112余弦定理（1）

1、高中新课程数学必修高中新课程数学必修一、复习回顾一、复习回顾1.正弦定理及其推论：正弦定理及其推论： sinsinsinabcABC=2R(R为为ABC外接圆半径）外接圆半径）222sin,sin,sinaRA bRB cRC222sin,sin,sinabcABCRRRsin:sin:sin:ABCa b cBCAabc思考：思考： 在在ABC中中,已知已知AB=2,BC=5,ABC的面积为的面积为4，ABC=，则，则sin= .45111 sinsinsin 222ABCSbcAcaBabC 三三角角形形面面积积公公式式：练习：练习：在在ABC中，中， ，求此，求此三角形的面积三角形的面积

2、333315,acC3 332或或2.利用正弦定理解三角形利用正弦定理解三角形题型一题型一:已知已知两角两角和和任意一边任意一边，求出其他两边和一角，求出其他两边和一角步骤：步骤：利用三角形内角和先求第三角，再用正弦定理求利用三角形内角和先求第三角，再用正弦定理求另外两边另外两边.题型二题型二:已知已知两边及其中一边对角两边及其中一边对角，求出其他一边和两角，求出其他一边和两角一、复习回顾一、复习回顾若已知若已知a、b、A的值，则解该三角形的步骤如下：的值，则解该三角形的步骤如下：（1）先利用）先利用 求出求出sinB，从而求出角，从而求出角B；（2）利用）利用A、B求出角求出角C=180o-

3、(A+B)；（3）再利用）再利用 求出边求出边c.sinsinabABsinsinacAC注意：求角注意：求角B时应注意时应注意检验！检验！ABCcab22|ABCBCA 22|2|cos|CBCB CACCA 2222coscaabCb 222CBCB CACA 依条件可知，依条件可知，|,|,CBa CAb ABCBCA 2222cos即 cababC同理可得同理可得2222222cos , 2cosabcbcAbacacB二、新课讲解二、新课讲解问题：问题：在在ABC中，中，a=8，b=3，C=60o，求，求c.如图，在如图，在ABC中，中，BC=a，AC=b，边，边BC与与AC的的夹角

4、夹角为为C，试求，试求AB边的长边的长c.题型三题型三:已知三角形的已知三角形的两条边及其夹角两条边及其夹角,求出另一边。求出另一边。 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即余弦定理：余弦定理：2222cosbacacB2222cosabcbcA2222coscababC注：利用余弦定理，可以从已知的注：利用余弦定理，可以从已知的两边及其夹角两边及其夹角求求出三角形的出三角形的第三条边第三条边二、新课讲解二、新课讲解例例1：在：在ABC中，已知中，已知b=60cm，c=34

5、cm，A=41o，解该三角形（角度精确到解该三角形（角度精确到1，边长精确到，边长精确到1cm）.解：解：a=b+c- -2bccosA =60+34- -26034cos41o1676.82 a41(cm)故由正弦定理可得故由正弦定理可得sin34sin41340.656sin0.5440.4141cACa=换ca， CA,故故C是锐角是锐角利用计算器可求得利用计算器可求得 C33B=180o- -(A+C) 180o- -(41o+33o)=106222cos0.8384.2abcCab+-=故由余弦定理可得故由余弦定理可得 三、例题讲解三、例题讲解 一般地，在一般地，在“知三边及一角知三

6、边及一角”要求剩下的两个要求剩下的两个角时，应先求角时，应先求最小的边最小的边所对的角所对的角.利用计算器可求得利用计算器可求得 C33B=180o- -(A+C) 180o- -(41o+33o)=106余弦定理的推论：余弦定理的推论：222222222cos2cos2cos2bcaAbcacbBacabcCab注注: 由上述推论由上述推论, 可以由三角形的可以由三角形的三条边三条边求出相应的求出相应的三个角三个角二、新课讲解二、新课讲解例例2.在在ABC中，已知中，已知a=134.6cm，b=87.8cm， c=161.7cm，解三角形（角度精确到，解三角形（角度精确到1）。）。解：解：2

7、2222287.8161.7134.6cos0.554322 87.8 161.7bcaAbcA5620222222134.6161.787.8cos0.839822 134.6 161.7cabBcaB3253180()180(56 2032 53)90 47CAB三、例题讲解三、例题讲解利用余弦定理及其推论，可以解决以下两类解三角形的利用余弦定理及其推论，可以解决以下两类解三角形的问题：（问题：（1）已知已知两边及其夹角两边及其夹角，求其它的边和角；，求其它的边和角； （2）已知）已知三边三边，求三个角，求三个角.练习：练习：在在ABC中中（1）已知）已知a= ，c=2，B=150o，求，

8、求b；（2）已知）已知a=2，b= ，c= ，求，求A.3 3231745o二、新课讲解二、新课讲解222222222222coscoscosbcaAbccabBcaabcCab余弦定理及其推论：余弦定理及其推论：2222cosbacacB2222cosabcbcA2222coscababC已知条件已知条件定理选用定理选用一般解法一般解法一边和二角一边和二角(如如a,B,C)正弦定理正弦定理由由A+B+C=180求角求角A,由正由正弦定理求出弦定理求出b与与c两边和夹角两边和夹角(如如a,b,C)余弦定理余弦定理由余弦定理求出第三边由余弦定理求出第三边c，再，再由正弦定理求出剩下的角由正弦定理求出剩下的角两边和其中两边和其中一边的对角一边的对角(如如a,b,A)正弦定理正弦定理由正弦定理求出角由正弦定理求出角B,再求角再求角C,最后求出最后求出 c边