2722　相似三角形的性质 答案详解

1、27.2.2相似三角形的性质新知要点测评1.B解析:因为两个相似三角形的周长比为14,所以这两个三角形的相似比为14,故选B.2.A解析:因为ABCDEF,ABC与DEF的相似比为,所以ABC与DEF对应中线的比为,故选A.3.2解析:因为DEBC,所以ADEABC,因为ADE与ABC的周长之比为23,所以ADAB=23,因为AD=4,所以AB=6,所以DB=AB-AD=2.4.A解析:根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得SABCSDEF=14,故选A.5.B解析:因为点D,E分别为ABC的边AB,AC上的中点,所以DE为ABC的中位线,则DEBC,且DE=BC,所以ADEABC,DEB

2、C=12,所以ADE与ABC的面积之比为14.从而ADE的面积与四边形BCED的面积的比为13,故选B.6.解:因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB=CD,CDAB,BCAD,所以BEFAED,因为BEAB=,所以BEAE=,所以SBEFSAED=()2=425,因为BEF的面积为4,所以SAED=25,所以S四边形ABFD=SAED-SBEF=21,因为AB=CD,BEAB=,所以BECD=,因为ABCD,所以BEFCDF,所以SBEFSCDF=(BECD)2=()2=,所以SCDF=9,所以SABCD=S四边形ABFD+SCDF=21+9=30.课时层级训练基础巩固练【测控导航表】知识

3、点题号相似三角形对应线段及周长的比1,3,7,8相似三角形面积的比2,4,5,6,71.B解析:因为两个相似三角形的对应边长分别为9 cm和11 cm,所以两个相似三角形的相似比为911,所以两个相似三角形的周长比为911,设两个相似三角形的周长分别为9x,11x,由题意得11x-9x=20,解得x=10,则这两个三角形的周长分别为90 cm,110 cm,故选B.2.D解析:在ACD和BCA中,DAC=B,C=C,所以ACDBCA.所以SADCSBAC=ADAB2,因为AB=4,AD=2,所以SADCSABD+SADC=,因为ABD的面积为15,所以SACD=5.故选D.3.B解析:因为两相

4、似三角形的周长分别是36和12,所以相似比为31,因为周长较大的三角形的最大边为15,周长较小的三角形的最小边为3,所以周长较大的三角形的最小边为9,周长较小的三角形的最大边为5,所以周长较大的三角形的第三条边为12,周长较小的三角形的第三条边为4,所以两个三角形均为直角三角形,所以周长较大的三角形的面积为912=54,故选B.4.B解析:因为ABCD,所以OCDOEB,又因为E是AB的中点,所以2EB=AB=CD,所以SOEBSOCD=(BECD)2,即5m=()2,解得m=45,故选B.5.D解析:因为D,E分别是AB,AC的中点,所以DE是ABC的中位线,所以DEBC,DE=BC,所以A

5、DE=B,因为A=A,所以ADEABC,所以ADAB=AEAC,SADESABC=ADAB2=122=,综上选项A,B,C均不符合题意.故选D.6.9 cm2解析:因为D,E分别是AB,AC的中点,所以DEBC且DE=BC;所以ADEABC,所以SADESABC=DEBC2=,即SADE=SABC=12=3(cm2),所以S梯形DBCE=SABC-SADE=12-3=9(cm2).7.解:因为DEBC,所以ADEABC,所以DEBC=AEAC,因为AEEC=,所以AEAC=,所以DEBC=,因为DEBC,所以DOECOB,所以CDOECBOC=DEBC=,SDOESBOC=(DEBC)2=()

6、2=.8.(1)证明:因为四边形EFGH是正方形,所以EHBC,所以AEH=B,AHE=C,所以AEHABC.(2)解:如图设AD与EH交于点M.因为EFD=FEM=FDM=90,所以四边形EFDM是矩形,所以EF=DM,设正方形EFGH的边长为x,因为AEHABC,所以EHBC=AMAD,所以x40=30-x30,所以x=1207,所以正方形EFGH的边长为1207 cm,面积为14 40049 cm2.能力提升练9.A解析:分别作ADBC于点D,ADBC于点D,则ADB=ADB=90,所以B+BAD=90.又因为B+B=90,所以BAD=B,所以ABDBAD,所以SABDSBAD=AB2A

7、B2=259,所以SABD=259SBAD.因为AB=AC,AB=AC,所以B=C,B=C,所以C+C=90.同理,可得ACDCAD,所以SACDSCAD=AC2AC2=259,所以SACD=259SCAD.于是SABC=SABD+SACD=259SBAD+259SCAD=259SABC,所以SABCSABC=259,故选A.10.解:因为D,E分别是BC,AC的中点,所以DEAB,DE=AB,所以AGBDGE,所以SABGSDGE=(ABDE)2=22=4,所以SABG=4.因为AGE与GDE等高,所以SAGESGED=AGDG=ABDE=2.所以SAGE=2.同理可得SGBD=2,所以S四

