专题勾股定理与特殊角

1、专题 勾股定理与特殊角方法归纳：解决非直角三角形的求值问题时， 一般要做垂线构造含特殊角的直角三角形来处理。一、直接运用300 或 450 的直角三角形1、 如图， ABC中， C=90°， B=30°， AD是 ABC的角平分线，若AC= 3 ，求 AD的长 .2、 如图， ABC中， ACB=90°,CD AB于 D， A=30°， CD=2，求 AB的长 .3、 如图， ABC中， ADBC于 D， B=60°， C=45°， AC=2，求 BD的长00二、作垂线构造30 或 45 的直角三角形000（一）将 105 转化为 4

2、5 和 604、 如图，在 ABC中， B=45°， A=105°， AC=2，求 BC的长 .（二）将 750 转化为 450 和 3005、 如图，在 ABC中， ACB=75°， B=60°， BC=2 3 ，求 SABC6、 如图，在 ABC中， B=45°， BAC=75°， AB= 6 ，求 BC的长 .专题运用勾股定理列方程方法归纳：运用勾股定理列方程是数形结合思想的体现一、直接用勾股定理列方程1、 如图，在 ABC中， C=90°， AD平分 CAB交 CB于 D，CD=3， BD=5，求 AD的长 .2、

3、如图，在 ABC中， ADBC于 D，且 CAD=2BAD,若 BD=3，CD=8，求 AB的长 .二、巧用“连环勾”列方程3、 如图，在 ABC中， AB=5， BC=7， AC=4 2 ，求 S ABC.4、 如图， ABC中， ACB=90°， CDAB 于 D，AC=3，BC=4，求 AD的长 .5、 如图， ABC中， ACB=90°， CDAB 于 D，AD=1，BD=4，求 AC的长6、 如图， ABC中， ACB=90°， CDAB 于 D，CD=3，BD=4，求 AD的长专题勾股定理与折叠问题方法归纳：抠住折叠前后的对应线段、对应角相等，将有关线

4、段转化到直角三角形中用勾股定理来解决。一、折叠三角形1、 如图，在 ABC中， A=90°，点 D 为 AB上一点，沿 CD折叠 ABC，点 A 恰好落在 BC 边上的 A处， AB=4， AC=3，求 BD的长 .二、折叠长方形2、 如图，长方形 ABCD中， AB=4，BC=5， F 为 CD上一点，将长方形沿折痕 AF折叠，点 D 恰好落在 BC上的点 E 处，求 CF的长3、 如图，长方形 ABCD中， AD=8cm，AB=4cm，沿 EF 折叠，使点 D与点 B 重合，点 C与 C' 重合 .（ 1）求 DE的长（ 2）求折痕 EF 的长 .4、 如图，长方形ABC

5、D中， AB=6，AD=8，沿 BD折叠使 A 到 A处 DA交 BC于 F 点 .（ 1）求证： FB=FD（ 2）求证： CA BD（ 3）求 DBF的面积三、折叠正方形5、 如图，正方形 ABCD中，点 E 在边 CD上，将 ADE沿 AE对折至 AFE，延长 EF交边 BC 于点 G,G为 BC的中点，连结 AG、CF.（ 1）求证： AGCF（ 2）求 DE的值 .CE专题勾股定理与分类讨论方法归纳：在涉及到等腰三角形、 直角三角形及三角形面积、 高等问题时往往需要分类讨论一、锐角和钝角不明时需分类讨论1、 在 ABC中， AB=AC=5， SABC.= ，求 BC的长2、 在 AB

6、C中， AB=15，AC=13， AD为 ABC的高，且 AD=12，求 BC 二、腰和底不明时需分类讨论3、 如图 1， ABC中， ACB=90°， AC=6，BC=8，点 D 为射线 AC上一点，且 ABD是等腰三角形，求 ABD的周长 .三、直角边和斜边不明时需分类讨论4、 已知直角三角形两边分别为2 和 3，则第三边的长为 _5、 在 ABC中， ACB=90°， AC=4， BC=2，以 AB为边向外作等腰直角三角形ABD，求CD的长专题利用勾股定理逆定理证垂直方法归纳：证垂直的方法较多，用勾股定理的逆定理证垂直可实现由数向形的转化1、 如图，在 ABC中，点

