202X届高考数学一轮复习第七章不等式7.2基本不等式与不等式的综合应用课件

1、考点一基本不等式考点一基本不等式A A组自主命题组自主命题天津卷题组天津卷题组五年高考1.(2019天津理,13,5分)设x0,y0,x+2y=5,则的最小值为.(1)(21)xyxy答案答案43解析解析本题主要考查利用基本不等式求最值;通过不等式的应用考查学生推理论证能力及运算求解能力;体现了逻辑推理与数学运算的核心素养.x+2y=5,x0,y0,=2+2=4,当且仅当即或时,原式取得最小值4.(1)(21)xyxy221xyxyxy26xyxyxy6xy62 xyxy325,62,xyxyxy3,1xy2,32xy32.(2018天津理,13,5分)已知a,bR,且a-3b+6=0,则2a

2、+的最小值为.18b答案答案14解析解析本题主要考查运用基本不等式求最值.由已知,得2a+=2a+2-3b2=2=2=,当且仅当2a=2-3b时等号成立,由a=-3b,a-3b+6=0,得a=-3,b=1,故当a=-3,b=1时,2a+取得最小值.18b322ab32ab621418b14易错警示易错警示利用基本不等式求最值应注意的问题:(1)使用基本不等式求最值,易失误的原因是对其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视.要利用基本不等式求最值,这三个条件缺一不可.(2)在运用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件.3.(2017天津理,12

3、,5分)若a,bR,ab0,则的最小值为.4441abab答案答案4解析解析本题考查基本不等式的应用.a4+4b42a22b2=4a2b2(当且仅当a2=2b2时“=”成立),=4ab+,由于ab0,4ab+2=4当且仅当4ab=时“=”成立,故当且仅当时,的最小值为4.4441abab2241a bab1ab1ab14abab1ab222,14ababab4441abab规律方法规律方法利用基本不等式求最值,若需多次应用基本不等式,则要注意等号成立的条件必须一致.(2017天津理,8,5分)已知函数f(x)=设aR,若关于x的不等式f(x)在R上恒成立,则a的取值范围是()A.-2,2B.-

4、2,2C.-2,2D.-2,2| 2,1,2,1.xxxxx2xa3333考点二不等式的综合应用考点二不等式的综合应用答案答案A令g(x)=,当a0时,如图1所示,若f(x)g(x)恒成立,则g(0)2,得a-2,-2a0;图1当a0时,如图2所示,x1时,f(x)=x+,2xa2x则f(x)=1-,由f(x)=,得x=2,此时f(2)=3,即点B(2,3),则g(2)=+a3,得a2,00,b0)过点(1,1),则a+b的最小值等于()A.2B.3C.4D.5xayb答案答案C将(1,1)代入直线+=1,得+=1,又a0,b0,故a+b=(a+b)=2+2+2=4,等号当且仅当a=b时取到,

5、故选C.xayb1a1b11abbaab解题思路解题思路把点代入直线方程,问题可转化为已知+=1,求a+b的最小值问题.1a1b2.(2015湖南文,7,5分)若实数a,b满足+=,则ab的最小值为()A.B.2C.2D.41a2bab22答案答案C依题意知a0,b0,则+2=,当且仅当=,即b=2a时,“=”成立.因为+=,所以,即ab2,所以ab的最小值为2,故选C.1a2b2ab2 2ab1a2b1a2babab2 2ab223.(2019上海,7,5分)若x,yR+,且+2y=3,则的最大值为.1xyx答案答案98解析解析本题主要考查函数的最值,考查学生的逻辑推理能力及运算求解能力.x

