2019-2020学年湖南省长沙市天心区长郡教育集团九年级(上)月考数学试卷(含解析)印刷版

1、2019-2020学年湖南省长沙市天心区长郡教育集团九年级（上）月考数学试卷12 小题，每小题3 分，共 36 分，在每小题所出的四个选项中，恰有一项是符合题3 分）下列各数是无理数的是（3 分）下列运算，正确的是（第 2 页（共 18 页）A 2x+3y 5xyC （ xy2） 2 x2y3 43 分）如图，是中心对称图形的是（3 分）若代数式x 3）632x2x÷ x xA有意义，则x 的取值是（A x 0Bx 0x 3x33 分）数据1，2， 3， 0， 5， 5， 6 的中位数和众数分别是（A 3和 2B 3和 33和 50和 53 分）多项式3ma2+15mab的公因式是（

2、A 3mB 3ma3ma3mab7A 1 4B 1 32D 10A 平行四边形的对角线互相平分C 菱形的对角线互相垂直D 对角线互相垂直的四边形是菱形10 （ 3 分）如图，在Rt ABC 中， ACB 90°，ABC 31°，将 ABC 绕点 C 顺时针旋转 角（0°< 180°）至A'B'C，使得点A'恰好落在AB 边上，则 等于（C 62°D 31°11（ 3 分） 已知二次函数O 为对角线AC 的中点，过点y ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y bx+ac 在直角坐标系中的图象大12

3、（ 3 分）如图，在正方形ABCD 中，点O 作射线 OG、 ON 分别交 AB、BC 于点E、 F，且EOF 90°，BO、EF 交于点 P，则下列结论中：二、填空阻（本大题头有应位置上）1 ）OEF 是等腰直角三角形；（ 2）图形中全等的三角形只有两对；3) BE+BFOA；OEBF 面积的 4 倍，正确的结论有（4）正方形ABCD 的面积等于四边形A 1 个B 2 个C 3 个D 4个13 （ 3 分）已知6 小题，每小题3 分，共 18 分，不需写出解答过程，请把答直接写在答题卡相y+3，则x y第 9 页（共 18 页）14 （ 3 分）若点P（ 4，5）和点Q（ a， b

4、）关于原点对称，则a 的值为6， 8，则这个三角形的周长为15 （ 3 分）已知一等腰三角形有两边长为16 （ 3 分）已知a， b 满足方程组，则a 4b 的值为17 （ 3 分）如图，在ABC 中，AB 6，将ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转30°后得到A1BC1，则阴影部分的面积为18 （ 3 分） 如图， 直线 y x+1 与抛物线y x2 4x+5 交于A， B 两点， 点 P 是 y 轴上的一个动点，当 PAB的周长最小时，S PAB三、解答题（本大题共8 小题，第19、 20 题每题 6分；第21、 22 题每题 8 分 ;第 23、 24题每题 9分；第25， 26

5、 题每题 10 分）19 （ 6 分）计算：2 + +（ 3 ） | 3|20 （ 6 分）先化简，再求值：（a+b）2（ a+b） （ab）2b2，其中a1，b221 （ 8 分）如图，在边长为1 的小正方形组成的网格中，AOB 的三个顶点均在格点上，点A、 B 的坐标分别为（3， 2） 、 （ 1 ， 3） AOB 绕点 O 逆时针旋转90°后得到A1OB1（ 1 ）在网格中画出A1OB 1，并标上字母；（ 2）点A 关于 O 点中心对称的点的坐标为；（ 3）点A1 的坐标为；（ 4）在旋转过程中，点B 经过的路径为弧BB1，那么弧BB 1 的长为22 （ 8 分）如图，在ABC

6、 中， AE 是它的角平分线，C 90°，B 30°，D 在 AB 边上，AD 4，AD 为直径的圆O 经过点 E1 ）求证：BC 是 O 的切线；2）求图中阴影部分的面积23 （ 9 分）某商店在2017 年至 2019 年期间销售一种礼盒，2017 年，该商店用3500 元购进了这种礼盒并2019 年这种礼盒的进价比2017 年下降了11 元 /盒，该商店用2400 元购进了与2017 年相60 元 /盒1 ） 2017 年这种礼盒的进价是多少元/盒？2）若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同问年增长率是多少？C 作 CD AB 于点D， CD24 （ 9 分）

