点集拓扑学练习题

1、精选优质文档-倾情为你奉上点集拓扑学练习题一、单项选择题1、已知,下列集族中，（ ）是上的拓扑. 答案：2、设，下列集族中,（ ）是上的拓扑. 答案：3、已知,下列集族中，（ ）是上的拓扑. 答案：4、设，下列集族中,（ ）是上的拓扑. 答案：5、已知,下列集族中，（ ）是上的拓扑. 答案：6、设，下列集族中,（ ）是上的拓扑. 答案：7、已知，拓扑,则=（ ） 答案：8、 已知，拓扑,则=（ ） 答案：9、 已知，拓扑,则=（ ） 答案：10、已知，拓扑,则=（ ） 答案：11、已知，拓扑,则=（ ） 答案：12、已知，拓扑,则=（ ） 答案：13、设，拓扑,则的既开又闭的非空真子集的个数为

2、（ ） 1 2 3 4 答案：14、设，拓扑,则的既开又闭的非空真子集的个数为（ ） 1 2 3 4 答案：15、设，拓扑,则的既开又闭的非空真子集的个数为（ ） 0 1 2 3 答案：16、设，拓扑,则的既开又闭的子集的个数为（ ） 0 1 2 3 答案：17、设，拓扑,则的既开又闭的子集的个数为（ ） 1 2 3 4 答案：18、设，拓扑,则的既开又闭的非空真子集的个数为（ ） 1 2 3 4 答案：19、在实数空间中，有理数集的内部是（ ） Q R -Q R 答案：20、在实数空间中，有理数集的边界是（ ） Q R -Q R 答案：21、在实数空间中，整数集的内部是（ ） R-Z R 答

3、案：22、在实数空间中，整数集的边界是（ ） R-Z R 答案：23、在实数空间中，区间的边界是（ ） 答案：24、在实数空间中，区间的边界是（ ） 答案：25、在实数空间中，区间的内部是（ ） 答案：26、设是一个拓扑空间，A,B 是的子集,则下列关系中错误的是（ ） 答案: 27、设是一个拓扑空间，A,B 是的子集,则下列关系中正确的是（ ） 答案: 28、设是一个拓扑空间，A,B 是的子集,则下列关系中正确的是（ ） 答案: 29、已知是一个离散拓扑空间，A是的子集,则下列结论中正确的是（ ） 答案：30、已知是一个平庸拓扑空间，A是的子集,则下列结论中不正确的是（ ） 若,则 若,则

4、若A=,则 若, 则 答案：31、已知是一个平庸拓扑空间，A是的子集,则下列结论中正确的是（ ） 若,则 若,则 若A=,则 若,则 答案：32、设，令,则由产生的上的拓扑是（ ） ,c,d,c,d,a,b,c ,c,d,c,d ,c,a,b,c ,d,b,c,b,d,b,c,d 答案：33、设是至少含有两个元素的集合，, 是的拓扑，则（ ）是的基. 答案：34、 设,则下列的拓扑中（ ）以为子基. , ,a,a,c , ,a , ,a,b,a,b , 答案：35、离散空间的任一子集为( ) 开集 闭集 即开又闭 非开非闭答案：36、平庸空间的任一非空真子集为( ) 开集 闭集 即开又闭 非开

5、非闭答案：37、实数空间中的任一单点集是 ( ) 开集 闭集 既开又闭 非开非闭答案：38、实数空间R的子集A =1, ,则（ ） R A0 A 答案：39、在实数空间R中，下列集合是闭集的是（ ） 整数集 有理数集 无理数集 答案：40、在实数空间R中，下列集合是开集的是（ ） 整数集Z 有理数集 无理数集 整数集Z的补集答案： 41、已知上的拓扑,则点1的邻域个数是（） 1 2 3 4 答案：42、已知,则上的所有可能的拓扑有（） 1个 2个 3个 4个 答案： 43、已知=a,b,c,则上的含有个元素的拓扑有（）个 3 5 7 9 答案：44、设为拓扑空间,则下列叙述正确的为 ( ) 当

