2022年-学年高中数学人教A版选修2-2学案：第二章2.3数学归纳法Word版含解析

1、精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -数学归纳法预习课本P92 95， 摸索并完成以下问题1 数学归纳法的概念是什么？适用范畴是什么？2 数学归纳法的证题步骤是什么？新知初探 1 数学归纳法的定义一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按以下步骤进行只要完成这两个步骤，就可以肯定命题对从n0 开头的全部正整数n 都成立这种证明方法叫做数学归纳法2 数学归纳法的框图表示精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 1 页，共 20 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - -

2、 -点睛 数学归纳法证题的三个关键点1 验证是基础数学归纳法的原理说明：第一个步骤是要找一个数n0，这个n0，就是我们要证明的命 题对象对应的最小自然数，这个自然数并不肯定都是“ 1” ，因此 “ 找准起点，奠基要稳” 是第一个关键点2 递推是关键数学归纳法的实质在于递推，所以从“k” 到“ k 1” 的过程中，要正确分析式子项数的变化关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n k 到 n k 1 时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项3 利用假设是核心在其次步证明 n k 1 成立时，肯定要利用归纳假设，即必需把归纳假设 “n k 时命题成立 ” 作为条件来导出 “ n k 1” ，在书写 f

3、k 1时，肯定要把包含 f k的式子写出来， 特别是 f k中的最终一项， 这是数学归纳法的核心 不用归纳假设的证明就不是数学归纳法小试身手 1判定 正确的打“”，错误的打“×”1 与正整数n 有关的数学命题的证明只能用数学归纳法2 数学归纳法的第一步n0 的初始值肯定为1.3 数学归纳法的两个步骤缺一不行答案： 1×2×3 2假如命题pn对全部正偶数n 都成立，就用数学归纳法证明时须先证n 成立答案： 23已知 f n 1711231*nn N，运算得f23， f4 2， f8 25， f16 3， 2f32 ，由此估计，当n 2 时，有 2精选名师 优秀名师

4、- - - - - - - - - -第 2 页，共 20 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -答案： f2n n 22用数学归纳法证明等式典例 用数学归纳法证明：2212n2nn 1*n1× 33× 52n 12n 122n 1N 121× 2证明 1 当 n 1 时， 1× 3 2×成立32 假设当 n kn N * 时等式成立，即有2212k2kk 1，1× 33× 52k 12k 122k 1就当 n k 1 时，122k22 k 121

5、× 3kk 13× 52k 12k 1k 122k 12k 3 k 1k 2， 22k 322k 12k 12k 3即当 n k 1 时等式也成立由1 2 可得对于任意的n N* 等式都成立用数学归纳法证明恒等式应留意的三点用数学归纳法证明恒等式时，一是弄清n 取第一个值n0 时等式两端项的情形；二是弄 清从 n k 到 n k1 等式两端增加了哪些项，削减了哪些项；三是证明n k 1 时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n k 1 证明目标的表达式变形活学活用 1求证： 1 1111 1 11n N * 2342n 12nn 1n 22n，证明： 1当 n

6、 1 时，左边 1 1 122右边1 1，左边右边112精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 3 页，共 20 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -2 假设 n kk N* 时等式成立，即11111 1 111 ， 2k就当 n k 1 时，2342k 12kk1k 211111 1112342k 12k2k 12k 21 k 11k 2 1 2k1 2k 112k 21k 21k 312k 112k 2.即当 n k 1 时，等式也成立综合 1， 2 可知，对一切n N* ，等式成立典例

7、已知 n N * ， n 2，用数学归纳法证明不等式求证： 1 12 1 13nn 1.1证明 1 当 n 3 时，左边 12立 1 ，右边3 1 2，左边右边，不等式成 32 假设当 n kkN * ， k 3时，不等式成立，即 1 1 1 1k 1.23k当 n k 1 时，1 1 1 1 11k 12 3kk1k 1k 1 1k 1k 2k 2.k 1k 2由于k 1k 2k 2k 1 1，所 以 1 1 1 1 1k 1 1.23kk 1所以当 n k 1 时，不等式也成立由1， 2 知对一切 nN * ， n 2，不等式恒成立 一 题 多 变 1 变条件，变设问将此题中所要证明的不等