6、,yR+,则3=+2y2,即,当且仅当=2y=,即x=,y=时,取最大值,为.1x12yx2yx94yx981x322334yx98一题多解一题多解x0,=3-2y,3-2y0,y0,0y0,b0)过点(1,2),则2a+b的最小值为.xayb答案答案8解析解析由题设可得+=1,a0,b0,2a+b=(2a+b)=2+24+2=8.故2a+b的最小值为8.1a2b12abba4ab4baab4,2,babaab当且仅当即时 等号成立5.(2015山东文,14,5分)定义运算“ ”:x y=(x,yR,xy0).当x0,y0时,x y+(2y) x的最小值为.22xyxy答案答案2解析解析x y

7、+(2y) x=+=+,x0,y0,+2=,当且仅当=,即x=y时等号成立,故所求最小值为.22xyxy2242yxyx22222242xyyxxy2222xyxy2xyyx2xyyx1222xyyx22考点二不等式的综合应用考点二不等式的综合应用1.(2018江苏,13,5分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,ABC=120,ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为.答案答案9解析解析依题意画出图形,如图所示.易知SABD+SBCD=SABC,即csin60+asin60=acsin120,a+c=ac,+=1,4a+c=(4a+c)=5+9,当且仅当=,

8、即a=,c=3时取“=”.1212121a1c11acca4acca4ac322.(2017江苏,10,5分)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是.答案答案30解析解析本题考查基本不等式及其应用.设总费用为y万元,则y=6+4x=4240.当且仅当x=,即x=30时,等号成立.600 x900 xx900 x易错警示易错警示1.a+b2(a0,b0)中“=”成立的条件是a=b.ab2.本题是求取最值时变量x的值,不要混同于求最值.3.(2019江苏,10,5分)在平面直角坐标系xOy中,P是

9、曲线y=x+(x0)上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是.4x答案答案4解析解析本题通过曲线y=x+(x0)上的动点到直线的最小距离考查点到直线的距离公式、基本不等式等有关知识,利用点到直线的距离公式变形考查学生的运算求解能力,体现了从几何关系到代数关系的直观想象和数学运算的核心素养.设P,x00,则点P到直线x+y=0的距离d=4,当且仅当x0=,即x0=时取“=”.故点P到直线x+y=0的距离的最小值是4.4x0004,x xx00042xxx2002xx02x2一题多解一题多解当点P到直线x+y=0的距离最小时,在点P处的切线与直线x+y=0平行.设P,x00,易知y=1

10、-,令1-=-1,得=2.x00,x0=,P(,3).此时点P到直线x+y=0的距离为=4.故点P到直线x+y=0的距离的最小值是4.0004,x xx24x204x20 x222|23 2 |2C C组教师专用题组组教师专用题组考点一基本不等式考点一基本不等式1.(2015重庆文,14,5分)设a,b0,a+b=5,则+的最大值为.1a 3b答案答案32解析解析设=m,=n,则m,n均大于零,因为m2+n22mn,所以2(m2+n2)(m+n)2,所以m+n,所以+=3,当且仅当=,即a=,b=时“=”成立,所以所求最大值为3.1a 3b222mn1a 3b213ab 21a 3b72322

11、2.(2014辽宁理,16,5分)对于c0,当非零实数a,b满足4a2-2ab+b2-c=0且使|2a+b|最大时,+的最小值为.1a2b4c答案答案-1解析解析由题意得c=4a2+b2-2ab=(2a+b)2-6ab.2ab,当且仅当2a=b时取“=”,-6ab-3,c=(2a+b)2-6ab(2a+b)2-3,即c,|2a+b|2,当且仅当2a=b时,|2a+b|有最大值2,此时|2a+2a|=2,c=4a2,+=+=+=-1-1,+的最小值为-1.222ab222ab222ab2(2)4abccc1a2b4c1a22a244a2a21a211a1a2b4c评析评析本题考查基本不等式及函数