7、如图所示，AB 是 O 的直径，AE 是弦， C 是劣弧 AE 的中点，过交 AE 于点F ，过C 作 CG AE 交 BA 的延长线于点G1 ）求证：CG 是 O 的切线2）求证：AF CF3）若 EAB 30°，CF 2，求GA的长25在直角坐标系中， O1 经过坐标原点O，分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A、 B1 ）如图，过点A 作 O1 的切线与y 轴交于点C，点O 到直线 AB 的距离为，OA：OB3：4，BC， 求 AB 的长； 求直线 AC 的解析式；2）若 O1 经过点M（ 2， 2） ，设 BOA 的内切圆的直径为d，试判断d+AB 的值是否会发生变化？N （

8、2， 3） ，与 x 轴交于A， B 两点（点A 在点 B 左侧） ，与 y 轴交于点C、设直线CM 与 x 轴交于点D1 ）求抛物线的解析式2 ） 在抛物线的对称轴上是否存在点P， 使以点P 为圆心的圆经过A、 B 两点， 且与直线CD 相切？若存在，求出P 的坐标；若不存在请说明理由（ 3）设直线y kx+2 与抛物线交于Q、 R 两点，若原点O 在以 QR 为直径的圆外，请直接写出k 的取值范围2019-2020学年湖南省长沙市天心区长郡教育集团九年级（上）月考数学第 11 页（共 18 页）试卷参考答案与试题解析12 小题，每小题3 分，共 36 分，在每小题所出的四个选项中，恰有一项

9、是符合题3 分）下列各数是无理数的是（由于无理数就是无限不循环小数 初中范围内学习的无理数有：， 2 等；开方开不尽的数；3 分）下列运算，正确的是（0.1010010001，等有这样规律的数 由此即可判定选择项解：，0，是有理数，是无理数 故选：A 2x+3y 5xyC （ xy2） 2 x2y4x 3） 2 x2 9x6÷ x3 x2别计算得出答案直接利用合并同类项法则以及完全平方公式和积的乘方运算法则、解：A、 2x+3y，无法计算，故此选项错误；B、 （ x 3）x2 6 x+9，故此选项错误；C、 （ xy2） 2 x2y4，正确；D、 x6÷ x3 x3，故此选

10、项错误；故选：3根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是中心对称图形，故此选项错误；C、是中心对称图形，故此选项正确；D、不是中心对称图形，故此选项错误；故选：3 分）若代数式有意义，则x 的取值是（A x 0Bx 0C x 3D x3根据分式有意义的条件可得x+3 0，再解即可解：由题意得：x+3 0，解得：x3，故选：D3 分）数据1， 2， 3， 0， 5， 5， 6 的中位数和众数分别是（A 3和 2B 3和 3C 3和 5D 0和

11、5根据中位数和众数的定义解答即可解：把这些数从小到大为：0， 1 ，2， 3， 5， 5， 6，最中间的数是3，则中位数是3；第 30 页（共 18 页）5 出现了 2 次，出现的次数最多，众数是5；故选：C3 分）多项式3ma2+15mab的公因式是（A 3m2B 3maC 3maD 3mab定系数，即确定各项系数的最大公约数；定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式；定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂解：多项式3ma2+15mab 的公因式是3ma，故选：C7C 12D 23利用平行线的判定定理逐项分析即可解：A 根据1 4 能推出AB CD ，所以此选项

12、正确；B 根据31 不能推出ABCD，所以此选项错误；C 根据21 不能推出ABCD，所以此选项错误；D 根据32 不能推出ABCD，所以此选项错误；故选：A8 （ 3 分）若关于x的方程x2+6x a 0 无实数根，则a 的值可以是下列选项中的（）A 10B 9C 9D 10【分析】根据方程无实数根得出关于a 的不等式，求出不等式的解集，再进行判断即可【解答】解：关于x 的方程x2+6x a 0 无实数根，62 4× 1 ×（a）<0，解得：a<9，只有选项A符合，故选：A9 （ 3 分）下列说法中，错误的是（）A 平行四边形的对角线互相平分B 五边形的内角和

13、是540°C 菱形的对角线互相垂直D 对角线互相垂直的四边形是菱形分别根据平行四边形的性质、多边形内角和和菱形的判定和性质逐项判断即可解：平行四边形的对角线互相平分，A 选项正确；5 2)×180° 540°，B 选项正确；C 选项正确；D 选项错误；错误的是D ，故选：D 10 （ 3 分）如图，在Rt ABC 中，ACB 90°，ABC 31°，将 ABC 绕点 C 顺时针旋转 角（0°< 180°）至 A'B'C，使得点A'恰好落在AB 边上，则 等于（A 149°B