8、式改为：111 1 5*n 1n 2n 3n 2， n N3n6，如何证明？精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 4 页，共 20 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -证明： 1当 n 2 时，111 34515 ，不等式成立662 假设当 n kk2， k N* 时，命题成立即11 1 5.k 1k 23k6就当n k 1 时，11 1 1111k 1 1k 1 23k3k 13k 23k 1k 11 1 1111 5 11115k 23k3k 13k 23k 3k 163k 13k 23

9、k 3k 163×11 563k 3k 1.所以当 n k 1 时，不等式也成立由1， 2 可知，原不等式对一切n 2， n N* 都成立2 变条件，变设问将此题中所要证明的不等式改为：11 311 5112n 12n 12n 2， n N*，如何证明？证明： 1当 n 2 时，左边 1 1 345.，右边32左边右边，所以原不等式成立2 假设当 n kk2， k N* 时不等式成立，即 1131 1511 2k 12k 12.就当 n k 1 时，左边1 131 15112k 1112k 1 2k 222k 1 1·2k 14k2k 22 8k 44k2 8k 322k

10、122k 122k 12k 3· 2k 122k 12k 1 12.所以，当n k 1 时不等式也成立由1和2 可知，对一切n 2， n N * 不等式都成立用数学归纳法证明不等式的四个关键 1验证第一个n 的值时，要留意n0 不肯定为1，如 n kk 为正整数 ，就 n0 k 1. 2证明不等式的其次步中，从n k 到 n k 1 的推导过程中，肯定要用到归纳假设，精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 5 页，共 20 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -不应用归纳假设的证明不是

11、数学归纳法，由于缺少归纳假设3用数学归纳法证明与n 有关的不等式一般有两种详细形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，对其次类形式往往要先对n 取前 n 个值的情形分别验证比较，以免显现判定失误，最终猜出从某个n 值开头都成立的结论，常用数学归纳法证明4用数学归纳法证明不等式的关键是由n k 时成立得nk 1 时成立， 主要方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等归纳 猜想 证明典例 考察以下各式2 2× 13× 4 4× 1× 34× 5× 6 8× 1× 3×5

12、5× 6× 7× 8 16× 1× 3× 5× 7你能做出什么一般性的猜想？能证明你的猜想吗？ 解 由 题 意 得 ， 2 2× 1,3× 4 4× 1× 3,4× 5× 6 8× 1× 3× 5,5× 6× 7× 8 16× 1× 3× 5× 7，·1·3·5· ·2n 1，猜想： n 1 n 2 n 32n 2n下

13、面利用数学归纳法进行证明： 证明： 1当 n 1 时，明显成立；·2 假设当 n k 时等式成立，即k 1 k 2 k 32k 2k 1·3·5· ·2k 1，那么当 n k 1 时，k 1 1 k 1 2 k 13 · ·2k 1 k 1k 2 · ·2k·2k1 ·2 2k·1·3·5· ·2k 12k 1 ·2 2k 1·1·3·5· ·2k 1 2k 1·1&

14、#183;3·5· ·2k 11所以当 n k 1 时等式成立依据 12 可知对任意正整数等式均成立1 “归纳 猜想 证明”的一般环节精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 6 页，共 20 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -2 “归纳 猜想 证明 ” 的主要题型 已知数列的递推公式，求通项或前n 项和 由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在 给出一些简洁的命题n1,2,3 ，猜想并证明对任意正整数n 都成立的一般性命题活学活用

