1229一元二次不等式解法

1、 一元二次不等式解法一、知识梳理1“三个二次”的关系判别式b24ac000)的图象一元二次方程ax2bxc0 (a0)的根有两相异实根x1，x2(x10(a0)的解集x|xx2x|xx|xRax2bxc0)的解集x|x1 x0或(xa)(xb)0型不等式的解法不等式解集ab(xa)(xb)0x|xbx|xax|xa (xa)(xb)0x|axbx|bxa口诀：大于取两边，小于取中间二、例题讲解题型一一元二次不等式的求解命题点1不含参的不等式例1求不等式2x2x30的解集解化2x2x30，解方程2x2x30得x11，x2，不等式2x2x30的解集为(，1)(，)，即原不等式的解集为(，1)(，)

2、命题点2含参不等式例2解关于x的不等式：x2(a1)xa1时，x2(a1)xa0的解集为x|1xa，当a1时，x2(a1)xa0的解集为，当a1时，x2(a1)xa0的解集为x|ax1引申探究将原不等式改为ax2(a1)x10，求不等式的解集解若a0，原不等式等价于x11.若a0，解得x1.若a0，原不等式等价于(x)(x1)0.当a1时，1，(x)(x1)1时，1，解(x)(x1)0得x1；当0a1，解(x)(x1)0得1x.综上所述：当a0时，解集为x|x1；当a0时，解集为x|x1；当0a1时，解集为x|1x1时，解集为x|x1思维升华含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论(

3、1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集求不等式12x2axa2(aR)的解集解12x2axa2，12x2axa20，即(4xa)(3xa)0，令(4xa)(3xa)0，得：x1，x2.a0时，解集为；a0时，x20，解集为x|xR且x0；a0时，解集为.综上所述，当a0时，不等式的解集为；当a0时，不等式的解集为

4、x|xR且x0；当a0时，不等式的解集为.题型二一元二次不等式恒成立问题命题点1在R上恒成立例3(1)若一元二次不等式2kx2kx0，则a的取值范围是()A(0,4) B0,4)C(0，) D(，4)答案(1)D(2)B解析(1)2kx2kx0对一切实数x都成立，则必有解之得3k0，则必有或a0，0a4.命题点2在给定区间上恒成立例4设函数f(x)mx2mx1.若对于x1,3，f(x)m5恒成立，求m的取值范围解要使f(x)m5在x1,3上恒成立，即m2m60时，g(x)在1,3上是增函数，所以g(x)maxg(3)7m60，所以m，所以0m；当m0时，60恒成立；当m0时，g(x)在1,3上

5、是减函数，所以g(x)maxg(1)m60，所以m6，所以m0.综上所述：m的取值范围是m|m0，又因为m(x2x1)60，所以m.因为函数y在1,3上的最小值为，所以只需m即可所以，m的取值范围是.命题点3给定参数范围的恒成立问题例5对任意的k1,1，函数f(x)x2(k4)x42k的值恒大于零，则x的取值范围是_答案x|x3解析x2(k4)x42k0恒成立，即g(k)(x2)k(x24x4)0，在k1,1时恒成立只需g(1)0且g(1)0，即解之得x3.思维升华(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象

6、在给定的区间上全部在x轴下方另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数(1)若不等式x22x5a23a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为()A1,4 B(，25，)C(，14，) D2,5(2)已知函数f(x)x2mx1，若对于任意xm，m1，都有f(x)0成立，则实数m的取值范围是_答案(1)A(2)(，0)解析(1)x22x5(x1)24的最小值为4，所以x22x5a23a对任意实数x恒成立，只需a23a4，解得1a4.(2)作出二次函数f(x)的草图，对于任意xm，m1，

7、都有f(x)0，则有即解得m0.三、课堂练习1不等式(x1)(2x)0的解集为()Ax|1x2 Bx|x1或x2Cx|1x2 Dx|x2答案A解析由(x1)(2x)0可知(x2)(x1)0，所以不等式的解集为x|1x22已知函数f(x)则不等式f(x)x2的解集为()A1,1 B2,2C2,1 D1,2答案A解析方法一当x0时，x2x2，1x0；当x0时，x2x2，0x1.由得原不等式的解集为x|1x1方法二作出函数yf(x)和函数yx2的图象，如图，由图知f(x)x2的解集为1,13若集合Ax|ax2ax10，则实数a的取值范围是()Aa|0a4 Ba|0a4Ca|0a4 Da|0a4答案D

8、解析由题意知a0时，满足条件a0时，由得0a4，所以0a4.4已知不等式x22x30的解集为A，不等式x2x60的解集是B，不等式x2axb0的解集是AB，那么ab等于()A3 B1C1 D3答案A解析由题意，Ax|1x3，Bx|3x2，ABx|1x2，则不等式x2axb0的解集为x|1x0，不等式caxbc的解集是x|2x1，则abc等于()A123 B213C312 D321答案B解析caxb0，x.不等式的解集为x|2x1，abca213.6若不等式2x22axa1有唯一解，则a的值为()A. B.C. D.答案D解析若不等式2x22axa1有唯一解，则x22axa1有两个相等的实根，所以4a24(a1)0，解得a，所以选D.7若0a0的解集是_答案x|ax解析原不等式即(xa)(x)0，由0a1得a，ax.8已知关于x的不等式0的解集是，则实数a_.答案2解析0(x1)(ax1)0，依题意，得a1，f(2)，则实数a的取值范围是_答案(1，)解析f(x3)f(x)，f(2)f(13)f(1)f(1)1.10(3a2)(a1)