7、D为 BC边上一点，且 AB=10， BD=6， AD=8， AC=17，其求 CD的长 .2、 如图，在四边形ABCD中， B=90°， AB=2，BC= 5 ，CD=5，AD=4，求 S四边形 ABCD3、 如图，在 ABC中， AD为 BC边上的中线， AB=5,AC=13,AD=6，求 BC的长 .4、 已知 ABC中， CA=CB,ACB=，点 P 为 ABC内一点，将 CP绕点 C 顺时针旋转 得到 CD，连 AD（ 1）如图 1，当 =60°， PA= 10， PB=6， PC=8时，求 BPC的度数（ 2）如图 2，当 =90°， PA=3，PB=

8、1，PC=2时，求 BPC的度数专题a2b 问题的证明方法归纳：将a，b 转化成某等腰三角形的斜边与直角边是解此类问题的关键。一、直接以 a， b 为边构造等腰直角三角形1、 如图， OA=OB，OC=OD， AOB=COD=90°， M、N分别为 AC、BD的中点，连 MN、ON.求证： MN= 2 ON.2、 已知 ABC中， AB=AC， BAC=90°， D 为 BC的中点， AE=CF，连 DE、EF.（ 1）如图 1，若 E、F 分别在 AB、AC上，求证： EF= 2 DE（ 2）如图 2，若 E、F 分别在 BA、AC的延长线上，则 (1) 中的结论是否仍成

9、立请说明理由二、利用等线段代换构造等腰直角三角形3、 如图， ABD中， O为 AB的中点， C 为 DO延长线上一点， ACO=135°，ODB=45°探究 OD、OC、AC之间相等的数量关系4、 如图，ABD是等腰直角， BAD=90°， BCAD，BC=2AB，CE平分 BCD，交 AB于 E，交 BD于 H求证：（ 1）DC= 2 DA；（ 2） BE= 2 DH专题ab2c或3c问题的证明方法归纳：将 ab2c 转化为a2b 的问题，再转化到300 或450 的等腰直角三角形中去解决此类问题。1、 如图 1， ABC中，CA=CB， ACB=90

10、6;， D为 AB的中点， M、N分别为 AC、BC上一点，且 DMDN.? ?（ 1）求证： CM+CN= BD（ 2）如图 2，若 M、N 分别在 AC、CB的延长线上，探究 CM、 CN、BD之间的数量关系式2、 已知 BCD=， BAD=， CB=CD.（ 1）如图 1，若 =90°，求证： AB+AD= AC（ 2）如图 2，若 =90°，求证： AB-AD= AC（ 3）如图 3，若 =120°， =60°，求证： AB=AD= AC（ 4）如图 3，若 =120°，求证： AB-AD= AC专题 勾股定理综合（一）纯几何问题方法归

11、纳：将研究的线段转化到一个直角三角形中去， 是解决与勾股定理有关的综合题的关键。1、 已知，在 RtABC中， C=90°， D 是 AB的中点， EDF= 90°， DE交射线 AC于 E，DF交射线 CB于 F?（ 1）如图 1，当 AC=BC时，EF2、AE2、BF2 之间的数量关系为 _（直接写出结果）；222之间的数量关系，并加以证明；（ 2）如图 2，当 ACBC时，试确定 EF、 AE、 BF（ 3）如图 3，当 ACBC时， (2) 中结论是否仍成立2、已知 OMN为等腰直角， MON=90°，点 B 为 NM延长线上一点， OCOB，且 OC=OB.?（ 1）如图 1，连 CN，求证： CN=BM;222（ 2）如图 2，作 BOC的平分线交 MN于 A，求证： AN+BM=AB（ 3）如图 3，在 (2) 的条件下，过 A 作 AEON于 E，过 B 作 BFOM于 F，EA、 BF的延长线222之间的数量关系式交于 P，请探究 AE、BF、AP专题勾股定理综合（二）与代数有关结合方法归纳：在坐标系中研究勾股定理的应用，充分体现数形结合的思想。1、 已知点 A 的坐标为（ 1， -3 ）， OAB=90°， OA=OB.（ 1）如图 1，求点 B 的坐标；（ 2