202X届高考数学一轮复习第六章数列6.2等差数列课件文

1、6.2等差数列高考文数高考文数 (课标专用)考点一等差数列及其性质考点一等差数列及其性质五年高考A A组组 统一命题统一命题课标卷题组课标卷题组1.(2015课标,5,5分)设Sn是等差数列an的前n项和.若a1+a3+a5=3,则S5=()A.5B.7C.9D.11答案答案A解法一:an为等差数列,a1+a5=2a3,得3a3=3,则a3=1,S5=5a3=5,故选A.解法二:设an的公差为d.由已知有a1+a3+a5=a1+(a1+2d)+(a1+4d)=3a1+6d=3,则a1+2d=1.根据等差数列前n项和公式,有S5=5a1+d=5a1+10d=5(a1+2d)=51=5,所以S5=

2、5.155()2aa5 (5 1)22.(2017课标全国,17,12分)记Sn为等比数列an的前n项和.已知S2=2,S3=-6.(1)求an的通项公式;(2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.解析解析本题考查等差、等比数列.(1)设an的公比为q,由题设可得解得q=-2,a1=-2.故an的通项公式为an=(-2)n.(2)由(1)可得Sn=-+(-1)n.由于Sn+2+Sn+1=-+(-1)n=2=2Sn,故Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列.121(1)2,(1)6.aqaqq 1(1)1naqq23123n4332223nn122( 1)33nn 方法总结方法总结

3、等差、等比数列的常用公式:(1)等差数列:递推关系式:an+1-an=d(d为同一个常数),常用于等差数列的证明.通项公式:an=a1+(n-1)d.前n项和公式:Sn=na1+d.(2)等比数列:递推关系式:=q(q为同一个非零常数),常用于等比数列的证明.通项公式:an=a1qn-1.前n项和公式:Sn=(3)在证明a,b,c成等差数列或等比数列时,还可以利用等差中项:=b或等比中项:ac=b2来证明.1()2naa n(1)2n n1nnaa11(1),(1)(1).1nna qaqqq2ac3.(2016课标全国,17,12分)已知an是公差为3的等差数列,数列bn满足b1=1,b2=

4、,anbn+1+bn+1=nbn.(1)求an的通项公式;(2)求bn的前n项和.13解析解析(1)由已知,a1b2+b2=b1,b1=1,b2=,得a1=2,(3分)所以数列an是首项为2,公差为3的等差数列,则其通项公式为an=3n-1.(5分)(2)由(1)和anbn+1+bn+1=nbn得bn+1=,(7分)因此bn是首项为1,公比为的等比数列.(9分)记bn的前n项和为Sn,则Sn=-.(12分)133nb13113113n32112 3n思路分析思路分析(1)令n=1,可得a1=2,结合an是公差为3的等差数列,可得an的通项公式;(2)由(1)及题意可得数列bn是等比数列,代入公

5、式可求其前n项和.评析评析本题主要考查了等差数列及等比数列的定义,能准确写出an的表达式是关键.考点二等差数列的前考点二等差数列的前n n项和项和1.(2015课标,7,5分)已知an是公差为1的等差数列,Sn为an的前n项和.若S8=4S4,则a10=()A.B.C.10D.12172192答案答案B由S8=4S4得8a1+1=4,解得a1=,a10=a1+9d=,故选B.8 7214 3412a121922.(2019课标全国,14,5分)记Sn为等差数列an的前n项和.若a3=5,a7=13,则S10=.答案答案100解析解析本题考查等差数列的性质和前n项和公式,考查学生的运算求解能力,

6、考查数学运算的核心素养.设等差数列an的公差为d,则d=2,a1=a3-2d=5-4=1.S10=10+2=100.734aa135410 92失分警示失分警示对等差数列前n项和公式记忆不清,从而导致出错.3.(2019课标全国,18,12分)记Sn为等差数列an的前n项和.已知S9=-a5.(1)若a3=4,求an的通项公式;(2)若a10,求使得Snan的n的取值范围.解析解析本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式;考查学生对数列基础知识的掌握程度和应用能力,主要考查数学运算的核心素养.(1)设an的公差为d.由S9=-a5得a1+4d=0.由a3=4得a1+2d=4.于是a1=8,d=