14、69°C 62°D 31°根据三角形内角和定理求出A，再利用等腰三角形的性质求出ACA 即可解决问题解：ACB 90°，A 90 °B 59 °，CA CA，ACA A 59 °，ACA180°2 × 59°62°，故选：C根据二次函数的图象可以判断b、 c 的正负情况，然后根据一次函数的解析式和一次函数的a、11（ 3 分） 已知二次函数y ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y bx+ac 在直角坐标系中的图象大性质即可得到该一次函数的图象经过哪几个象限，本题得以解决解：由

15、二次函数的图象可知，a> 0， b< 0， c< 0，y bx+ac，b< 0， ac< 0，一次函数y bx+ac 的图象经过第二、三、四象限，故选：D12 （ 3 分）如图，在正方形ABCD 中，点 O 为对角线AC 的中点，过点O 作射线OG、 ON 分别交AB、BC 于点E、 F，且 EOF 90°，BO、 EF 交于点 P，则下列结论中：1 ）OEF 是等腰直角三角形；（ 2）图形中全等的三角形只有两对；（ 3） BE+BFOA；4）正方形ABCD 的面积等于四边形OEBF 面积的 4 倍，正确的结论有（A 1 个B 2 个C 3个D 4个【分

16、析】 （ 1 ） （ 3） （ 4）正确只要证明BOECOF，即可解决问题，（ 2）图中全等三角形不止两对，故（2）错误【解答】解：四边形ABCD 是正方形，ABBC，ABC90°，BAO ABOOBC45°，ACBD， EOF 90°， BOE+ BOF 90°，BOF + COF 90°，BOECOF，在 BOE 和 COF 中，BOECOF （ ASA） ，OE OF， BE CF， EOF 是等腰直角三角形，故（1）正确，BE+BF CF+BF BCOA，故（3）正确，S 四边形OEBFS BOE+S BOES BOE+SCOF SBO

17、CS 正方形 ABCD，S 正方形ABCD4S 四边形 OEBF 故（4）正确；图中全等三角形有BOECOF，AOBAOD DOC BOC，故（2）错误故选：C二、填空阻（本大题头有6 小题，每小题3 分，共 18 分，不需写出解答过程，请把答直接写在答题卡相应位置上）13 （ 3 分）已知y+3，则x y 2 【分析】根据二次根式有意义的条件确定出x的值，进而得出y的值，代入即可求解【解答】解：y+3，解得：x1y3xy2 故答案为：214 （ 3 分）若点P（ 4，5）和点Q（ a， b）关于原点对称，则a 的值为 4 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐

18、标符号相反可得答案【解答】解：点P（ 4，5）和点Q（ a， b）关于原点对称，点 Q 的坐标为（4， 5） ，即 a4故答案为：415 （ 3 分）已知一等腰三角形有两边长为6， 8，则这个三角形的周长为20 或 22 【分析】分为两种情况： 等腰三角形的三边为6， 6， 8， 等腰三角形的三边为6， 8， 8，分别求出即可解：分为两种情况： 等腰三角形的三边为6， 6， 8，符合三角形的三边关系定理，此时这个三角形的周长是6+6+8 20； 等腰三角形的三边为6， 8， 8，符合三角形的三边关系定理，此时这个三角形的周长是6+8+8 22；即等腰三角形的周长为20 或 22，故答案为：20

19、 或 2216 （ 3 分）已知a， b 满足方程组a 4b 的值为根据二元一次方程组的解法即可求出答案解：两式相加可得：a+4b4，a 4b 4，故答案为：417 （ 3 分）如图，在ABC 中， AB 6，将 ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转30°后得到A1BC1，则阴影部分的面积为9根据旋转的性质得到ABCA1BC1， A1B AB 6， 所以A1BA是等腰三角形，依据A1BA30°得到等腰三角形的面积，由图形可以知道S 阴影 S A1BA+S A1BC1 S ABC S A1BA，最终得到阴影部分的面积解：在ABC 中，AB 6，将ABC 绕点 B 按逆时针方向旋

20、转30°后得到A1BC1，ABCA1BC1，A1BAB6，A1BA是等腰三角形，A1BA30°，SA1BA9，又 S 阴影 S A1BA+S A1BC1 S ABC，18 （ 3 分） 如图， 直线y x+1 与抛物线S A1BC1 S ABC，S 阴影 S A1BA 9 故答案为：9y x2 4x+5 交于A， B 两点， 点 P 是 y 轴上的一个动点，当 PABS PAB根据轴对称，可以求得使得PAB 的周长最小时点P 的坐标，然后求出点P 到直线 AB 的距离和 AB 的长度，即可求得PAB 的面积，本题得以解决【解答】解：，解得，或 ，点 A 的坐标为（1 ， 2