15、数列 a中， a 1，a1a n 1an 2，求 a，a ，猜想 a的表达式，并n12 ，且4n 1n an n3 4n加以证明解： a21，且 an 141n 1ann an n 2，1 a3a22 a24 1， a 1742a3 3a32× 71110.2 43 7猜想： a 1n N * n3n 2下面用数学归纳法证明猜想正确1 当 n 1,2 易知猜想正确*2 假设当 n kk2， k N 时猜想正确，即 ak1.3k 2当 n k 1 时，ak 1k 1ak k akk 1 · 13k 21k 3k 2k 13k 23k2 2k 13k 2精选名师 优秀名师 -

16、- - - - - - - - -第 7 页，共 20 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -k 13k2 2k 1k 13k 1 k 113k 113k 1 2 n k 1 时猜想也正确由12 可知，猜想对任意n N* 都正确1设 Sk111层级一学业水平达标 1 ，就 Sk 1 为k 1A Sk12k 2k 2k 32kB Sk12k 112k 2C Sk11D Sk112k 12k 22k 22k 1解析： 选 C因式子右边各分数的分母是连续正整数，就由Sk11 1 ，k1k 22k得 S 11 1 11.k

17、1k 2k 32k2k 1112k 11由 ，得 Sk 1 Sk2k 12k 1k 11111 S 12k2 k 1.故 Sk 1k2k 12k 1.111*2利用数学归纳法证明不等式1 2 3 2n 1 nn 2， nN k 变到 nk 1 时，左边增加了A 1 项B k 项的过程中，由n2C k 1 项D 2k 项解析： 选 D当 n k 时，不等式左边的最终一项为k 1，而当 nk 1 时，最终一项为112 112k 12k 1 2k，并且不等式左边和式的分母的变化规律是每一项比前一项加1，故增加了2k 项3一个与正整数n 有关的命题，当n2 时命题成立，且由nk 时命题成立可以推精选名

18、师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 8 页，共 20 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -得 n k 2 时命题也成立，就A该命题对于n 2 的自然数n 都成立B该命题对于全部的正偶数都成立C该命题何时成立与k 取值无关 D以上答案都不对解析： 选 B由 n k 时命题成立可推出n k 2 时命题也成立，又n 2 时命题成立，依据逆推关系，该命题对于全部的正偶数都成立，应选B.4对于不等式n2 n n 1n N * ，某同学用数学归纳法的证明过程如下：1 当 n 1 时，2 1 1 1，不等式成

19、立12 假设当n kkN * 时，不等式成立，即k2 k k 1 ，就当n k 1 时，k 12 k 1k2 3k 2k2 3k 2 k 2k 22 k 1 1， n k 1 时，不等式成立，就上述证法 A过程全部正确B n 1 验得不正确C归纳假设不正确D从 n k 到 n k 1 的推理不正确解析： 选 D在 n k 1 时，没有应用n k 时的归纳假设，应选D. 5设 fn 5n 2× 3n 1 1n N* ，如 fn能被 mm N* 整除，就 m 的最大值为 A 2B 4C 8D 16解析： 选 Cf1 8， f2 32， f3 144 8× 18，猜想 m 的最大

20、值为8. 6用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n，总有 2n n3”时，验证第一步不等式成立所取的第一个值n0 最小应当是 解析： 210 1 024 103, 9 512 93， n最小应为10.20答案： 10111117用数学归纳法证明22 32n 12，假设 n k 时，不等式成立，就2n2当 n k 1 时，应推证的目标不等式是 解析： 观看不等式中分母的变化便知答案： 11111122 3222k1 k22k 38对任意n N*, 34n 2 a2n 1 都能被 14 整除，就最小的自然数a .解析： 当 n 1 时， 36 a3 能被 14 整除的数为a 3 或 5；当 a 3

21、 且 n 2 时， 310 35不能被 14 整除，故a 5.精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 9 页，共 20 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -答案： 59已知 n N* ，求证 1·22 2·32 2n 1 ·2n2 2n·2n 12 n n 14n 3证明： 1当 n 1 时，左边 4 18 14 1× 2× 7右边2 假设当 n kkN * ，k 1时成立，即1·22 2·32 2k 1 