7、-2.因此an的通项公式为an=10-2n.(2)由(1)得a1=-4d,故an=(n-5)d,Sn=.由a10知d0”是“S4+S62S5”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案答案C本题考查充分必要条件的判断,等差数列的概念,数列前n项和与通项的关系,考查运算求解能力.解法一:S4+S62S5等价于(S6-S5)+(S4-S5)0,等价于a6-a50,等价于d0.故选C.解法二:Sn=na1+n(n-1)d,S4+S6-2S5=4a1+6d+6a1+15d-2(5a1+10d)=d,即S4+S62S5等价于d0.故选C.122.(2018上海

8、,6,4分)记等差数列an的前n项和为Sn,若a3=0,a6+a7=14,则S7=.答案答案14解析解析解法一:设数列an的公差为d,则a6+a7=2a3+7d=14,又a3=0,d=2,a7=a3+4d=8,又a3=a1+2d,a1=-4,S7=14.解法二:设数列an的公差为d,则a6+a7=2a3+7d=14,又a3=0,d=2,a4=a3+d=2.S7=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=7a4=14.177()2aa7 ( 48)2 3.(2019北京,16,13分)设an是等差数列,a1=-10,且a2+10,a3+8,a4+6成等比数列.(1)求an的通项公式;(2)记an

9、的前n项和为Sn,求Sn的最小值.解析解析本题属等差、等比数列的综合运用,重在考查等差、等比数列的基础知识、基本运算,考查的学科素养为数学抽象与数学运算.(1)设an的公差为d.因为a1=-10,所以a2=-10+d,a3=-10+2d,a4=-10+3d.因为a2+10,a3+8,a4+6成等比数列,所以(a3+8)2=(a2+10)(a4+6).所以(-2+2d)2=d(-4+3d).解得d=2.所以an=a1+(n-1)d=2n-12.(2)由(1)知,an=2n-12.所以,当n7时,an0;当n6时,an0.所以,Sn的最小值为S6=-30.1.(2014课标,5,5分)等差数列an

10、的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则an的前n项和Sn=()A.n(n+1)B.n(n-1)C.D.(1)2n n(1)2n nC C组教师专用题组组教师专用题组答案答案Aa2,a4,a8成等比数列,=a2a8,即(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d),将d=2代入上式,解得a1=2,Sn=2n+=n(n+1),故选A.24a(1) 22n n2.(2015安徽,13,5分)已知数列an中,a1=1,an=an-1+(n2),则数列an的前9项和等于.12答案答案27解析解析由题意得an为等差数列,且公差d=,a1=1,S9=91+=27.129 82123.(2013课标,17

11、,12分)已知等差数列an的前n项和Sn满足S3=0,S5=-5.(1)求an的通项公式;(2)求数列的前n项和.21211nnaa解析解析(1)设an的公差为d,则Sn=na1+d.由已知可得解得a1=1,d=-1.故an的通项公式为an=2-n.(2)由(1)知=,从而数列的前n项和为-+-+-=.(1)2n n11330,5105.adad 21211nnaa1(32 )(12 )nn12112321nn21211nnaa1211111113123n121n12nn解题思路解题思路(1)由已知得方程组求出a1,d,再写出an的通项公式.(2)由(1)知=,显然属于裂项求和的类型,即通过变

12、形得=,进而求和.11330,5105,adad 21211nnaa1(32 )(12 )nn21211nnaa1(32 )(12 )nn12112321nn评析评析本题考查等差数列的通项公式及前n项和公式,考查了裂项求和的方法,考查了运算求解能力与方程思想.4.(2015北京,16,13分)已知等差数列an满足a1+a2=10,a4-a3=2.(1)求an的通项公式;(2)设等比数列bn满足b2=a3,b3=a7.问:b6与数列an的第几项相等?解析解析(1)设等差数列an的公差为d.因为a4-a3=2,所以d=2.又因为a1+a2=10,所以2a1+d=10,故a1=4.所以an=4+2(

13、n-1)=2n+2(n=1,2,).(2)设等比数列bn的公比为q.因为b2=a3=8,b3=a7=16,所以q=2,b1=4.所以b6=426-1=128.由128=2n+2得n=63.所以b6与数列an的第63项相等.5.(2015福建,17,12分)等差数列an中,a2=4,a4+a7=15.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=+n,求b1+b2+b3+b10的值.22na 解析解析(1)设等差数列an的公差为d.由已知得解得所以an=a1+(n-1)d=n+2.(2)由(1)可得bn=2n+n.所以b1+b2+b3+b10=(2+1)+(22+2)+(23+3)+(210+10)