8、边形ABDE=4+2+2+1=9.因为DEAB,所以EDCABC.设SABC=x,则xx-9=()2,得x=12,即SABC=12.27.2.3相似三角形应用举例新知要点测评1.A解析:由题意得BE=3 m,AB=20 m,EC=1 m,所以BC=4 m.因为太阳光线是平行的,所以ACDE,所以BDEBAC,所以BDBA=BEBC,即BD20=,解得BD=15 m,所以AD=5 m.故选A.2.7.8解析:根据题意得DG=9 m,DC=1.8 m,因为EFAG,所以DEFDAG,所以AGDG=EFDF,即AG9=3010-24510-2,解得AG=6 m,所以AB=AG+GB=AG+DC=6+

9、1.8=7.8(m).3.解:因为根据反射定律知FEB=FED,所以BEA=DEC,因为BAE=DCE=90,所以BAEDCE,所以ABDC=AEEC,因为CE=2.5 m,DC=1.5 m,AE=20 m,所以AB1.5=202.5,所以AB=12 m,所以教学楼AB的高为12 m.4.B解析:因为BCDE,所以ABCADE,所以BCDE=ABAD,即2440=ABAB+12,所以AB=18(m).故选B.5.解:因为ABDE,所以ABCDEC,所以ABDE=ACDC,即16DE=1015,所以DE=24(m).答:池塘的宽DE为24 m.6.解:在ABC与AMN中,ACAB=3054=,A

10、MAN=1 0001 800=,所以ACAB=AMAN,又因为A=A,所以ABCANM,所以BCMN=ACAM,即45MN=301 000,解得MN=1 500米,答:M,N两点之间的直线距离是1 500米.课时层级训练基础巩固练【测控导航表】知识点题号利用三角形相似测物高1,5,8,9,10利用三角形相似测距离及其他2,3,4,6,71.D解析:由题意得CDAB,所以CDAB=DEBE,因为AB=3.5 cm,BE=5 m=500 cm,DE=3 m=300 cm,所以CD3.5=300500,所以CD=2.1 cm,故选D.2.B解析:因为ABBC,CDBC,所以ABCD,所以BAECDE

11、,所以ABCD=BECE,因为BE=20 m,CE=10 m,CD=20 m,所以AB20=2010,解得AB=40 m.故选B.3.B解析:已知剪得的纸条中有一张是正方形,则正方形中平行于底边的边是4,所以根据相似三角形的性质可设从顶点C到这个正方形的距离为x cm,则420=x25,解得x=5,所以(25-5)4=5,所以是第5张.故选B.4.C解析:因为BCDE,所以ABCADE,所以ABAD=BCDE,即ABAB+20=7090,解得AB=70米.故选C.5.C解析: 如图,设BD是BC在地面的影子,树高AE为x,由题意得CBDEAD,又因为CBBD=10.8,CB=1.2,所以BD=

12、0.96,所以树在地面的实际影子长是0.96+2.6=3.56,所以x3.56=CBBD=10.8,所以x=4.45,即树高是4.45 m.故选C.6.30厘米解析:如图,因为ABCD,所以AOBCOD,设蜡烛与成像板之间的距离是x厘米.所以210=4x-10,解得x=30.所以蜡烛与成像板之间的距离是30厘米.7.0.72 m2解析:设阴影部分大圆半径为R,小圆半径为r,根据相似三角形对应边的比等于对应高的比,则有1.22R=3-13,0.42r=3-13,解得R=0.9,r=0.3,所以S阴=R2-r2=(R2-r2)=(0.92-0.32)=0.72 m2.8.10.1解析:过点A作AG

13、DE于点G,交CF于点H.由题意可得四边形ABCH,ABDG,CDGH都是矩形,ABCFDE.所以AHFAGE,所以AHAG=HFGE.由题意可得AH=BC=1 m,AG=BD=5 m,FH=FC-HC=FC-AB=3.3-1.6=1.7 m.所以=1.7GE,所以GE=8.5 m.所以ED=GE+DG=GE+AB=8.5+1.6=10.1(m).9.解:由题意知,设AH=x,BH=y,AHFCBF,AHGEDG,所以BFHF=CBAH,DGHG=DEAH,所以3y+3=1.5x,5y+30+5=1.5x,解得x=24(米).答:旗杆AH的高度为24米.10.解:因为AB,CD相交于点O,所以