12、思想的应用,考查了分析问题、解决问题的能力和运算求解能力.灵活运用基本不等式是求解的关键.1.(2015福建文,12,5分)“对任意x,ksinxcosxx”是“k1”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件0,2考点二不等式的综合应用考点二不等式的综合应用答案答案B设f(x)=ksinxcosx=sin2x,g(x)=x,对任意x,ksinxcosxx等价于f(x)g(x),即f(x)的图象恒在g(x)图象的下方.结合切线意义可知f(0)1,即k1.故选B.2k0,2评析评析本题主要考查学生的转化能力.2.(2015课标理,12,5分)设函数f(

13、x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)0,则a的取值范围是()A.B.C.D.3,12e33,2e 433,2e 43,12e答案答案D由f(x0)0,即(2x0-1)-a(x0-1)0得(2x0-1)a(x0-1).当x0=1时,得e1,则a.令g(x)=,则g(x)=.当x时,g(x)0,g(x)为增函数,0ex0ex000e (21)1xxxe (21)1xxx232 e2(1)xxxx31,23,2要满足题意,则x0=2,此时需满足g(2)ag(3),得3e2ae3,与a1矛盾,所以x01.因为x01,所以a0,g(x)为增函数,当x(0,1)时

14、,g(x)0,g(x)为减函数,52000e (21)1xxx要满足题意,则x0=0,此时需满足g(-1)ag(0),得a1(满足a2b0,则a2+的最小值为.12ab1(2 )a ab答案答案4解析解析a2b0,a-2b0,a2+=a2-2ab+2ab+2+2=4,当且仅当即时,等号成立,所求最小值为4.12ab1(2 )a ab212aab12ab221,21,abaab2,24ab4.(2019天津部分区一模文)已知a0,b0,c0,若点P(a,b)在直线x+y+c=2上,则+的最小值是.4ababc答案答案2+22解析解析点P(a,b)在直线x+y+c=2上,a+b+c=2,2a+2b

15、+2c=4,a0,b0,c0,+=+=2+2+2=2+2,当且仅当=,即a+b=c时取等号,+的最小值是2+2,故答案为2+2.4ababc222abcababc2cababc2cababc22cababc24ababc22思路分析思路分析由题意可得a+b+c=2,则+=+=2+,根据基本不等式即可得解.4ababc222abcababc2cababc5.(2018天津南开一模文)设x0,y0,且xy-(x+y)=1,则x+y的最小值为.答案答案2+22解析解析x0,y0,xy,1=xy-(x+y)-(x+y),即(x+y)2-4(x+y)-40,x+y2+2或x+y2-2(舍去),x+y的最

16、小值为2+2.故答案为2+2.22xy2()4xy2222思路分析思路分析根据x0,y0即可得到xy,进而得出1-(x+y),解关于x+y的不等式即可得出x+y的最小值.22xy2()4xy6.(2018天津和平三模文)已知xy0,则x2+的最小值为.1xy21xxy答案答案4解析解析x0,y0,x2+=x2-xy+xy+2+2=4,当且仅当即时,代数式取得最小值4.故答案为4.1xy21xxy21xxy1xy21,1,xyxxy2,22xyB B组组2017201920172019年高考模拟年高考模拟专题综合题组专题综合题组时间:30分钟分值:60分一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2

17、019天津红桥一模文)若a0,b0,且a+b=4,则下列不等式中恒成立的是()A.B.+1C.2D.1ab121a1bab221ab18答案答案Da0,b0,且a+b=4,ab=4,故A不成立;+=1,故B不成立;2,故C不成立;=,故D成立.22ab1ab141a1b4abab221ab21()2abab1162ab182.(2018天津河西三模文)已知正数a,b满足a+b=2,则+的最大值为()A.B.+1C.D.+1a1b3263答案答案C(-)2=a-2+b+10,a+b+12,23,令y=+(y0),则y2=a+2+b+1=3+23+3=6,01,且b1,+=1变形为=1,ab=a+