14、=(2+22+23+210)+(1+2+3+10)=+=(211-2)+55=211+53=2101.1114,(3 )(6 )15,adadad13,1.ad102(12 )12(1 10) 102评析评析本小题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识,考查运算求解能力.考点一等差数列及其性质考点一等差数列及其性质三年模拟A A组组 20172019 20172019年高考模拟年高考模拟考点基础题组考点基础题组1.(2019广东六校第三次联考,3)等差数列an中,若a4+a6+a8+a10+a12=120,则a9-a11的值是()A.14B.15C.16D.1713答案答案C依题意,由

15、a4+a6+a8+a10+a12=120,得5a8=120,即a8=24,所以a9-a11=(3a9-a11)=(a9+a7+a11-a11)=(a9+a7)=a8=24=16,故选C.1313131323232.(2019江西红色七校第一次联考,3)已知数列an为等差数列,若a2+a6+a10=,则tan(a3+a9)的值为()A.0B.C.1D.2333答案答案D数列an为等差数列,a2+a6+a10=,3a6=,解得a6=.a3+a9=2a6=,tan(a3+a9)=tan=.故选D.2263333.(2017湖南娄底二模,4)已知数列an是首项为1,公差为d(dN*)的等差数列,若81

16、是该数列中的一项,则公差不可能是()A.2B.3C.4D.5答案答案B数列an是首项为1,公差为d(dN*)的等差数列,an=1+(n-1)d,81是该数列中的一项,81=1+(n-1)d,n=+1,d,nN*,d是80的因数,故d不可能是3.故选B.80d4.(2018广东第一次模拟,6)等差数列log3(2x),log3(3x),log3(4x+2),的第四项等于()A.3B.4C.log318D.log324答案答案Alog3(2x),log3(3x),log3(4x+2)成等差数列,log3(2x)+log3(4x+2)=2log3(3x),log32x(4x+2)=log3(3x)2

17、,解得x=4.等差数列的前三项为log38,log312,log318,公差d=log312-log38=log3,数列的第四项为log318+log3=log327=3.选A.22 (42)(3 ) ,20,420,30,xxxxxx32325.(2017安徽合肥二模,7)已知是等差数列,且a1=1,a4=4,则a10=()A.-B.-C.D.1na4554413134答案答案A设的公差为d,a1=1,a4=4,3d=-=-,即d=-,则=+9d=-,故a10=-,故选A.1na41a11a3414101a11a5445方法总结方法总结等差数列运算问题的通性通法:(1)等差数列运算问题的一般

18、求法是设出首项a1和公差d,然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解.(2)等差数列的通项公式及前n项和公式,共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想.6.(2019河南八所重点高中联盟“领军考试”第三次测评,7)已知an为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则a20等于()A.7B.3C.-1D.1答案答案D由an是等差数列及a1+a3+a5=105,得3a3=105,即a3=35,由an是等差数列及a2+a4+a6=99,得3a4=99,即a4=33,则公差d=a4-a3=-2,则a20=a3+(20-3)d=35-3

19、4=1,故选D.7.(2018福建厦门5月适应性考试,6)已知公差不为0的等差数列an满足=a1a4,Sn为数列an的前n项和,则的值为()A.-2B.-3C.2D.323a3253SSSS答案答案C公差d0的等差数列an满足=a1a4,(a1+2d)2=a1(a1+3d),化为a1=-4d.则=2.故选C.23a3253SSSS354aaa11227adad4287dddd考点二等差数列的前考点二等差数列的前n n项和项和1.(2019江西上饶第二次模拟考试,3)已知等差数列an,a10=10,其前10项和S10=70,则公差d=()A.-B.C.-D.29292323答案答案D因为S10=

20、70,所以a1=4,因为a10=a1+9d=10,所以d=,选D.11010()2aa110(10)2a 232.(2019河南名校联盟尖子生第六次联合调研,7)设等差数列an的前n项和为Sn,若a2+a7+a8+a13=,则tanS14=()A.-B.C.-D.221333333答案答案Dan是等差数列,且a2+a7+a8+a13=,a7+a8=,S14=7(a7+a8)=,tanS14=tan=.2212111414()2aa3333.(2019河北衡水中学二调,3)已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,a2=2,且对任意n1,nN*,满足Sn+1+Sn-1=2(Sn+1),则S10的值

