初等函数 三角函数

1、在y=secx中，以x的任一使secx有意义的值与它对应的y值作为(x，y)在直角坐标系中作出的图形叫正割函数的图像，也叫正割曲线 y=secx的性质： (1)定义域,x|x/2+k,kZ (2)值域,secx1即secx1或secx1; (3)y=secx是偶函数，即sec(x)=secx图像对称于y轴;   粗线是正割函数，细线是余割函数(4)y=secx是周期函数周期为2k(kZ，且k0)，最小正周期T=2 （5）正割与余弦互为倒数；余割与正弦互为倒数； （6）正割函数无限趋于直线x=/2+K； (7) 正割函数是无界函数； （8）正割函数的导数：（secx）=sec

2、x×tarx；（9）正割函数的不定积分：secxdx=lnsecx+tanx+C    函数y=tanx,x(-/2,/2)的反函数，记作y=arctanx，叫做反正切函数。反正切函数是反三角函数的一种。 同样，由于正切函数y=tanx在定义域上不具有一一对应的关系，所以不存在反函数。 注意这里选取是正切函数的一个单调区间。 1， 定义域：R 值域：(-/2,/2) 单调性：增函数 奇偶性：奇函数 周期性：不是周期函数2， arctan(x+y) <= arctanx + arctany = arctanTan(arctanx + arc

3、tany) = arctan(x+y)/(1-xy) 反正切函数的大致图像如图所示，显然与函数y=tanx,x(-/2,/2)关于直线y=x对称，且渐近线为y=/2和y=-/2反三角函数    为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在y=-/2y/2，将y为反正弦函数的主值，记为y=arcsin x；相应地，反余弦函数y=arccos x的主值限在0y；反正切函数y=arctan x的主值限在-/2<y</2；反余切函数y=arccot x的主值限在0<y<。 反三角函数实际上并不能叫做函数，因为它并不满足一个自变量对应

4、一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数y=x对称。其概念首先由欧拉提出，并且首先使用了arc+函数名的形式表示反三角函数，而不是f-1(x). （1）正弦函数y=sin x在-/2,/2上的反函数，叫做反正弦函数。arcsin x表示一个正弦值为x的角，该角的范围在-/2,/2区间内。 （2）余弦函数y=cos x在0,上的反函数，叫做反余弦函数。arccos x表示一个余弦值为x的角，该角的范围在0,区间内。 （3）正切函数y=tan x在(-/2,/2)上的反函数，叫做反正切函数。arctan x表示一个正切值为x的角，该角的范围在(-/2,/2)区间内。 反三角函数主要是三个： ya

5、rcsin(x)，定义域-1,1 ，值域-/2,/2图象用红色线条； y=arccos(x)，定义域-1,1 ， 值域0,，图象用蓝色线条； y=arctan(x)，定义域(-,+)，值域(-/2,/2)，图象用绿色线条； y=arccot(x)，定义域(-,+)，值域(0,)，图象用绿色线条； sin(arcsin x)=x,定义域-1,1,值域 -1,1 arcsin(-x)=-arcsinx 证明方法如下：设arcsin(x)=y,则sin(y)=x ,将这两个式子代入上式即可得 其他几个用类似方法可得 cos(arccos x)=x, arccos(-x)=-arccos x tan(

6、arctan x)=x, arctan(-x)=-arctanx 反三角函数其他公式 cos(arcsinx)=根号下1-x2 arcsin(-x)=-arcsinx arccos(-x)=-arccosx arctan(-x)=-arctanx arccot(-x)=-arccotx arcsinx+arccosx=/2=arctanx+arccotx sin(arcsinx)=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)=x 当 x-/2, /2 有arcsin(sinx)=x x0, arccos(cosx)=x x(-/2, /2), arctan(ta

7、nx)=x x(0, ), arccot(cotx)=x x>0, arctanx=/2-arctan1/x, arccotx类似 若 (arctanx+arctany)(-/2, /2), 则 arctanx+arctany=arctan(x+y/1-xy)百科名片  对数函数一般地，如果a（a大于0，且a不等于1）的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作log aN=b,读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。一般地，函数y=log(a)X,(其中a是常数，a>0且a不等于1）叫做对数函数 它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=