6、时, 当时,答案：45、在实数下限拓扑空间中，区间是（ ） 开集 闭集 既是开集又是闭集 非开非闭答案：46、设是一个拓扑空间，,且满足,则是（ ） 开集 闭集 既是开集又是闭集 非开非闭答案：47、设,是的拓扑，,则的子空间的拓扑为( ) 答案：48、设,是的拓扑，,则的子空间的拓扑为( ) 答案：49、设,是的拓扑，,则的子空间的拓扑为( ) 答案：50、设,是的拓扑，,则的子空间的拓扑为( ) 答案：51、设,是的拓扑，,则的子空间的拓扑为( ) 答案：52、设,是的拓扑，,则的子空间的拓扑为( ) 答案：53、设是实数空间，是整数集，则的子空间的拓扑为（ ） 答案： 54、设是拓扑空间

7、的积空间.是到的投射，则是（ ） 单射 连续的单射 满的连续闭映射 满的连续开映射 答案：55、设是拓扑空间的积空间.是到的投射，则是（ ） 单射 连续的单射 满的连续闭映射 满的连续开映射 答案：56、设是拓扑空间的积空间.是到的投射，则是（ ） 单射 连续的单射 满的连续闭映射 满的连续开映射 答案：57、设是拓扑空间的积空间.是到的投射，则是（ ） 单射 连续的单射 满的连续闭映射 满的连续开映射 答案：58、设是拓扑空间的积空间.是到的投射，则是（ ） 单射 连续的单射 满的连续闭映射 满的连续开映射 答案：59、设是拓扑空间的积空间.是到的投射，则是（ ） 单射 连续的单射 满的连续

8、闭映射 满的连续开映射 答案：60、设和是两个拓扑空间，是它们的积空间,，则有（ ） 答案：61、有理数集是实数空间的一个（ ） 不连通子集 连通子集 开集 以上都不对 答案：62、整数集是实数空间的一个（ ） 不连通子集 连通子集 开集 以上都不对 答案：63、无理数集是实数空间的一个（ ） 不连通子集 连通子集 开集 以上都不对 答案：64、设Y为拓扑空间X的连通子集,Z为X的子集,若, 则Z为( )不连通子集 连通子集 闭集 开集答案：65、设是平庸空间，则积空间是（） 离散空间 不一定是平庸空间 平庸空间 不连通空间答案：66、设是离散空间，则积空间是（） 离散空间 不一定是离散空间

9、平庸空间 连通空间答案：67、设是连通空间，则积空间是（） 离散空间 不一定是连通空间 平庸空间 连通空间答案：68、实数空间R中的连通子集E为( ) 开区间 闭区间 区间 以上都不对答案：69、实数空间R中的不少于两点的连通子集E为( ) 开区间 闭区间 区间 以上都不对 答案：70、实数空间R中的连通子集E为( ) 开区间 闭区间 区间 区间或一点 答案：71、下列叙述中正确的个数为（ ） （）单位圆周是连通的； （）是连通的 （）是连通的 （）和同胚 1 2 3 4答案：72、实数空间( ) 仅满足第一可数性公理 仅满足第二可数性公理 既满足第一又满足第二可数性公理 以上都不对答案：73

10、、整数集作为实数空间的子空间（ ） 仅满足第一可数性公理 仅满足第二可数性公理 既满足第一又满足第二可数性公理 以上都不对答案：74、有理数集作为实数空间的子空间（ ） 仅满足第一可数性公理 仅满足第二可数性公理 既满足第一又满足第二可数性公理 以上都不对答案：75、无理数集作为实数空间的子空间（ ） 仅满足第一可数性公理 仅满足第二可数性公理 既满足第一又满足第二可数性公理 以上都不对答案：76、正整数集作为实数空间的子空间（ ） 仅满足第一可数性公理 仅满足第二可数性公理 既满足第一又满足第二可数性公理 以上都不对答案：77、负整数集作为实数空间的子空间（ ） 仅满足第一可数性公理 仅满足