21、为()A.90B.91C.96D.100答案答案B对任意n1,nN*,满足Sn+1+Sn-1=2(Sn+1),Sn+1-Sn=Sn-Sn-1+2,an+1-an=2.数列an在n2时是等差数列,公差为2.又a1=1,a2=2,S10=1+92+2=91.故选B.9 824.(2019湖南衡阳高中毕业班联考(二),4)等差数列an中,a1=2019,a2019=a2015-16,则数列an的前n项和Sn取得最大值时n的值为()A.504B.505C.506D.507答案答案B数列an为等差数列,a2019=a2015-16,数列an的公差d=-4,an=a1+(n-1)d=2023-4n,令an

22、0,得n.又nN*,Sn取最大值时n的值为505.故选B.202345.(2018安徽合肥第二次教学质量检测,5)中国古词中,有一道“八子分绵”的数学名题:“九百九十六斤绵,赠分八子作盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言”.题意是:把996斤绵分给8个儿子作盘缠,按照年龄从大到小的顺序依次分绵,年龄小的比年龄大的多17斤绵,那么第8个儿子分到的绵是()A.174斤B.184斤C.191斤D.201斤答案答案B用a1,a2,a8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵数,由题意得数列a1,a2,a8是公差为17的等差数列,且这8项的和为996,8a1+17=996,解得a1=65.a8=65+717

23、=184,即第8个儿子分到的绵是184斤.选B.8 726.(2019湖北黄冈八模,6)设等差数列an的前n项和为Sn,等差数列bn的前n项和为Tn,若=,则=()A.528B.529C.530D.531nnST2018134nn33ab答案答案D根据等差数列的性质:=得=531.故选D.nnab2121nnST33ab55ST2018 5 13 54 7.(2018湖南三湘名校教育联盟第三次联考,5)已知等差数列an的各项都为整数,且a1=-5,a3a4=-1,则|a1|+|a2|+|a10|=()A.70B.58C.51D.40答案答案B设等差数列an的公差为d,由各项都为整数得dZ,因为

24、a1=-5,所以a3a4=(-5+2d)(-5+3d)=-1,化简得6d2-25d+26=0,解得d=2或d=(舍去),所以an=2n-7,所以|a1|+|a2|+|a10|=5+3+1+1+3+13=9+=58.故选B.1367 (1 13)28.(2018河北唐山第二次模拟,7)设an是任意等差数列,它的前n项和、前2n项和与前4n项和分别为X,Y,Z,则下列等式中恒成立的是()A.2X+Z=3YB.4X+Z=4YC.2X+3Z=7YD.8X+Z=6Y答案答案D设数列an的前3n项的和为R,则由等差数列的性质得X,Y-X,R-Y,Z-R成等差数列,所以2(Y-X)=X+R-Y,解之得R=3

25、Y-3X,又因为2(R-Y)=Y-X+Z-R,把R=3Y-3X代入得8X+Z=6Y,故选D.9.(2019第一次(3月)全国大联考(新课标卷),14)记等差数列an的前n项和为Sn,若S2018=4036,S6=2S3+18,则a9=.答案答案-1999解析解析设等差数列an的公差为d,首项为a1,则解得故a9=a1+8d=-2015+16=-1999.1112018 201720184036,26 53 262318,22adadad12015,2,ad B B组组 2017201920172019年高考模拟年高考模拟专题综合题组专题综合题组(时间:40分钟分值:80分)一、选择题(每题5分

26、,共30分)1.(2019晋冀鲁豫名校期末联考,8)我国南北朝时期的著作张邱建算经有这样一个问题:今有十等人,每等一人,宫赐金以等次差降之,上三人先入,得金四斤,持出,下四人后入,得金三斤,持出,中间三人未到者,亦依等次更给,问各得金几何?则据你对数学史的研究与数学问题的理解可知,两个人所得金相差数额绝对值的最小值是()A.斤B.斤C.斤D.斤678739778111答案答案C设第n个人得金an斤,由题意可知an是等差数列,设公差为d,则有解得则两个人所得金相差数额绝对值的最小值是斤.故选C.1231789101334,4303,aaaadaaaaad137,267,78ad 778思路分析思

27、路分析由题意将原问题转化为等差数列问题,列方程组可得a1=,d=-,结合题意可确定两个人所得金相差数额绝对值的最小值.37267782.(2017河北石家庄一模,8)已知函数f(x)在(-1,+)上单调,且函数y=f(x-2)的图象关于直线x=1对称,若数列an是公差不为0的等差数列,且f(a50)=f(a51),则an的前100项的和为()A.-200B.-100C.0D.-50答案答案B由y=f(x-2)的图象关于直线x=1对称,可得y=f(x)的图象关于直线x=-1对称,由数列an是公差不为0的等差数列,且f(a50)=f(a51),函数f(x)在(-1,+)上单调,可得a50+a51=

