sin|X|不是周期函数可通过作图判断,排除A；y=cosIx|的最小正周期为2冗,且在0,冗/2上是减函数,排除B；y=1ctgx|在0,n/2上是减函数,排除C.故应选D.4 .如果满足NABC=60°,AC=12,BC=k的4ABC恰有一个,那么k的取值范围是.A.k=8、/JB.OVkW12C.kN12D.0<kW12或攵=8退讲解：这是“三角形的两边及其一边的对角,解三角形

9、这类问题的一个逆向问题,由课本结论知,应选结论D.说明：此题也可以通过画图直观地判断,还可以用特殊值法排除A、B、C.5 .假设1+x+x?的展开式为a0+ax+a2x2+a皿x吗那么an+a3+a6+a9+ai世的值为.A.3项B.3倨C.3期D.32001讲解：由于要求的是展开式中每间降两项系数的和,所以联想到1的单位根,用特殊值法.取3=1/2+需/2i,贝32+3+1=0.令x=1,得a0+a+az+a3+a“co；令x=3,得0=ao+a13+aa皿5族；令X=32,得0=a0+a1g>+a201+a3+azooo三个式子相加得31000=3(a.+a3+a$+a的).a0+a

10、3+a6+a19为=3"9,选C.6.6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24,而4枝攻瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元,那么2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比拟,结果是().A.2枝玫瑰价格高B.3枝康乃馨价格高C.价格相同D.不确定讲解：这是一个大小比拟问题.可先设玫瑰与康乃馨的单价分别为x元、y元,那么由题设得,问题转化为在条件、的约束下,比拟2x与3y的大小.有以下两种解法：解法1：为了整体地使用条件、,令6x+3y=a,4x+5y=b,联立解得*=(5a3b)/18,y=(3b2a)/9.*.2x3y=(11a12b)/9.Va>24,b<22,J11a_12b

11、>11X24-12X22=0.A2x>3y,选A.解法2：由不等式、及x>0、y>0组成的平面区域如图1中的阴影局部(不含边界).令2x3y=2c,那么c表示直线1：2x3y=2c在x轴上的截距.显然,当1过点(3,2)时,2c有最小值为0.故2x3y>0,即2x>3y,选A.说明：(1)此题类似于下面的1983年一道全国高中数学联赛试题：函数乂=f(X)=aX2C满足：一4Wf(1)<1,1Wf(2)W5,那么f(3)应满足().A.-7Wf(3)W26B.-4Wf(3)W15C.一l<f(3)W20D.一28/3Wf(3)W35/3(2)如果

12、由条件、先分别求出x、y的范围,再由2xy的范围得结论,容易出错.上面的解法1运用了整体的思想,解法2那么直观可靠,详见文1.二.填空题24q30,72,.瓜o十iy313136310.(0,l)U(l,2DU(4,+oo)11.U,)U2,+oc)12.73227.椭圆P=l/(2-cos0)的短轴长等于讲解：假设注意到极点在椭圆的左焦点,可利用特殊值法；假设注意到离心率e和焦参数P(焦点到相应准线的距离)的几何意义,此题也可以直接求短半轴的长.J"(O)="+c=l解法L由zr)=-c=l/3得a=2/3,从而b=正,故2b=233解法2：由e=c/a=1/2,p=b?

13、/c=1及b二=ac)得b=.从而2b=2g.33说明：这是一道符合教学大纲而超出高考范围的试题.8 .假设复数zi、z2满足Iz,|=2,Iz3|=3,3z|2z2=(3/2)i,那么ziz2=.讲解：参考答案给出的解法技巧性较强,根据问题的特点,用复数的三角形式似乎更符合学生的思维特点,而且也不繁.令z1=2(cosa+isina),z2=3(cosP+isinP),那么由3z.-2z2=(3/2)i及复数相等的充要条件,得即二式相除,得tg(a+B)/2)=3/2.由万能公式,得sin(a+p)=12/13,cos(a+P)=5/13.故z】z2=6cos(a+p)+isin(a+p)二

14、一(30/13)+(72/13)i.说明：此题也可以利用复数的几何意义解.9 .正方体ABCD-A|B|C1|的棱长为1,那么直线A|C|与BD1的距离是讲解：这是一道求两条异面直线距离的问题,解法较多,下面给出一种根本的解法.图2为了保证所作出的表示距离的线段与A和BD|都垂直,不妨先将其中一条直线置于另一条直线的垂面内.为此,作正方体的对角面BDD|B那么八|<21_1_面BDD,B,且BD】u面BDDB-设ACGB】D1=0,在面BDD|B1内作OH±BD.,垂足为H,那么线段OH的长为异面直线A|CI与BD1的距离.在RtBB1D1中,OH等于斜边BDi上高的一半,即0

15、1-1=狙/6.10 .不等式I1/1.g2x+2I>3/2的解集为.讲解：从外形上看,这是一个绝对值不等式,先求得1ogxV2,或一2/7<1og1/2x<0,或1og山二x>0.从而x>4,或IVx<2:或0Vx<1.11 .函数y=x+J/-5+2的值域为.讲解：先平方去掉根号.由题设得(yx)2=x2-3x+2,那么x=(yz-2)/(2y-3).由yNx,得yN(y-2)/(2y3).解得lWyV3/2,或yN2.由于Ji-3x+2能达至|j下界0,所以函数的值域为1,3/2U2,+8.说明：1参考答案在求得ly<3/2或yN2后,还用