8、ay。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。目录展开    真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于等于零， 底数则要大于0且不为1 对数函数的底数为什么要大于0且不为1？ 【在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b的值的。但是，根据对数定义: logaa=1；如果a=1或=0那么logaa就可以等于一切实数（比如log1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：loga Mn = nloga M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 （比如，log(

9、-2) 4(-2) 就不等于(-2)*log(-2) 4；一个等于4，另一个等于-4）】 通常我们将以10为底的对数叫常用对数（common logarithm),并把log10N记为lgN。另外，在科学技术中常使用以无理数e=2.71828···为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数（natural logarithm),并且把loge N 记为In N. 根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系： 当a 0，a 1时，ax=NX=logaN。 由指数函数与对数函数的这个关系，可以得到关于对数的如下结论： 负数和零没有对数； loga 1=0 loga a=

10、1 (a为常数) 一般地，如果a（a0，且a1）的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作log(a)（N）=b,其中a叫做对数的底数，N叫做真数。 底数则要0且1 真数0 当a>0且a1时,M>0,N>0，那么： （1）log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); （2）log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N); （3）log(a)(Mn)=nlog(a)(M) （nR） （4）换底公式：log(A)M=log(b)M/log(b)A (b>0且b1） (5) a(log(b)n)=n(log(b)a) 证明： 设a=n

11、x 则a(log(b)n)=（nx）log(b)n=n（x·log(b)n）=nlog(b)（nx）=n(log(b)a) (6)对数恒等式：alog（a)N=N; log（a）ab=b （7）由幂的对数的运算性质可得(推导公式) 1.log(a)M(1/n)=(1/n)log(a)M , log(a)M(-1/n)=(-1/n)log(a)M 2.log(a)M(m/n)=(m/n)log(a)M , log(a)M(-m/n)=(-m/n)log(a)M 3.log(an)Mn=log(a)M , log(an)Mm=(m/n)log(a)M 4.log(以 n次根号下的a 为底

12、)(以 n次根号下的M 为真数)=log(a)M , log(以 n次根号下的a 为底)(以 m次根号下的M 为真数)=(n/m)log(a)M 5.log(a)b×log(b)c×log(c)a=1 对数与指数之间的关系当a>0且a1时,ax=N x=(a)N 右图给出对于不同大小a所表示的函数图形： 可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。 （1） 对数函数的定义域为大于0的实数集合。 （2） 对数函数的值域为全部实数集合。 （3） 函数图像总是通过（1，0）点。 （4） a大于1时，为单调增函数，并且上凸；a大

13、于0小于1时，函数为单调减函数，并且下凹。 （5） 显然对数函数无界。 对数函数的常用简略表达方式： （1）log(a)(b)=log(a)(b) （2）lg(b)=log(10)(b) （3）ln(b)=log(e)(b) 对数函数的运算性质： 如果a0，且a不等于1,M>0,N>0，那么： （1）log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); （2）log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N); （3）log(a)(Mn)=nlog(a)(M) （n属于R） （4）log(ak)(Mn)=(n/k)log(a)(M) （n属于R） 对数与指数之

14、间的关系 当a大于0,a不等于1时,a的X次方=N等价于log(a)N=x log(ak)(Mn)=(n/k)log(a)(M) （n属于R） 换底公式 （很重要） log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)= lnN/lna=lgN/lga ln 自然对数 以e为底 e为无限不循环小数lg 常用对数 以10为底 （1）常用对数:lg(b)=log(10)(b) （2）自然对数:ln(b)=log(e)(b) 对数函数的一般形式为 y=(a)x，它实际上就是指数函数的反函数(图象关于直线y=x对称的两函数互为反函数），可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定（a>0且