18、b,ab-a-b=0,(a-1)(b-1)=1,a-1=,又a-10,b-10,+=+9(a-1)2=6,当且仅当=9(a-1),即a=时取“=”,+的最小值为6.故选B.1a1b1a1babab11b11a 91b11a 19(1)1aa11a 4311a 91b思路分析思路分析正数a,b满足+=1,可得a1,且b1,即a-10,且b-10,由+=1变形为a-1=;化+为+9(a-1),应用基本不等式可求最小值.1a1b1a1b11b11a 91b11a 二、填空题(每小题5分,共40分)5.(2018天津河北一模)已知a0,b0,则的最小值为.224442aabbab答案答案4解析解析=(

19、a+2b)+,a0,b0,(a+2b)+2=4,当且仅当a+2b=2时取等号.的最小值为4.故答案为4.224442aabbab2(2 )42abab42ab42ab4(2 )2abab224442aabbab6.(2019天津河北二模)已知首项与公比相等的等比数列an中,若m,nN*,满足am=,则+的最小值为.2na24a2m1n答案答案1解析解析等比数列an的首项与公比相等,am=,qmq2n=q8,m+2n=8,m0,n0,+=(m+2n)=8=1,当且仅当=且m+2n=8,即m=4,n=2时取等号,故答案为1.2na24a2m1n1821mn1844nmmn184nmmn思路分析思路

20、分析结合等比数列的通项公式可得m+2n=8,然后由+=(m+2n),展开后利用基本不等式即可求解.2m1n1821mn评析评析本题主要考查了等比数列的通项公式及基本不等式在最值求解中的应用,属于基础试题.7.(2019天津南开一模理)已知x,y均为正实数,且=+,则x+3y的最小值为.2xyxy726答案答案2解析解析=+,即+=+=,x+3y=(x+3y)=2,当且仅当=时取等号,x+3y的最小值为2.2xyxy7262y1x72672 62272 621yx272 6237xyyx272 62372xyyx2xy3yx评析评析本题主要考查了基本不等式的应用,解题的关键是构造出基本不等式的形

21、式.8.(2019天津十二重点中学一模理)已知x0,y0,是2x与4y的等比中项,则+的最小值为.21xxy答案答案2+12解析解析x0,y0,是2x与4y的等比中项,2x4y=2,x+2y=1,+=+=1+1+2=1+2,当且仅当=,即x=-1,y=时取等号,故答案为2+121xxy2xyxxy2yxxy2y xxy22yxxy22222思路分析思路分析由等比数列可得x+2y=1,则+=+=1+,由基本不等式可得最小值.1xxy2xyxxy2yxxy9.(2019天津十二重点中学一模文)已知a2b(a,bR),函数f(x)=ax2+x+2b的值域为0,+),则的最小值为.2242abab答案

22、答案2解析解析根据题意,函数f(x)=ax2+x+2b的值域为0,+),则a0且1-4a2b=0,即8ab=1,b0.=(a-2b)+,由题意得a-2b0,(a-2b)+2=,当且仅当a-2b=时等号成立,的最小值为.故答案为.2242abab2(2 )42ababab12(2 )ab12(2 )ab1(2 )2(2 )abab212(2 )ab2242abab22思路分析思路分析根据题意,由二次函数的性质分析可得a0且1=4a2b=8ab,即8ab=1,又由=(a-2b)+,结合基本不等式分析可得答案.2242abab2(2 )42ababab12(2 )ab评析评析本题考查二次函数的性质以及基本不等式的性质,关键是求出a、b的关系,属于基础题.10.(2019天津河东一模文)若实数x,y满足2cos2(x+y-1)=,则xy的最小值为.22(1)(1)21xyxyxy答案答案14解析解析2cos2(x+y-1)=,=(x-y+1)+,由基本不等式可得(x-y+1)+2或(x-y+1)+-2,2cos2(x+y-1)2,由三角函数的有界性可得2cos2(x+y-1)=2,cos2(x+y-1)=1,即cos(x+y-1)=1,此时x-y+1=1,即x=y,且x+y-1=k,kZ,