11、第二可数性公理 既满足第一又满足第二可数性公理 以上都不对答案：78、2维欧氏间空间（ ） 仅满足第一可数性公理 仅满足第二可数性公理 既满足第一又满足第二可数性公理 以上都不对答案：79、3维欧氏间空间（ ） 仅满足第一可数性公理 仅满足第二可数性公理 既满足第一又满足第二可数性公理 以上都不对答案：80、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ） 平庸性 连通性 离散性 第一可数性公理答案：81、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ） 第一可数性公理 连通性 第二可数性公理 平庸性答案：82、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ） 第一可数性公理 可分性 第二可数性公理 离散

12、性答案：83、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ） 平庸性 可分性 离散性 第二可数性公理答案：84、设是一个拓扑空间，若对于,均有,则是( ) 空间 空间 空间 以上都不对 答案：85、设，则是( ) 空间 空间 空间 以上都不对答案：86、设，则是( ) 空间 空间 空间 道路连通空间 答案：87、设，则是( ) 空间 空间 空间 以上都不对 答案：88、设，则是( ) 空间 空间 空间 以上都不对 答案：89、设，则是( ) 空间 空间 空间 以上都不对 答案：90、设，则是( ) 空间 空间 空间 以上都不对 答案：91、设，则是( )空间 空间 空间 以上都不对 答案：92、

13、设是一个拓扑空间，若的每一个单点集都是闭集，则是（ ）正则空间 正规空间 空间 空间 答案：93、设是一个拓扑空间，若的每一个有限子集都是闭集，则是（ ）正则空间 正规空间 空间 空间 答案：94、设是一个拓扑空间，若对及的每一个开邻域，都存在的一个开邻域,使得,则是（ ）正则空间 正规空间 空间 空间 答案：95、设是一个拓扑空间，若对的任何一个闭集及的每一个开邻域，都存在的一个开邻域,使得,则是（ ）正则空间 正规空间 空间 空间 答案：96、设，则是( )空间 空间 空间 正规空间 答案：97、设，则是( )空间 空间 空间 正规空间 答案：98、设，则是( )空间 空间 空间 正则空间

14、 答案：99、设，则是( )空间 正则空间 空间 正规空间 答案：100、设，则是( )空间 正则空间 空间 正规空间 答案：101、设，则是( )空间 正则空间 空间 正规空间 答案：102、若拓扑空间的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间 是一个（ ） 连通空间 道路连通空间 紧致空间 可分空间 答案：103、紧致空间中的每一个闭子集都是（ ） 连通子集 道路连通子集 紧致子集 以上都不对 答案：104、Hausdorff空间中的每一个紧致子集都是（ ） 连通子集 开集 闭集 以上都不对 答案：105、紧致的Hausdorff空间中的紧致子集是（ ） 连通子集 开集 闭集 以上都不

15、对答案：106、拓扑空间的任何一个有限子集都是（ ） 连通子集 紧致子集 非紧致子集 开集 答案：107、实数空间的子集是（ ） 连通子集 紧致子集 开集 非紧致子集 答案：108、实数空间的子集是（ ） 连通子集 紧致子集 开集 非紧致子集 答案：109、如果拓扑空间的每个紧致子集都是闭集，则是（ ） 空间 紧致空间 可数补空间 非紧致空间 答案：二、证明题1、设是从连通空间到拓扑空间的一个连续映射.则是的一个连通子集.证明：如果是的一个不连通子集，则存在的非空隔离子集使得 3分于是是的非空子集，并且：所以是的非空隔离子集 此外，这说明不连通，矛盾.从而是的一个连通子集. 8分2、设是拓扑空

16、间的一个连通子集, 证明: 如果和是的两个无交的开集使得,则或者,或者. 证明：因为是的开集，从而是子空间的开集.又因中，故 4分由于是的连通子集,则中必有一个是空集. 若,则;若,则 8分3、设是拓扑空间的一个连通子集, 证明: 如果和是的两个无交的闭集使得,则或者,或者. 证明：因为是的闭集，从而是子空间的闭集.又因中，故 4分由于是的连通子集,则中必有一个是空集. 若,则;若,则 8分4、设是拓扑空间的一个连通子集，满足，则也是的一个连通子集.证明：若是的一个不连通子集，则在中有非空的隔离子集 使得.因此 3分由于是连通的，所以或者,如果，由于，所以，因此 ,同理可证如果，则,均与假设矛