28、-2,又由等差数列的性质得a1+a100=a50+a51=-2,则an的前100项的和为=-100,故选B.1100100()2aa3.(2019河北衡水中学高考押题(二),10)已知数列an是首项为1,公差为2的等差数列,数列bn满足+=,数列bn的前n项和为Sn,则S5的值为()A.-454B.-450C.-446D.-44211ab22ab33abnnab12n答案答案B数列an是首项为1,公差为2的等差数列,an=1+2(n-1)=2n-1.数列bn满足+=,n2时,+=,两式相减可得=-,可得bn=(1-2n)2n(n2).n=1时,=,解得b1=2,不符合上式,bn=S5=2-32

29、2-523-724-925=-450,故选B.11ab22ab33abnnab12n11ab22ab11nnab112nnnab12n112n11b122,1,(12 )2 ,2,nnnn易错警示易错警示对b1没有进行检验,直接用bn=(1-2n)2n去求,是造成错误的主要原因.4.(2018河南普通高中毕业班4月高考适应性考试,11)已知等差数列an的前n项和为Sn(nN*),且an=2n+,若数列Sn(n5,nN*)为递增数列,则实数的取值范围为()A.(-3,+)B.(-10,+)C.(-11,+)D.(-12,+)答案答案D在等差数列an中,由an=2n+,得a1=2+,d=2,Sn=

30、na1+d=n(2+)+=n2+(+1)n,其图象的对称轴方程为n=-,要使数列Sn在n|n5,nN*内为递增数列,则-12,故选D.(1)2n n2 (1)2n n1212112方法规律方法规律已知数列的单调性求解某个参数的取值范围,一般有两种方法:(1)利用数列的单调性构建不等式,然后将其转化为不等式的恒成立问题进行解决,也可通过分离参数将其转化为最值问题处理;(2)利用数列与函数之间的特殊关系,将数列的单调性转化为相应函数的单调性,利用函数的性质求解参数的取值范围,但要注意数列通项中n的取值范围.5.(2018华大新高考联盟4月教学质量检测,10)已知等差数列an的前n项和为Sn(nN*

31、),若是一个与n无关的常数,则该常数构成的集合为()A.2B.4C.2,4D.1,2,442nnSS答案答案C数列an是等差数列,S2n=2na1+d,S4n=4na1+d,=,由是一个与n无关的常数,得a1=或d=0,当a1=时,=4,当d=0时,=2,该常数构成的集合为2,4.选C.2 (21)2nn 4 (41)2nn 42nnSS114 (41)422 (21)22nnnadnnnad21218(42 )2(2)dnad ndnad n118(42 )2(2)dnaddnad42nnSS2d2d42nnSS118(42 )2(2)dnaddnad82dndn42nnSS118(42 )

32、2(2)dnaddnad1142aa思路分析思路分析先根据等差数列的前n项和公式计算出S2n与S4n,进而表示出,再结合题中的条件以及分式的特征可得答案.42nnSS6.(2017广东湛江一模,12)若等差数列an的前n项和Sn有最大值,且-1,那么使Sn取最小正值的项数n=()A.15B.17C.19D.211110aa答案答案C由于Sn有最大值,所以d0,因为-1,所以0a11,且a10+a110,所以S20=10(a1+a20)=10(a10+a11)0,又a1a2a100a11a12,所以S10S9S2S10,S10S11S190S20S21,又S19-S1=a2+a3+a19=9(a

33、10+a11)0,所以S19为最小正值,故选C.1110aa111010aaa思路分析思路分析Sn有最大值,所以d0,因为0a11,且a10+a110,再利用求和公式与数列的单调性即可得出结论.1110aa二、填空题(每题5分,共25分)7.(2018福建莆田教学质量检测(3月),15)已知数列an满足a1=1,an-an+1=2anan+1,则a6=.答案答案111解析解析将an-an+1=2anan+1两边同时除以anan+1可得-=2.所以是以=1为首项,2为公差的等差数列,所以=+52=11,即a6=.11na1na1na11a61a11a1118.(2018河南八校第一次测评,15)已知等差数列an中,a3=7,a9=19,Sn为数列an的前n项和,则的最小值为.101nnSa答案答案3解析解析a3=7,a9=19,d=2,an=a3+(n-3)d=7+2(n-3)=2n+1,Sn=n(n+2),因此