指数函数与其性质基础

1、指数函数及其性质【学习目标】1.掌握指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性，明确指数函数的定义域；2.掌握指数函数图象：(1)能在基本性质的指导下，用列表描点法画出指数函数的图象，能从数形两方面认识指数函数的性质；(2)掌握底数对指数函数图象的影响；(3)从图象上体会指数增长与直线上升的区别3.学会利用指数函数单调性来比较大小，包括较为复杂的含字母讨论的类型；4.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习，培养观察、分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法；5.通过对指数函数的研究，要认识到数学的应用价值，更善于从现实生活中发现问题，解决问题【要点梳理】要点一、指数函数的概念：函数y=a

2、x(a0且a1)叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为R.要点诠释：（1）形式上的严格性：只有形如y=ax(a0且a1)的函数才是指数函数像，等函数都不是指数函数（2）为什么规定底数a大于零且不等于1：如果，则如果，则对于一些函数，比如，当时，在实数范围内函数值不存在如果，则是个常量，就没研究的必要了要点二、指数函数的图象及性质：y=ax0a1时图象图象性质定义域R，值域 （0，+）a0=1, 即x=0时，y=1，图象都经过(0，1)点ax=a，即x=1时，y等于底数a在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数x1x0时，0ax1x0时，0ax0时，ax1 既不是奇函数，也不是

3、偶函数要点诠释：（1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论。（2）当时，；当时。当时，的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快。当时，的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快。（3）指数函数与的图象关于轴对称。要点三、指数函数底数变化与图像分布规律（1） 则：0ba1dc又即：x(0,+)时， （底大幂大） x(,0)时，（2）特殊函数的图像：要点四、指数式大小比较方法(1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较.(2)中间量法(3)分类讨论法(4)比较法比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：若；当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断，或即可【典型例题】类型

4、一、指数函数的概念例1函数是指数函数，求的值【答案】2【解析】由是指数函数，可得解得，所以【总结升华】判断一个函数是否为指数函数：（1）切入点：利用指数函数的定义来判断；（2）关键点：一个函数是指数函数要求系数为1，底数是大于0且不等于1的常数，指数必须是自变量举一反三：【变式1】指出下列函数哪些是指数函数？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）【答案】（1）（5）（6）【解析】（1）（5）（6）为指数函数其中（6）=，符合指数函数的定义，而（2）中底数不是常数，而4不是变数；（3）是-1与指数函数的乘积；（4）中底数，所以不是指数函数类型二、函数的定义域、值域例2求下列函数的定义域、

5、值域.(1)；(2)y=4x-2x+1；(3)；(4)(a为大于1的常数)【答案】（1）R，(0，1)；（2）R )；（3）；（4）(-，-1)1，+) 1，a)(a，+)【解析】(1)函数的定义域为R (对一切xR，3x-1).，又 3x0， 1+3x1， ， 值域为(0，1).(2)定义域为R， 2x0， 即 x=-1时，y取最小值，同时y可以取一切大于的实数， 值域为).(3)要使函数有意义可得到不等式，即，又函数是增函数，所以，即，即，值域是.(4) 定义域为(-，-1)1，+)，又， 值域为1，a)(a，+).【总结升华】求值域时有时要用到函数单调性；第(3)小题中值域切记不要漏掉y

6、0的条件，第(4)小题中不能遗漏.举一反三：【变式1】求下列函数的定义域：(1) (2)(3) (4)【答案】（1）R；（2）；（3）；（4）a1时，；0a1时，；0a1时，外层函数y=au在上为增函数，内函数u=x2-2x在区间上为减函数，在区间上为增函数，故函数上为减函数，在区间上为增函数；当0a1时，外层函数y=au在上为减函数，内函数u=x2-2x在区间上为减函数，在区间上为增函数，故函数在区间上为增函数，在区间上为减函数.例4已知函数为R上的增函数，则实数a取值的范围是【思路点拨】由题意可得，由此解得a的范围【答案】2，3）【解析】由于函数为R上的增函数，可得 ，解得2a3，故答案为

7、2，3）【总结升华】本题是一个分段函数，主要考查函数的单调性的定义和性质例5判断下列各数的大小关系：(1)1.8a与1.8a+1； (2)(3)22.5，(2.5)0， (4)【思路点拨】利用指数函数的性质去比较大小。【答案】（1）1.8a1时，当0a1，所以函数y=1.8x为单调增函数，又因为aa+1，所以1.8a1时，当0a1， 所以y=1.3x在R上为增函数1.30.71.30=1， .【总结升华】在进行数的大小比较时，若底数相同，则可根据指数函数的性质得出结果，若底数不相同，则首先考虑能否化成同底数，然后根据指数函数的性质得出结果；不能化成同底数的，要考虑引进第三个数(如0，1等)分别

8、与之比较，从而得出结果.总之比较时要尽量转化成底的形式，根据指数函数单调性进行判断.例6. (分类讨论指数函数的单调性)化简：【思路点拨】先把被开方数变形成完全平方式的形式，然后对进行分类讨论，去掉绝对值。【解析】举一反三：【变式1】如果（，且），求的取值范围【答案】当时，；当时，【解析】（1）当时，由于，解得（2）当时，由于，解得综上所述，的取值范围是：当时，；当时，类型四、判断函数的奇偶性例7判断下列函数的奇偶性： (为奇函数)【答案】偶函数【解析】f(x)定义域关于原点对称(定义域关于原点对称，且f(x)的定义域是定义域除掉0这个元素)，令，则 g(x)为奇函数， 又 为奇函数， f(x

9、)为偶函数.【总结升华】求的奇偶性，可以先判断与的奇偶性，然后在根据奇奇=偶，偶偶=偶，奇偶=奇，得出的奇偶性举一反三：【变式1】判断函数的奇偶性：.【答案】偶函数【解析】定义域x|xR且x0，又， f(-x)=f(x)，则f(x)偶函数.类型五、指数函数的图象问题例8如图的曲线C1、C2、C3、C4是指数函数的图象，而，则图象C1、C2、C3、C4对应的函数的底数依次是_、_、_、_【答案】【解析】由底数变化引起指数函数图象的变化规律可知，C2的底数C1的底数C4的底数C3的底数【总结升华】利用底数与指数函数图象之间的关系可以快速地解答像本题这样的有关问题，同时还可以解决有关不同底的幂的大小比较的问题，因此我们必须熟练掌握这一性质，这一性质可简单地记作：在y轴的右边“底大图高”，在y轴的左边“底大图低”举一反三：【变式1】 设，cba且，则下列关系式中一定成立的是（ ）A B C D 【答案】D【解析】=故可作出的图象如图所示，由图可知，要使cba且f（c）f（a）f（b）成立，则有c0且a0，故必有，所以故选D【变式2】为了得到函数的图象，可以把函数的图象()A向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度B向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度C向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度D向右平移2个单位长度，再向下平移5个