22、3;2 k2 2k·2k 12 kk 14 k 3 就当 n k 1 时，1·22 2·32 2k 1 ·2k2 2k·2k 12 2k 1 ·2k 22 2k 2 ·2k 32 kk 14k 3 2k22 k 12k 2 2k 32 kk 14k 3 2k1 · 6k7 k 1 k 2 4 k 7 k 1 · k 1 14 k 1 3，即当 n k 1 时成立由12 可知，对一切n N * 结论成立10用数学归纳法证明1 n 1111 1* 22 3 2n nn N 2证明： 1当 n 1 时， 3 1

23、 1 3，命题成立222*k11112 假设当 n kkN就当 n k 1 时，时命题成立，即1 1 22 32k2 k，k 1111111kk12 2k 1 k 2 2k 2k 1 2 2 ·k213 k 22112.又 111111 kk11kkk 11 k2322 12 22 2 k 22· k 2 k 1， 2即 n k 1 时，命题成立由1和2 可知，命题对全部n N* 都成立层级二应试才能达标1.凸 n 边形有 fn条对角线，就凸n 1 边形对角线的条数fn 1为A fn n1B fn nC fn n1D fn n 2解析： 选 C增加一个顶点，就增加n 1 3

24、 条对角线，另外原先的一边也变成了对角线，故fn 1 fn 1 n 1 3 fn n 1.故应选 C.2设 fn 1111n N*，那么 fn 1 f n等于 233n 11A. 3n 2C.11B. 3n113n 1D. 1 113n 13n 23n3n 13n 2精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 10 页，共 20 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -解析： 选 Dfn 1 fn 1 11.3n3n 13n 23设平面内有k 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设k 条直线的

25、交点个数为 f k，就 fk 1与 fk的关系是 A fk 1 fk k 1 B fk 1 fk k 1 C fk 1 fk kD fk 1 fk k 2解析： 选 C当 nk 1 时，任取其中1 条直线记为l，就除 l 外的其他k 条直线的交点的个数为fk，由于已知任何两条直线不平行，所以直线l 必与平面内其他k 条直线都相交有 k 个交点 ；又由于任何三条直线不过同一点，所以上面的k 个交点两两不相同，且与平面内其他的fk个交点也两两不相同，从而n k 1 时交点的个数是fk k fk 14如命题Ann N* nkk N* 时命题成立，就有n k 1 时命题成立现知命题对 n n0n0 N

26、* 时命题成立，就有A命题对全部正整数都成立B命题对小于n0 的正整数不成立，对大于或等于n0 的正整数都成立C命题对小于n0 的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0 的正整数都成立 D以上说法都不正确解析： 选 C由题意知n n0 时命题成立能推出n n0 1 时命题成立， 由 n n0 1 时命题成立，又推出n n0 2 时命题也成立，所以对大于或等于n0 的正整数命题都成立，而对小于n0 的正整数命题是否成立不确定n 25用数学归纳法证明1 a a2 an 1 1 a1 an N* ， a 1，在验证n 1 成立时，左边所得的项为 解析： 当 n 1 时， n 1 2，所以左边 1

27、a a2.答案： 1 a a26用数学归纳法证明1 2 22 2n 1 2n 1n N* 的过程如下：当 n 1 时，左边 20 1，右边 21 1 1，等式成立假设 n kk 1，且 k N * 时，等式成立，即1 2 22 2k 1 2k 1.就当 n k 1 时， 1 2 22 2k 1 2k所以当 n k 1 时，等式也成立由知，对任意nN * ，等式成立上述证明中的错误是 1 2k11 2 2k 1 1，精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 11 页，共 20 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - -

