自动控制原理第三章二阶系统的数学模型及单位阶跃响应

1、二、二阶系统的数学模型及单位阶跃响应二、二阶系统的数学模型及单位阶跃响应q定义：定义： 由二阶微分方程描述的系统称为二阶由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。系统。二阶系统数学模型二阶系统数学模型二阶系统的微分方程一般式为：二阶系统的微分方程一般式为：阻尼比无阻尼振荡频率无阻尼振荡频率 n 2222( )( )2( )( )nnnd c tdc tc tr tdtdt(0)n二阶系统的反馈结构图二阶系统的反馈结构图)2(2nnss )(sR)(sC2(2)nns s二阶系统的传递函数二阶系统的传递函数开环传递函数：开环传递函数：222( )( )2nnnC sR sss2( )(2)nnG s

2、s s闭环传递函数：闭环传递函数：二阶系统的特征方程为二阶系统的特征方程为2220nnss解方程求得特征根：当输入为阶跃信号时，则微分方程解的形式为：12012( )s ts tc tAAeA e式中 为由r(t)和初始条件确定的待定的系数。 012,AAAs1,s2完全取决于完全取决于 ， n两个参数。两个参数。21,21nns q此时此时s1,s2为为一对共轭复一对共轭复根，且位于根，且位于复平面的左复平面的左半部。半部。01特征根分析 （欠阻尼）21,21nnssj 典型二阶系统的暂态特性典型二阶系统的暂态特性特征根分析（过阻尼）q此时此时s1,s2为两个负为两个负实根，且实根，且位于复

3、平位于复平面的负实面的负实轴上。轴上。21,21nns 1特征根分析（临界阻尼）q此时此时s1,s2为为一对相等的一对相等的负实根。负实根。 s1=s2=- n21,21nnns 1特征根分析（无阻尼）q此时此时s1,s2为为一对纯虚根，一对纯虚根，位于虚轴上。位于虚轴上。qS1,2= j n21,21nnnsj 0特征根分析（负阻尼）q此时此时s1,s2为为一对实部为一对实部为正的共轭复正的共轭复根，位于复根，位于复平面的右半平面的右半部。部。21,21nnsj 10 特征根分析（负阻尼）q此时此时s1,s2为为两个正实根，两个正实根，且位于复平且位于复平面的正实轴面的正实轴上。上。21,2

4、1nns 1 二阶系统单位阶跃响应21111/nnsT 1. 过阻尼过阻尼 二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应22211/nnsT 21212111( )()()(1)(1)nC ss s s ssTsTss 取C(s)拉氏反变换得：1211211211( )1,(0)/1/1ttTTh teetTTT T (1)222( )( )2nnnC sR sss由得过阻尼系统单位阶跃响应t tc(t)c(t)0 0与一阶系统阶跃响应的比较t tc(t)c(t)0 0二阶过阻尼系统二阶过阻尼系统一阶系统响应一阶系统响应1 1过阻尼二阶系统分析 衰减项的幂指数的绝对值一个大，一个小。绝对衰减项

5、的幂指数的绝对值一个大，一个小。绝对值大的离虚轴远，衰减速度快，绝对值小的离虚值大的离虚轴远，衰减速度快，绝对值小的离虚轴近，衰减速度慢；（指数关系）轴近，衰减速度慢；（指数关系） 衰减项前的系数一个大，一个小；衰减项前的系数一个大，一个小； 二阶过阻尼系统的动态响应呈非周期性，没有振二阶过阻尼系统的动态响应呈非周期性，没有振荡和超调，但又不同于一阶系统；荡和超调，但又不同于一阶系统； 离虚轴近的极点所决定的分量对响应产生的影响离虚轴近的极点所决定的分量对响应产生的影响大，离虚轴远的极点所决定的分量对响应产生的大，离虚轴远的极点所决定的分量对响应产生的影响小，有时甚至可以忽略不计。影响小，有时

6、甚至可以忽略不计。t tc(t)c(t)0 01211211211( )1,(0)/1/1ttTTh teetTTT T 过阻尼二阶系统阶跃响应指标分析0. 2 响响应应没没有有振振荡荡 0)()(lim. 1 tctretss误误差差对于过阻尼二阶系统的响应指标，只着重讨论对于过阻尼二阶系统的响应指标，只着重讨论 ，它反映了系统响应过渡过程的长短，是系统响应快它反映了系统响应过渡过程的长短，是系统响应快速性的一个方面，但确定速性的一个方面，但确定 的表达式是很困难的，的表达式是很困难的，一般取相对量一般取相对量 及及 经计算机计算后制成曲线经计算机计算后制成曲线或表格。或表格。stst1/s