16、了较长的篇幅进行了一番验证,确无必要.2此题还可以用三角代换法和图象法来解,不过较繁,读者不妨一试.图312.在一个正六边形的六个区域栽种欣赏植物如图3,要求同一块中种同一种植物,相邻的两块种不同的植物.现有4种不同的植物可供选择,那么有种栽种方案.讲解：为了表达方便起见,我们给六块区域依次标上字母A、B、C、D、E、F.按间隔三块A、C、E种植植物的种数,分以下三类.1假设A、C、E种同一种植物,有4种种法.当A、C、E种植后,B、D、E可从剩余的三种植物中各选一种植物允许重复,各有3种方法.此时共有4X3X3X3=108种方法.2假设A、C、E种二种植物,有P.J种种法.当A、C、E种好后

17、,假设A、C种同一种,那么B有3种方法,D、F各有2种方法；假设C、E或E、A种同一种,相同只是次序不同.此时共有P/X33X2X2=432种方法.3假设A、C、E种三种植物,有PJ种种法.这时B、D、F各有2种种方法.此时共有PJX2X2X2=192种方法.根据加法原理,总共有N=108+432+192=732种栽种方案.说明：此题是一个环形排列问题.三.解做题13 .设所求公差为M&<包,£>0.由此得/(%+24)2=(,+.)4化简得：2a：+4%4+2=0解得：d=(-2±y2)a5分而-2±/<0,故为V02假设d=(-2-尬

18、)a,那么q=+1)-着d=(-2+6)(八,那么g=*=(&_1)210分但/而S+2)=VI+1存在,故Q<1,于是夕=("+1)2不可能.“T田一从而U_-=>/2+1=(272-2)(72+1)=21-(V2-I)2所以q=-",=(-2+VI)9=22-220分14 .解：(1)由?/+)消去y得：x2+2a2x+2a2m-a2=0y2=2(x+in)设/(x)=%2+2a2x+2a2m-a2,问题化为方程在xG(a,a)上有唯一解或等根.只需讨论以下三种情况：1°=()得：m=此时为=4,1且仅当一aV力<a,即OVa2<

19、;1时适合；2°f(a)f(-a)<0,当且仅当一a<勿Va；3°f(a)=0得m=a,此时羽=a2a,当且仅当一a<a2a"<a»即OVa<l时适合.f(a)=0得-a,此时修=a2a,由于一a2力Va,从而卬Wa.综上可知,当OVaVl时,=匚匚1或一aVzz<a：2当a21时,a<.m<.a.10分(2)4"产的面积S=2.VO<a<t故一aVmWa时,OV-+1-2?<a,2由唯一性得xp=-a+ay/a1+-2in显然当卬=时,项取值最小.由于xQ>0,从而为=J

20、1-3取值最大,此时力=2yla-a2,/.S=aa-a2.当in=时,xp=a9yp=J1-a°,此时S=Lay/l-cT.22下面比拟“心产与匚不的大小：2令=L.J1-,得4=L2 3故当0<aWg时,ayja-a2<2.J1-/,此时S=?ajl-a?.3 22当!<<寸,aja-/,此时S“v.20322分15.解：设6个电阻的组件(如图3)的总电阻为反:,当斤f=a£=3,4,5,6,尼、足是a、a的任意排列时,尺最小5分证实如下：1.设当两个电阻尼、足并联时,所得组件阻值为兄那么!=-+!.故交R叫R.换二电阻的位置,不改变?值,且当凡

21、或足变小时,咒也减小,因此不妨取泥>足.MC2-MH2=ACZAHZ'：BELNA:.nb2-nhz=ab2-ahz'：DAA.BC：.BDZ-CDZ=BAZ-AC2'：OB.DF:.bn2-bdz=on2-odz*：OCA.DE30：.CMZ-CDZ=OMZ-OD2分一+一,得NH2-MHZ=ONz-OMZMOZ-MHZ=NO2-NH2OHA.MN50分另证：以理所在直线为x轴,.为原点建立直角坐标系,设力(0,a),B(b,0),r(c,0),那么k,xc=-,kAB=-cb直线'的方程为y=-(x-c),直线座的方程为y=-(x-b)ca,y=(x-

22、b)27)】由a得£点坐标为以中竺,竺二坐)a,、(厂+L同理可得尸(S二,丝工)cr+/+/直线的垂直平分线方程为),->,号直线5.的垂直平分线方程为4=生V-=(x-)由2a2得次竺£一+,)b+c22ax=2bc+a22._2a_cm-abc_ab-acOB=b+clp2VkOBkDP=-1/OBIDF同理可证OC,DE.在直线座的方程,=£?-与中令x=0得40,-bc+a?be2a干了_a,+3儿b+cab+ac直线分的方程为,=竺二+bellK得,V'(er+2hc-cabc-ac?)a2+2bc-c2组1/a2b+b2cabc-ab2

23、、同理可得必I、？灰：/+2A-/ab+aca2+3bc_a(b2-c2)(a2+bc)“L(c-b)(a2+hc)(a2+3bc)恩届=-1,OHA.MN.二解：先求最小值,由于之七2+2ZI24勺之1=£七21/=!i=llJt/rVJr=l等号成立当且仅当存在I使得X=L内=0,j=in工z3最小值为i.j-110分再求最大值,令工卜=尿£立+2女=1力+>'2+%=为n.xGG人力yn=ai设例=Z4=Z,"%,令,-AJl-l那么“：+"；HF"；=130分令an_x=0,贝ljM=£VF(4-a«+1)I=£&£&k+=£&£>lk-ak=£尿-4-1MA-lII女1由柯西不等式得：一叱?39硝,=之JF一仄彳尸门"IJt-12等号成立中=(4k八EVA+4；+,+%说1+("-4尸+(*7二IF-(JF-JTT)2£(vr-vrr)2rA