28、 - - - -解析： 由证明过程知，在证从n k 到 n k 1 时，直接用的等比数列前n 项和公式，没有用上归纳假设，因此证明是错误的答案： 没有用归纳假设7平面内有nn N* 个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n 个圆把平面分成n2 n 2 部分证明： 1当 n 1 时， n2 n 2 2，即一个圆把平面分成两部分，故结论成立2 假设当 n kk1， k N* 时命题成立，即k 个圆把平面分成k2 k 2 部分就当 n k 1 时，这 k 1 个圆中的k 个圆把平面分成k2 k 2 个部分，第k 1 个圆被前 k 个圆分成2k 条弧，这2k 条弧中的每一

29、条把它所在的平面部分都分成两部分，这样共增加 2k 个部分，故k1 个圆把平面分成k2 k 2 2k k 12 k 1 2 部分， 即 n k 1 时命题也成立综上所述，对一切n N* ，命题都成立8已知某数列的第一项为1，并且对全部的自然数n 2，数列的前n 项之积为n2 .1 写出这个数列的前5 项；2 写出这个数列的通项公式并加以证明解： 1已知 a1 1，由题意，得a1 ·a2 22， a2 22 .32 a1·a2·a3 32， a3 2 .24252同理，可得a4 32， a5 42.因此这个数列的前5 项分别为1,4， 9， 16， 25.49162

30、 观看这个数列的前5 项，推测数列的通项公式应为：an 1n 1，n22n 2.n 1n2下面用数学归纳法证明当n 2 时， an 2.n 1222 当 n 2 时， a2 2 12 2，结论成立 假设当 n kk 2， k N * 时，结论成立，22.即 akk k 1 a1·a2· ·ak 1 k 12， a1·a2 · ·ak 1·ak·ak 1 k 12，精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 12 页，共 20 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 -

31、 - - - - - - - - - - -2 a k12 k 12k12k 12k 1k 1a1·a2· ·ak 1 ·akk 12·k2k2k 1 12.这就是说当n k 1 时，结论也成立依据 可知，当n2 时，这个数列的通项公式是22.an n n 1 这个数列的通项公式为an 1 n 1，2n n 12 n 2.时间：120 分钟满分： 150 分 一、挑选题 本大题共12 小题，每道题5 分，共 60 分在每道题给出的四个选项中，只有哪一项符合题目要求的1依据偶函数定义可推得“函数fx x2 在 R 上是偶函数”的推理过程是 A归纳

32、推理B类比推理C演绎推理D非以上答案解析： 选 C依据演绎推理的定义知，推理过程是演绎推理，应选C. 2自然数是整数，4 是自然数，所以4 是整数以上三段论推理 A正确B推理形式不正确C两个“自然数”概念不一样D“两个整数”概念不一样解析： 选 A三段论中的大前提、小前提及推理形式都是正确的3设 a， b， c 都是非零实数，就关于a， bc， ac， b 四个数，有以下说法：四个数可能都是正数；四个数可能都是负数；四个数中既有正数又有负数就说法中正确的个数有A 0B 1C 2D 3解析： 选 B可用反证法推出， 不正确，因此 正确4以下推理正确选项A把 ab c与 loga x y类比，就有

33、logax y logax logay B把 ab c与 sinx y类比，就有sinx y sin x sin yC把 ab c与 ax y 类比，就有ax y ax ayD把 a b c 与xyz 类比，就有 xyz xyz解析： 选 Dxyz xyz是乘法的结合律，正确精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 13 页，共 20 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -2fx 5已知 fx 1 fx 24， f1 1x N * ，猜想 fx的表达式为 2A fx 2x 2B fx x 112C

34、 fx x 1D fx 2x 1解析： 选 Bf22， f32， f4 2，猜想 fx2.2 13 14 1x 16求证：23>5.证明：由于23和5都是正数，所以为了证明23>5，只需证明 232>52 ，绽开得 5 26>5，即 26>0 ，此式明显成立，所以不等式23>5成立上述证明过程应用了A综合法B分析法C综合法、分析法协作使用D间接证法解析： 选 B证明过程中的“ 为了证明” ， “ 只需证明” 这样的语句是分析法所特有的，是分析法的证明模式.7已知 bn 为等比数列，b5 2，就b1b2b3b9 29 如an为等差数列，a5 2，就 an的类似