17、盾.故也 是的一个连通子集. 8分5、设是拓扑空间的连通子集构成的一个子集族.如果,则是的一个连通子集.证明：若是的一个不连通子集.则有非空的隔离子集使得 4分任意选取,不失一般性，设,对于每一个，由于连通，从而及,矛盾，所以是连通的. 8分6、设是拓扑空间的一个连通子集，是的一个既开又闭的集合.证明：如果,则.证明：若,则结论显然成立.下设,由于是的一个既开又闭的集合,从而是的子空间的一个既开又闭的子集 4分由于及连通，所以，故. 8分7、设A是连通空间X的非空真子集. 证明:A的边界.证明：若,由于,从而,故是的隔离子集 4分因为A是X的非空真子集,所以A和均非空,于是X不连通,与题设矛盾

18、.所以. 8分8、设X是一个含有不可数多个点的可数补空间.证明X不满足第一可数性公理. 证明：若满足第一可数公理，则在处,有一个可数的邻域基，设为V x ,因为X是可数补空间，因此对,是的一个开邻域，从而 ,使得. 于是, 4分由上面的讨论我们知道： 因为是一个不可数集，而是一个可数集，矛盾.从而X不满足第一可数性公理. 8分9、设X是一个含有不可数多个点的有限补空间.证明:X不满足第一可数性公理. 证明：若满足第一可数公理，则在处,有一个可数的邻域基，设为V x ,因为X是有限补空间，因此对,是的一个开邻域，从而 ,使得.于是, 4分由上面的讨论我们知道： 因为是一个不可数集，而是一个可数集

19、，矛盾.从而X不满足第一可数性公理. 8分10、设是两个拓扑空间，是一个满的连续开映射.满足第二可数性公理，证明：也满足第二可数性公理.证明：设满足第二可数性公理，是它的一个可数基.由于是一个开映射，是由中开集构成的一个可数族. 3分下面证明是的一个基.设是的任意开集，则是中的一个开集.因此存在,使得.由于是一个满射，所以有,从而是中某些元素的并，故是的一个基.这说明也满足第二可数性公理. 8分11、设是两个拓扑空间，是一个满的连续开映射.满足第一可数性公理，证明：也满足第一可数性公理.证明：对,由于是一个满射，所以存在,使得,由于满足第一可数性公理，故在点处存在一个可数邻域基，设为,又由于是

20、一个开映射，则是中点的一个可数邻域族. 3分下面证明是中点的一个邻域基.设是中点的任意邻域，则是中点的一个邻域.因此存在,使得.因此,从而是中点的一个邻域基.这说明也满足第一可数性公理. 8分12、是满足第二可数性公理空间X的一个不可数集。求证：A至少有一个凝聚点.证明：若没有凝聚点，则对任,一定存在的一个邻域，使得：,由于满足第二可数性公理，设是它的可数基，故一定存在一个,使得：, 更有A=x, 4分若令C= xA, B, ,则有C B ，从而C必可数.于是 A =.这样A就是可数集，这与题设A为不可数集相矛盾，故A至少有一个凝聚点. 8分13、证明满足第二可数性公理的空间中每一个由两两无交

21、的开集构成的集族都是可数族.证明：设是满足第二可数性公理的空间X中由两两无交的开集构成的集族, 由于满足第二可数性公理，设是X的可数基 3分对的每一个元素A ,因为是的基,存在使得.因为中的元素两两无交,从而中不同元素包含中的元素也不相同.因为可数, 故是可数族. 8分14、设是连续的一一对应，其中是紧致空间，是一个Hausdorff空间，证明是一个同胚映射.证明：要证明是一个同胚映射， 只需证明连续，进而只需证明是闭映射.设是的闭集，由是紧致空间，从而是的一个紧致子集，故是的一个紧致子集，4分由于是一个Hausdorff空间，因此是的一个闭集，从而是闭映射. 8分15、是拓扑空间的子空间，是

