202X版高考数学大一轮复习第四章三角函数、解三角形4.7解三角形的实际应用课件理新人教A版

1、4.7解三角形的实际应用第四章三角函数、解三角形NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识 自主学习题型分类 深度剖析课时作业1基础知识 自主学习PART ONE实际测量中的常见问题知识梳理ZHISHISHULIZHISHISHULI求AB图形需要测量的元素解法求竖直高度底部可达ACB，BCa解直角三角形ABatan 底部不可达ACB，ADB，CDa解两个直角三角形AB求水平距离山两侧ACB，ACb，BCa用余弦定理AB河两岸ACB，ABC，CBa用正弦定理AB河对岸ADC，BDC，BCD，ACD，CDa在ADC中，AC ；在BDC中，BC ；在ABC中，应用余弦定理求AB在实际测量问题中有哪

2、几种常见类型，解决这些问题的基本思想是什么？提示实际测量中有高度、距离、角度等问题，基本思想是根据已知条件，构造三角形(建模)，利用正弦定理、余弦定理解决问题.【概念方法微思考】题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，的关系为180.()(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为 ()(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系.()(4)方位角大小的范围是0,2)，方向角大小的范围一般是 ()基础自测JICHUZICEJICHUZICE123456题组二教材改编2.如图所示，设A，B两点

3、在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出A，C的距离为50 m，ACB45，CAB105后，就可以计算出A，B两点的距离为_m.123456又B30，3.如图，在山脚A测得山顶P的仰角为30，沿倾斜角为15的斜坡向上走a米到B，在B处测得山顶P的仰角为60，则山高h_米.解析由题图可得PAQ30，BAQ15，在PAB中，PAB15，又PBC60，BPA(90)(90)30，123456题组三易错自纠4.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45，在D点测得塔顶A的仰角30，并测得水平面上的BCD120，CD40 m，则电视塔的高度为A.10 m B.20

4、 mC.20 m D.40 m123456在BCD中，由余弦定理得3x2x2402240 xcos 120，即x220 x8000，解得x20(舍去)或x40.故电视塔的高度为40 m.5.在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60，C点的俯角是70，则BAC_.130解析6070130.1234566.海上有A，B，C三个小岛，A，B相距5 海里，从A岛望C和B成45视角，从B岛望C和A成75视角，则B，C两岛间的距离是_海里.1234562题型分类深度剖析PART TWO题型一测量距离问题1.(2018营口检测)江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面

5、上，由炮台顶部测得俯角分别为45和60，而且两条船与炮台底部连线成30角，则两条船相距_m.解析如图，OMAOtan 4530(m)，自主演练自主演练2.如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，若测得CD km，ADBCDB30，ACD60，ACB45，则A，B两点间的距离为_ km.解析ADCADBCDB60，ACD60，DAC60，在BCD中，DBC45，在ABC中，由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcos 45解析由已知，得QABPABPAQ30.又PBAPBQ60，AQB30，ABBQ.又PB为公共边，PABPQ

6、B，PQPA.在RtPAB中，APABtan 60900，故PQ900，P，Q两点间的距离为900 m.3.如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300 m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得PAB90，PAQPBAPBQ60，则P，Q两点间的距离为_ m.900求距离问题的两个策略(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.思维升华例1(2018赤峰测试)如图，小明同学在山顶A处观

7、测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30，45，且BAC135，若山高AD100 m，汽车从B点到C点历时14 s，则这辆汽车的速度约为_ m/s.(精确到0.1，参考数据： )题型二测量高度问题师生共研师生共研22.6解析因为小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30，45，所以BAD60，CAD45，设这辆汽车的速度为v m/s，在ABC中，由余弦定理，得BC2AC2AB22ACABcosBAC，(1)高度也是两点之间的距离，其解法同测量水平面上两点间距离的方法是类似的，基本思想是把要求的高度(某线段的长度)纳入到一个可解的三角形中.