35、结论为A a1 a2a3a9 29B a1 a2 a9 29C a1 a2a9 2× 9D a1 a2 a9 2× 9解析： 选 D由等差数列性质，有a1 a9 a2 a82a5.易知 D 成立8如数列 an是等比数列，就数列an an 1 A肯定是等比数列B肯定是等差数列C可能是等比数列也可能是等差数列D肯定不是等比数列解析： 选 C设等比数列 an 的公比为q，就 an an 1 an1 q 当 q 1 时， an an 1肯定是等比数列；当 q 1 时， an an 1 0，此时为等差数列 9已知 a b c 0，就 ab bc ca 的值 A大于 0B小于 0精选名

36、师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 14 页，共 20 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -C不小于0D不大于0解析： 选 D法一： a b c 0， a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc 0， ab ac bc a2 b2 c22 0.法二： 令 c 0，如 b 0，就 ab bc ac 0，否就 a， b 异号， ab bc ac ab<0，排除 A 、B、C，选 D.10已知 1 2× 3 3× 32 4×33 n×3n 1 3n na b

37、 c 对一切 n N* 都成立，那么 a， b， c 的值为 11A a ， b c1B a bc2441C a 0， b c4D不存在这样的a，b， c解析： 选 A令 n 1,2,3，3a b c 1， 得 92a b c 7，273 a b c34.，所以 a12b c 1.411已知数列 an 的前 n 项和 Sn，且 a1 1，Sn n2ann N* ，可归纳猜想出Sn 的表达式为 A S 2n3n 1B S nn 1nn 12n 1C S D S 2nn 21S2411a3 323， a313336nn2n解析： 选 A由 a1 1，得 a1 a222a2， a2 ， ；又 a ，

38、S33 6；24又 111 a4 16a4，得 a41 ， S4 836由 S24105.682n.1 2， S2， S334， S4可以猜想Sn 5n112设函数fx定义如下表，数列xn满意 x0 5，且对任意的自然数均有xn 1 f xn ，就 x2 016 x12345A.1f x41B 2352精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 15 页，共 20 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -C 4D 5解析：选 Dx1 fx0 f5 2，x2 f2 1，x3 f1 4，x4 f 4 5，

39、x5 f5 2，数列 xn是周期为4 的数列，所以x2 016 x4 5，故应选 D.二、填空题 本大题共4 小题，每道题5 分，满分20 分把答案填在题中的横线上 13已知 x， y R，且 x y<2，就 x， y 中至多有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为 解析： “ 至多有一个大于1” 包括 “ 都不大于1 和有且仅有一个大于1” ，故其对立面为“ x， y 都大于 1”答案： x， y 都大于 114已知 a>0， b>0， m lgab2， n lga b2，就 m， n 的大小关系是 解析： ab>0.ab>0. a b 2ab>a b.

40、ab2>a b2.ab>ab.ab2>a b.lg2ab2>lgab 2.答案： m>n3223315已知2 2，3 ，4 4 3388154aa4，615就 a b . 6 b，a， b 均为正实数，由以上规律可估计出a， b 的值，b6，解析： 由题意归纳推理得6 aab 62 1bb 35， a 6. a b6 35 41.答案： 4116现有一个关于平面图形的命题：如图， 同一平面内有两个边长都是 a 的正方形， 其中一个的某顶点在另一个的中心，就这两个正方形重叠a2部分的面积恒为4 .类比到空间， 有两个棱长为a 的正方体， 其中一个的某顶点在另一个的中心，就这两个正方体重叠部分的体积恒为 a3解析： 解法的类比 特别化 ，易得两个正方体重叠部分的体积为8 .3答案： a8三、解答题 本大