22、的紧致子集，证明是的紧致子集.证明：对于的由的开集构成的任一开覆盖A ，即A,这样，就有A =AY ,若令 , 就是由的开集构成的A的一个开覆盖，3分由于A是的紧致子集，必有有限的子覆盖,即 A=,从而A,于是就是A的由X的开集构成的开覆盖，且是A的一个子覆盖，故A为X的紧致子集. 8分33、是拓扑空间的子空间，若是的紧致子集，证明是的紧致子集.证明：对A的任意由的开集构成的开覆盖B，即A,由于是X的子空间，对每一个B,必存在X的开集，使得， 于是就是A的由X的开集构成的开覆盖，3分从而必有有限的子覆盖，即 ，当然有=，即 为A的由的开集构成的有限开覆盖，且为B的子覆盖。故A为的紧致子集. 8

23、分16、设是一个Hausdorff空间.如果是的一个不包含点的紧致子集，则点和紧致子集分别有开邻域使得.证明：设是的一个紧致子集，.对于每一个,由于是一个Hausdorff空间，故存在的一个开邻域和的一个开邻域使得. 4分集族显然是由中的开集构成的的一个覆盖，它有一个有限子覆盖，设为，令和,它们分别是点和的开邻域，且易知. 8分17、证明Hausdorff空间中的每一个紧致子集都是闭子集.证明：设是Hausdorff空间的一个紧致子集，设对于任意，有和的开邻域和使得， 4分从而，故，所以，即是一个闭集8分18、证明每一个紧致的Hausdorff空间都是正则空间证明：设是紧致的Hausdorff

24、空间的一个闭子集，是中不属于集合的任意一点，由于紧致空间中的闭子集是紧致的，所以是的一个紧致子集，4分从而点和分别有开邻域和使得，这说明是一个正则空间8分19、设是一个Hausdorff空间如果是的两个无交的紧致子集，则它们分别有开邻域和使得证明：设是的两个无交的紧致子集，对于，点和分别有开邻域使得，4分显然集族是紧致子集的一个覆盖，它由中的开集构成，由是一个紧致子集，所以它有一个有限子覆盖，设为，令，易知 8分20设是一个度量空间，定义为对任意 （1） 证明：也是度量空间。 （1） 证明：由已知为X中的度量，因此满足 1) 2) 3)三角不等式 而 因此显然有：1) 2) 3)下证三角不等式

25、 若不然，则存在，使 ，由的定义知，且，从而 ，故 ，从而有，这与为X中的度量矛盾，所以三角不等式 成立。由上知为X中的度量，从而为度量空间。21. 设，令，验证为的拓扑，并列举的所有可能拓扑。证明： 1）， 2）当，时有， 3）当，时有，由拓扑的定义即得 为X的拓扑。X的所有拓扑为 ，共四个。22证明：全体有理数构成的集合是一个可数集。证法一：。令，则可数，且，从而可数，同理可数，于是全体有理数构成的集合是一个可数集。23设和是两个集合，证明：（1）对于任意，(2) 是一个满射当且仅当 证明：(1)，则，有，而，故，有，因是映射，从而，于是，从而。(2)若是一个满射，则由(2)有，只要证。事

26、实上，则有，于是，从而，故，所以。若，下证是一个满射。事实上，因是任意的，取有，从而，有。故是一个满射。24设是一个正规空间，是的一个闭子空间，证明：也是一个正规空间。证明：设是子空间中的不相交闭集，由于是一个闭子空间，因此设是子空间中的不相交闭集，由于是正规空间，因此存在使得，且，从而，而是子空间中两个不相交的开集，从而是一个正规空间25设是一个度量空间，定义为对任意 证明：也是度量空间。 证明：由已知为X中的度量，因此满足 1) 2) 3)三角不等式 而 因此显然有：1) 2) 3)下证三角不等式 注意到在上是单调增加的，且由得 所以三角不等式 成立。由上知为X中的度量，从而为度量空间。26设为非空集合，证明：若，都是的拓扑，则也是的拓扑。证明 （1