8、(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错.思维升华跟踪训练1如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为，在塔底C处测得A处的俯角为.已知铁塔BC部分的高为h，则山高CD_.解析由已知得BCA90，ABC90，BAC，CAD.题型三角度问题例2如图所示，一艘巡逻船由南向北行驶，在A处测得山顶P在北偏东15(BAC15)的方向，匀速向北航行20分钟后到达B处，测得山顶P位于北偏东60的方向，此时测得山顶P的仰角为60，已知山高为 千米.(1)船的航行速度是每小时多少千米？师生共研师生共研(

9、2)若该船继续航行10分钟到达D处，问此时山顶位于D处南偏东多少度的方向？所以，山顶位于D处南偏东45的方向.解决测量角度问题的注意事项(1)首先应明确方位角和方向角的含义.(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步.(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用.思维升华跟踪训练2(2018襄阳模拟)如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40，灯塔B在观察站南偏东60，则灯塔A在灯塔B的A.北偏东10 B.北偏西10C.南偏东80 D.南偏西80解析由条件及图可知，ACBA40，又BCD6

10、0，所以CBD30，所以DBA10，因此灯塔A在灯塔B的南偏西80.3课时作业PART THREE1.(2018沈阳调研)已知A，B两地间的距离为10 km，B，C两地间的距离为20 km，现测得ABC120，则A，C两地间的距离为解析如图所示，由余弦定理可得AC210040021020cos 120700，AC10 .基础保分练123456789101112131415162.如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45，若CD50 m，山坡对于地平面的坡度为，则cos 等于12345678910

11、1112131415163.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是解析如图所示，易知，在ABC中，AB20，CAB30，ACB45，123456789101112131415164.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为A.30 B.45 C.60 D.75又0CAD180，所以CAD45，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45.12345

12、6789101112131415165.(2018呼和浩特质检)如图所示，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得BCD15，BDC30，CD30，并在点C测得塔顶A的仰角为60，则塔高AB等于解析在BCD中，CBD1801530135.12345678910111213141516故选D.6.(2018丹东模拟)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于12345678910111213141516解析如图，ACD30，ABD75，AD60 m，12345678910111213141516

13、7.(2018乌海模拟)如图，某工程中要将一长为100 m，倾斜角为75的斜坡改造成倾斜角为30的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长_m.解析设坡底需加长x m，123456789101112131415168.如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援，则cos 的值为_.12345678910111213141516解析在ABC中，AB40，AC20，BAC120，由BAC120，知ACB为锐角，由ACB30，得cos cos(AC

14、B30)123456789101112131415169.(2018阜新模拟)一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60，另一灯塔在船的南偏西75，则这艘船的速度是每小时_海里.10解析如图所示，依题意有BAC60，BAD75，所以CADCDA15，从而CDCA10，在RtABC中，得AB5，1234567891011121314151610.(2018盘锦质检)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿DC

15、走到C用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为_米.12345678910111213141516解析如图，连接OC，在OCD中，OD100，CD150，CDO60.由余弦定理得OC2100215022100150cos 6017 500，解得OC .11.如图所示，经过村庄A有两条夹角为60的公路AB，AC，根据规划要在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N(异于村庄A)，要求PMPNMN2(单位：千米).记AMN.(1)将AN，AM用含的关系式表示出来；解AMN，在AMN中，由正弦定理，得12345678910111213141516(2)如

16、何设计(即AN，AM为多长时)，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离AP最大)?1234567891011121314151612345678910111213141516解AP2AM2MP22AMMPcosAMP当且仅当2150270，即60时，工厂产生的噪声对居民的影响最小，此时ANAM2千米.12.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上.(1)求渔船甲的速度；解依题意知，BAC120，AB12，AC10220，BCA.在A

17、BC中，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcosBAC12220221220cos 120784，解得BC28.12345678910111213141516(2)求sin 的值.12345678910111213141516解在ABC中，因为AB12，BAC120，BC28，BCA，13.如图，在水平地面上有两座直立的相距60 m的铁塔AA1和BB1.已知从塔AA1的底部看塔BB1顶部的仰角是从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的2倍，从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角，则从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的正切值为_；塔BB1的高为_ m.45技能提升练123456

18、78910111213141516解析设从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角为，则AA160tan ，BB160tan 2.从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角，12345678910111213141516AA1BB1900，3 600tan tan 2900，14.如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45方向600 km处的热带风暴中心正以20 km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450 km以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为_h.1512345678910111213141516解析记现在热带风暴中心的位置为点A，t小时后热带风暴中心到达B点位置，在OAB中，OA600，AB20t，OAB45，12345678910111213141516拓展