14、AOC=BOD,因为OA=OC,所以OAC=OCA=(180-BOD),同理可证OBD=ODB=(180-BOD),所以OAC=OBD,所以ACBD,在RtOEM中,OM=OE2-EM2=30(cm),过点A作AHBD于点H,同理可证EFBD,所以ABH=OEM,则RtOEMRtABH,所以OEAB=OMAH,AH=OMABOE=3013634=120(cm),所以垂挂在衣架上的连衣裙总长度小于120 cm时,连衣裙才不会拖落到地面上.能力提升练11.D解析:在正方形ABCD中,取AB=2a,因为E,F分别是AD,BC的中点,所以AE=ED=BF=CF=AB=a.在RtDCF中,DF=CF2+

15、DC2=a2+(2a)2=5a,又因为FH=FD,所以CH=FH-CF=DF-CF=5a-a=(5-1)a,矩形ABFE宽与长之比为BFAB=a2a=12,矩形EFCD宽与长之比为CFEF=BFAB=12,矩形EFHG宽与长之比为EFFH=ABDF=25,矩形CDGH宽与长之比为CHGH=(5-1)a2a=5-12,矩形CDGH是黄金矩形.故选D.12.解:(1)因为PMBD,所以APMABD,所以APAB=PMBD,即APAB=1.69.6,所以AP=AB,因为NQAC,所以BNQBCA,所以BQBA=QNAC,即BQBA=1.69.6,所以BQ=AB,而AP+PQ+BQ=AB,所以AB+1

16、2+AB=AB,所以AB=18.答:两路灯的距离为18 m.(2)如图,他在路灯A下的影子为BF,因为BEAC,所以FBEFAC,所以BFAF=BEAC,即BFBF+18=1.69.6,解得BF=3.6.答:当他走到路灯B的底部时,他在路灯A下的影长是3.6 m.强化训练相似三角形(27.2)【测控导航表】知识点题号平行线分线段成比例定理及推论4,7,11相似三角形的判定与性质1,3,5,8,9,10,12,13,14相似三角形的应用2,61.C解析:因为有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形,所以有一个角等于60的两个等腰三角形相似,故A不符合题意;因为有一个底角等于30的等腰三角形必定是

17、顶角为120的等腰三角形,所以有一个底角等于30的两个等腰三角形相似,故B不符合题意;有一个锐角相等的两个等腰三角形不一定相似,例如以30为底角的等腰三角形和以30为顶角的等腰三角形,不相似.故C选项符合题意;有一个锐角相等的两个直角三角形相似,故D选项不符合题意.故选C.2.D解析:如图,由题意得,ACDABE,所以CDBE=CAAB,即1.5BE=11+3,解得BE=6,即树的高度为6米.故选D.3.D解析:因为四边形ABCD是矩形,所以A=D=90,因为BEF=90,所以AEB+FED=90;又因为ABE+AEB=90,所以FED=ABE,所以RtABERtDEF,和一定相似.故选D.4

18、.B解析:因为DEBC,EFAB,所以四边形BDEF是平行四边形,所以BF=DE,因为ADDB=12,所以ADAB=13,因为DEBC,所以DEBC=ADAB=13,即DE30=13,所以DE=10 cm,所以BF=10 cm.故FC的长为20 cm.故选B.5.B解析:因为DEAC,所以DOECOA,又SDOESCOA=125,所以DEAC=15,因为DEAC,所以BEBC=DEAC=15,所以BEEC=14,所以SBDE与SCDE的比是14,故选B.6.B解析:根据题意可得AB=1.5 m,BC=0.5 m,DC=4 m,ABCEDC,则ABED=BCDC,即1.5DE=0.54,计算得D

19、E=12.故选B.7.103解析:因为DEBC,所以AEAB=ADAC,因为CDAD=,所以ADAC=,即AEAB=,因为AB=15,所以AE=10,因为DFCE,所以AFAE=ADAC,即AF10=,解得AF=203,则EF=AE-AF=10-203=103.8.解析:因为ABC和AED均为等边三角形,所以C=ADE=B=60,BC=AC=12,因为ADB=DAC+C,ADB=ADE+BDF,所以BDF=CAD,所以DBFACD,所以BFCD=BDAC,即BF4=812,解得BF=.9.3解析:因为CPD=B,C=C,所以PCFBCP,因为CPD=A,D=D,所以APDPGD,因为CPD=A=B,APG=B+C,BFP=CPD+C,所以APG=BFP,所以APGBFP.则图中相似三角形有3对.10.4或6解析:如图1,当MNBC时,AMNABC,故AMAB=ANAC=MNBC,则39=MN12,解得MN=4,如图2,当ANM=B时,又因为A=A,所以ANMABC,所以AMAC=MNBC,即36=MN12,解得MN=6.所以MN=4或6.11.证明:因为GFBC,所以DFFC=DGBG,因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB=CD,ABCD,所以DMAB=DGBG,所以DFFC=DMCD.12.解:(1)ABE与ADF相似.理由如下:因为四边