15、a1），同样适用于对数函数。 右图给出对于不同大小a所表示的函数图形： 可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。 定义域求解：对数函数y=loga x 的定义域是x x>0，但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解，除了要注意真数大于0以外，还应注意底数大于0且不等于1，如求函数y=logx（2x-1）的定义域，需满足x>0且x1 。 2x-1>0 ，x>1/2且x1，即其定义域为 x x>1/2且x1值域：实数集R 定点：函数图像恒过定点（1，0）。 单调性：a>1时，在定义域上为单调增函数，并且上凸； &

16、#160;   0<a<1时，在定义域上为单调减函数，并且下凹。 奇偶性：非奇非偶函数，或者称没有奇偶性。 周期性：不是周期函数 零点：x=1 注意：负数和0没有对数。 两句经典话：底真同对数正 底真异对数负  指数函数图像例子指数函数的一般形式为y=ax(a>0且1) (xR). 它是初等函数中的一种。它是定义在实数域上的单调、下凸、无上界的可微正值函数。指数函数是数学中重要的函数。应用到值 e 上的这个函数写为 exp(x)。还可以等价的写为 e，这里的 e 是数学常数，就是自然对数的底数，近似等于 2.718281828

17、，还称为欧拉数。 指数函数对于 x 的负数值非常平坦，对于 x 的正数值迅速攀升，在 x 等于 0 的时候等于 1。在x处的切线的斜率等于此处y的值乘上lna。即由导数知识：d（ax）/dx=ax*ln(a)。 作为实数变量 x 的函数，y=ex 的图像总是正的(在 x 轴之上)并递增(从左向右看)。它永不触及 x 轴，尽管它可以任意程度的靠近它(所以，x 轴是这个图像的水平渐近线。它的反函数是自然对数 ln(x)，它定义在所有正数 x 上。 有时，尤其是在科学中，术语指数函数更一般性的用于形如 kax 的   指数函数函数，这里的 a 叫做“底数”，是不等于 1 的任何正

18、实数。本文最初集中于带有底数为欧拉数 e 的指数函数。 指数函数的一般形式为y=ax(a>0且1) (xR)，从上面我们关于幂函数的讨论就可以知道，要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得 如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。 在函数y=ax中可以看到： （1） 指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0且不等于1，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑， 同时a等于函数无意义一般也不考虑。 （2） 指数函数的值域为大于0的实数集合。 （3） 函数图形都是下凸的。 （4） a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0，则为

19、单调递减的。 （5） 可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过   指数函数程中（当然不能等于0），函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。 （6） 函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,并且永不相交。 （7） 函数总是通过（0，1）这点,(若y=ax+b,则函数定过点(0,1+b) （8） 显然指数函数无界。 （9） 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。 （10）当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不

20、具有奇偶性。 （11）当指数函数中的自变量与因变量一一映射时，指数函数具有反函数。 对于任何一个有意义的指数函数： 在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。 在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。 即“上加下减，左加右减”  指数函数（1）由指数函数y=ax与直线x=1相交于点（1，a)可知：在y轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大。 （2）由指数函数y=ax与直线x=-1相交于点（-1，1/a）可知：在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小。 （3）指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为：在y轴右边“底大图高”

21、；在y轴左边“底大图低”。（如右图）。 比较大小常用方法：（1）比差（商）法：（2）函数单调性法；（3）中间值法：要比较A与B的大小，先找一个中间值C，再比较A与C、B与C的大小，由不等式的传递性得到A与B之间的大小。 比较两个幂的大小时，除了上述一般方法之外，还应注意： （1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断。 例如：y1=34,y2=35，因为3大于1所以函数单调递增（即x的值越大，对应的y值越大），因为5大于4，所以y2大于y1. （2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可   指数函数以利用指数函数图像的变化规律来判断。 例如：y1=1/24,y2=34,因为1/2小于1所以函数图像在定义域上单调递减；3大于1，所以函数图像在定义域上单调递增，在x=0是两个函数图像都过（0，1）然后随着x的增大，y1图像下降，而y2上升，在x等于4时，y2大于y1. （3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，则可以利用中间值来比较。如： <1> 对于三个（或三个以上）的数的大小比较，则应该先根据值的大小（特别是与0、1的大小）进行分组，再比较各组数的大小即可。 <2> 在比较两个