7、tT12/T Tt tc(t)c(t)0 02.欠阻尼欠阻尼 二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应(01)21,21nnsj dj 222( )( )2nnnC sR sssn为根的实部的模值；21dn为阻尼振荡角频率欠阻尼二阶系统欠阻尼二阶系统单位响应系统的输出单位响应系统的输出2221( )2nnnc ssss22221()()nnndndssss拉氏反变换得：拉氏反变换得：2( )1cos(sin)1ntddc tett 21( )1sin(arccos )1ntdc tet 欠阻尼二阶系统输出分析q二阶欠阻尼系统的单位阶跃响应由稳态分二阶欠阻尼系统的单位阶跃响应由稳态分量和暂态

8、分量组成。稳态分量值等于量和暂态分量组成。稳态分量值等于1，暂态分量为衰减过程，振荡频率为暂态分量为衰减过程，振荡频率为d。右图为二阶系统单位阶跃响应的通用曲线21( )1sin(arccos )1ntdc tet 根据右图分析系统的结构参数 、 对阶跃响应的影响n 平稳性（平稳性（ ）21nteA暂态分量的振幅为：结论：结论： 越大，越大，d越小，幅值也越小，响应的越小，幅值也越小，响应的振荡倾向越弱，超调越小，平稳性越好。反之，振荡倾向越弱，超调越小，平稳性越好。反之， 越小，越小， d 越大，振荡越严重，平稳性越差。越大，振荡越严重，平稳性越差。21dn振荡角频率为：当当 0时，为零阻尼

9、响应，具有频率为时，为零阻尼响应，具有频率为 的不衰减的不衰减（等幅）振荡。（等幅）振荡。n阻尼比和超调量的关系曲线21dn在在 一定的情况下，一定的情况下， 越大，振荡频率越大，振荡频率 也越也越高，响应平稳性也越差。高，响应平稳性也越差。nd结论：对于欠阻尼二阶系结论：对于欠阻尼二阶系统而言，统而言， 大，大， 小，系小，系统响应的平稳性好。统响应的平稳性好。n 快速性快速性从图中看出，对于5误差带，当 时，调节时间最短，即快速性最好。同时，其超调量5，平稳性也较好，故称 为最佳阻尼比。0.7070.707总结：总结： 越大，调节时间 越短；当 一定时， 越大，快速性越好。 nstn 稳态

10、精度稳态精度21( )1sin(arccos )1ntdh tet 从上式可看出，瞬态分量随时间t的增长衰减到零，而稳态分量等于1，因此，上述欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应稳态误差为零。补充说明：稳态分量（steady state component）即周期性激励作用于有损、线性和时不变的动态电路时，电路中所出现的与激励周期相同的响应分量。瞬态分量（transient component）周期性激励作用于有损、线性和时不变的动态电路时，从全响应中减去稳态分量的剩余部分。稳态分量就是时间趋向正无穷，也就是电路稳定时的量。瞬态分量就是开关打开或闭合后瞬时值。欠阻尼二阶系统单位阶跃响应性能指标1.上升

11、时间上升时间 ：令 ，则st( )1rh t211sin(arccos )11ntdet所以：arccosrdt根据极值定理有：根据极值定理有：0)( pttdttdc该项不可能为零该项不可能为零2sin1npt21n ptne0 2.峰值时间：峰值时间：pt2sin10npt21(0 1, 2)nptnn，取n=1得:21pdnt3.超调量：超调量：%将峰值时间 代入下式/pdt 21( )1sin(arccos )1ntdh tet 得: 22/ 1/ 1max2( )( )1sin(arccos )11peh th te 所以:2/ 1()( )%100%100%( )ph theh4.

12、调节时间调节时间st写出调节时间的表达式相当困难。在分析设计系统十，经常采用下列近似公式。当阻尼比 时0.83.5(snt取5误差带）4.5(snt取2误差带）二阶系统特征参数与暂态性能指标之间的关系 由阻尼比判断一个二阶系统的暂态品质：过阻尼时，单调线性，无超调，无振荡，时间长。小于等于零时，有等幅振荡或发散振荡，系统不稳。 一般欠阻尼工作。阻尼比过小，超调量大，振荡次数多，调节时间长，品质差。最大超调量只与阻尼比有关，由其来选择阻尼比。 调节时间与阻尼比和自然振荡角频率的乘机成反比。 阻尼比在0.4-0.8之间，此时超调量在1.5%-25% 三、 改善二阶系统响应的措施1.误差信号的比例微

