第四章 平差数学模型与最小二乘平差原理

1、第四章第四章平差数学模型与最小二乘原理平差数学模型与最小二乘原理第四章第四章 平差数学模型与平差数学模型与最小二乘平差原理最小二乘平差原理4-1 测量平差概述测量平差概述4-2 函数模型函数模型4-3 函数模型的线性化函数模型的线性化4-4 测量平差的数学模型测量平差的数学模型4-5 最小二乘原理最小二乘原理第四章第四章平差数学模型与最小二乘原理平差数学模型与最小二乘原理几何模型中包含多种“量”(真值)， 以平面三角形为例：(1)角度：三个内角A、B、C(2)边长：三条边长a、b、c(3)高：三边上的高ha、hb、hc(4)坐标：三点的平面坐标 Xa，Ya； Xb，Yb； Xc，Yc；(5)

2、方位角：TAB ；TBC ；TCA(6) 坐标差：XAB ，YAB ；(7) 面积、周长ABCabc4-1 测量平差概述测量平差概述第四章第四章平差数学模型与最小二乘原理平差数学模型与最小二乘原理确定一个几何模型，需确定其中的部分“量”(1) 形状 任意两个内角 (2个元素)(2) 形状与大小 2内角+1边长，2边长+ 1夹角，3边长 (3个元素)(3) 形状、大小与位置 2点坐标+(2边或1边1角) 1点坐标+ 1边方位角+(1边2角或2边1角或3边) 3点坐标 (6个元素)第四章第四章平差数学模型与最小二乘原理平差数学模型与最小二乘原理必要元素数的概念确定某个模型所必需的最少的元素个数，称

3、为必要元素数。记必要元素数的符号为t。第四章第四章平差数学模型与最小二乘原理平差数学模型与最小二乘原理必要元素数的性质必要元素的个数t只取决于模型模型本身所有的必要元素都是彼此函数独立函数独立的量模型中所有的量都是必要元素的函数一个模型中函数独立的量有且只有有且只有t个模型中作为必要元素的“量”不是唯一不是唯一的第四章第四章平差数学模型与最小二乘原理平差数学模型与最小二乘原理必要观测数：确定某个模型所必需的最少的观测值的个数，称为必要观测数。必要观测数用符号t表示。第四章第四章平差数学模型与最小二乘原理平差数学模型与最小二乘原理什么是测量平差？观测值中包含有“误差”对某“量”进行多次观测，多次

4、观测结果并不相等问：如果对该“量”只作一次观测，该观测值是否不含误差？此时观测值所含误差不能被发现，结果是不可靠的。为了保证观测结果的正确性必须对该“量”进行两次或两次以上的观测，使得误差通过观测值之间的差异表现出来，平差的一个主要任务就是“消除差异”，求出被观测量的最可靠结果。第四章第四章平差数学模型与最小二乘原理平差数学模型与最小二乘原理平差问题存在的条件总观测数用n表示：当nt时（P60三角形5个观测值示例） 可以确定多个模型 平差问题存在的条件是：nt第四章第四章平差数学模型与最小二乘原理平差数学模型与最小二乘原理 函数模型是描述观测量与未知量间的数学函数关系的模型，是确定客观实际的本

5、质或特征的模型 函数模型分为：线性和非线性两类4-2 函数模型函数模型第四章第四章平差数学模型与最小二乘原理平差数学模型与最小二乘原理 1. 条件平差的函数模型条件平差的函数模型11010rrnnrALA01110AALWWArrnnr非线性形式 01LFr或线性形式条件平差的缺点：有时待求量并非观测量，因而应用不便条件平差的缺点：有时待求量并非观测量，因而应用不便习题：习题：4.2.07(a,b)， 4.2.08第四章第四章平差数学模型与最小二乘原理平差数学模型与最小二乘原理 2. 间接平差的函数模型间接平差的函数模型111nttnndXBLdLlXBlttnnn111非线性形式 XFLn1

6、或线性形式习题：习题：4.2.10， 4.2.11第四章第四章平差数学模型与最小二乘原理平差数学模型与最小二乘原理 3. 附有参数的条件平差的函数模型附有参数的条件平差的函数模型非线性形式或线性形式110110ccuucnncAXBLA011110AALWWXBAccuucnnc01XLFc第四章第四章平差数学模型与最小二乘原理平差数学模型与最小二乘原理 4. 附有条件的间接平差的函数模型附有条件的间接平差的函数模型111nuunndXBL非线性形式 01111usunXXFL或线性形式dLlXBluunnn1111110ssuusWsXC采用何种平差方法要根据实际情况灵活选择采用何种平差方法

7、要根据实际情况灵活选择习题：习题：4.2.06第四章第四章平差数学模型与最小二乘原理平差数学模型与最小二乘原理1111unccXLFFxXX0取近似值 LL台劳级数展开，取至一次项xXFLFXLFxXLFFXLXL,00,00习题：习题：4.3.134-3 函数模型的线性化函数模型的线性化第四章第四章平差数学模型与最小二乘原理平差数学模型与最小二乘原理方程个数r (观测值改正数n；多余观测数r)1. 条件平差的数学模型条件平差的数学模型0AALW12020PQD1110rrnnrWVA4-4 测量平差的数学模型测量平差的数学模型第四章第四章平差数学模型与最小二乘原理平差数学模型与最小二乘原理方

8、程个数c=r+u (选定的未知参数u；多余观测数r)2. 附有参数的条件平差的数学模型附有参数的条件平差的数学模型00ABXALW12020PQD11110ccuucnncWxBVA第四章第四章平差数学模型与最小二乘原理平差数学模型与最小二乘原理3. 间接平差的数学模型间接平差的数学模型在实际计算中可以把观测量或待定量设为参数X选定个相互独立参数)(11tnXFL1011 nttnndXBL第四章第四章平差数学模型与最小二乘原理平差数学模型与最小二乘原理水准网间接平差示例T T 321：DCBHHHXXXX设参数AHXh11AHXh22323XXhAHXh34215XXh316XXh必要观测数

9、：3第四章第四章平差数学模型与最小二乘原理平差数学模型与最小二乘原理方程个数n (观测值改正数n；参数改正数t)12020PQD111 nttnnlxBVLdBXlo3. 间接平差的数学模型间接平差的数学模型第四章第四章平差数学模型与最小二乘原理平差数学模型与最小二乘原理方程个数n+s (观测值改正数n；未知参数u；独立参数改正数t；约束条件数s)111 nttnnlxBV0 11suusWxC4. 附有限制条件的间接平差的数学模型附有限制条件的间接平差的数学模型12020PQD第四章第四章平差数学模型与最小二乘原理平差数学模型与最小二乘原理12020PQD1110rrnnrWVA111 nttnnlxBV11110ccuucnncWxBVA111 nttnnlxBV0 11suusWxC条件平差条件平差间接平差间接平差附有参数的条件平差附有参数的条件平差附有条件的间接平差附有条件的间接平差12020PQD12020PQD12020PQD习题：习题：4.6.26