13、分控制误差信号的比例微分控制 系统开环传函为：2(1)( )( )( )(2)ndnT sC sG sE ss s闭环传函为：2222(1)( )( )( )(2)ndndnnT sC ssR ssTs等效阻尼比：12ddnT可见，引入了比例微分控制，使系统的等效阻尼可见，引入了比例微分控制，使系统的等效阻尼比加大了，从而抑制了振荡，使超调减弱，可以改比加大了，从而抑制了振荡，使超调减弱，可以改善系统的平稳性。微分作用之所以能改善动态性能，善系统的平稳性。微分作用之所以能改善动态性能，因为它产生一种早期控制（或称为超前控制），能因为它产生一种早期控制（或称为超前控制），能在实际超调量出来之前，

14、就产生一个修正作用。在实际超调量出来之前，就产生一个修正作用。前面图的相应的等效结构由此知道：12( )( )( )c tc tc t2222(1)( )( )( )(2)ndndnnT sC ssR ssTs和 及 的大致形状如下1( )c t2( )c t( )c t一方面，增加 项，增大了等效阻尼比 ，使 曲线比较平稳。另一方面，它又使 加上了它的微分信号 ，加速了c(t)的响应速度，但同时削弱了等效阻尼比 的平稳作用。dTd1( )c t1( )c t2( )c td2222(1)( )( )( )(2)ndndnnT sC ssR ssTs12ddnT总结：引入误差信号的比例微分控制

15、，能否真正总结：引入误差信号的比例微分控制，能否真正改善二阶系统的响应特性，还需要适当选择微分时改善二阶系统的响应特性，还需要适当选择微分时间常数间常数 。若。若 大一些，使大一些，使 具有过阻尼的具有过阻尼的形式，而闭环零点的微分作用，将在保证响应特性形式，而闭环零点的微分作用，将在保证响应特性平稳的情况下，显著地提高系统的快速性。平稳的情况下，显著地提高系统的快速性。dTdT1( )c t2.输出量的速度反馈控制输出量的速度反馈控制将输出量的速度信号c(t)采用负反馈形式，反馈到输入端并与误差信号e(t)比较，构成一个内回路，称为速度反馈控制。如下图示。闭环传函为：2222( )( )(

16、)(2)nntnnC ssR ssKs等效阻尼比：12ttnK等效阻尼比增大了，振荡倾向和超调量减小，改善了系统的平稳性。3.比例微分控制和速度反馈控制比较比例微分控制和速度反馈控制比较从实现角度看，比例微分控制的线路结构比较简单，成本低；而速度反馈控制部件则较昂贵。从抗干扰来看，前者抗干扰能力较后者差。从控制性能看，两者均能改善系统的平稳性，在相同的阻尼比和自然频率下，采用速度反馈不足之处是其会使系统的开环增益下降，但又能使内回路中被包围部件的非线性特性、参数漂移等不利影响大大削弱。四、二阶系统举例四、二阶系统举例2 2q设位置随动系统，其结构图如图所示，当给定输入设位置随动系统，其结构图如

17、图所示，当给定输入为为单位阶跃单位阶跃时，试计算放大器增益时，试计算放大器增益KA200，1500，13.5时，输出位置响应特性的性能指标：峰值时间时，输出位置响应特性的性能指标：峰值时间tp，调节时间，调节时间ts和超调量和超调量，并分析比较之。，并分析比较之。)5 .34(5 ssKARC例题解析例题解析(1) 输入：单位阶跃输入：单位阶跃)(1)(ttr ssR1)( 闭环传递函数：闭环传递函数：AAKssKs55 .345)(2 )5 .34(5 ssKARC例题解析例题解析(2)当当KA 200时时10005 .341000)(2 sss 系统的闭环传递函数：系统的闭环传递函数：与标准的二阶系统传递函数对照得：与标准的二阶系统传递函数对照得：34.50.5452n20.121pdnt峰值时间：秒2113%e超调量： 3.00.17snt调节时间：秒6 .311000 n 1rad s例题解析例题解析(3)当当KA 1500时时75005 .3415005)(2 sss 系统的闭环传递函数：系统的闭环传递函数：与标准的二阶系统传递函数对照得：与标准的二阶系统传递函数对照得：6 .867500 n 34.50.22n20.03784.851pnt峰值时间：秒2152.7%e超调量： 3.00.17s