21、） ，点 B 的坐标为（4， 5） ， AB 3，作点 A 关于 y 轴的对称点A ，连接A B 与 y 轴的交于P，则此时PAB 的周长最小，点 A的坐标为（1 ， 2） ，点 B 的坐标为（4， 5） ，设直线A B 的函数解析式为y kx+b，得，直线A B 的函数解析式为yx+ ，当x0 时，y，即点 P 的坐标为（0，） ，将x0 代入直线yx+1 中，得 y1，直线yx+1 与 y轴的夹角是45°，点 P 到直线 AB 的距离是：（ 1 ）× sin45° ， PAB 的面积是： ，故答案为：三、解答题（本大题共8 小题，第19、 20 题每题6分；第

22、21、 22 题每题 8 分 ;第 23、 24题每题 9分；第25， 26 题每题 10 分）19 （ 6 分）计算：2 +（ 3 ） | 3|【分析】直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质分别化简得出答案【解答】解：原式4+2+1 （ 3）4+2+1 +3 +220 （6 分）先化简，再求值：（ a+b）2（a+b）（ ab）2b2，其中a1， b2【分析】根据完全平方公式、平方差公式可以化简题目中的式子，然后将a、 b 的值代入化简后的式子即可解答本题【解答】解：（ a+b）（ a+b） （ab）2b a +2ab+b a +b 2b 2ab，当a1 ，b 2 时，原式2 ×（

23、1 ）×2421 （ 8 分）如图，在边长为1 的小正方形组成的网格中，AOB 的三个顶点均在格点上，点A、 B 的坐标分别为（3， 2） 、 （ 1 ， 3） AOB 绕点 O 逆时针旋转90°后得到A1OB1（ 1 ）在网格中画出A1OB 1，并标上字母；（ 2）点A 关于 O 点中心对称的点的坐标为（3，2）；（ 3）点A1 的坐标为（2， 3）；4）在旋转过程中，点B 经过的路径为弧BB1，那么弧BB 1 的长为【分析】 （ 1 ）利用旋转的性质得出A1 ， B1 的位置，即可得出所要图形；（ 2）利用关于原点对称点的坐标性质得出即可；（ 3）利用（1）中图形得出点

24、A1 的坐标；（ 4）利用弧长公式的求出弧BB1 的长【解答】解： （ 1）如图所示：（ 2）点A的坐标为（3， 2） ，点 A关于 O 点中心对称的点的坐标为：（3，2） ；故答案为：（3，2） ；（3）由（1 ）得：点A1 的坐标为（2，3）； 故答案为：（2，3）；（ 4）B 的坐标为（1， 3） ， BO，在旋转过程中，点B 经过的路径为弧BB1，那么弧BB1 的长为：故答案为： 22 （ 8 分）如图，在ABC 中， AE 是它的角平分线，C 90°，B 30°，D 在 AB 边上， AD 4，以 AD 为直径的圆O 经过点 E（ 1 ）求证：BC 是 O 的切线

25、；（ 2）求图中阴影部分的面积【分析】 （ 1 ）直接利用角平分线的性质结合等腰三角形的性质得出CAE OEA，进而得出OEB90°，即可得出答案；（ 2）首先求出EO， BE 的长，进而利用阴影部分的面积S EOB S扇形 EOD，进而得出答案【解答】 （ 1 ）证明：连接OE， AE 平分 CAB，CAEEAB， AO EO，OAEAEO，CAEOEA，AC EO， C 90°，OEB 90°， BC 是 O 的切线；（ 2）解：B 30°，OEB 90°， EO BO， EOB 60°， AD 4，EO 2， DO 2，BO 4

26、，BE 2，图中阴影部分的面积为：× EO × BE 2 23 （ 9 分）某商店在2017 年至 2019 年期间销售一种礼盒，2017 年，该商店用3500 元购进了这种礼盒并且全部售完；2019 年这种礼盒的进价比2017 年下降了11 元 /盒，该商店用2400 元购进了与2017 年相同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为60 元 /盒（ 1 ） 2017 年这种礼盒的进价是多少元/盒？（ 2）若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同问年增长率是多少？【分析】 （ 1）设 2017 年这种礼盒的进价是x元 /盒，则2019 年这种礼盒的进价是（x 11）元/

27、盒，根据数量总价÷单价结合2017 年和 2019 年购入礼盒数相同，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（ 2）利用数量总价÷单价可求出2017 年及 2019 年购进这种礼盒的数量，设该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率为y，根据2017 年及 2019 年获得的利润，即可得出关于y 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论【解答】解： （ 1）设2017年这种礼盒的进价是x元 /盒，则2019 年这种礼盒的进价是（x 11）元/盒，依题意，得： ，解得：x 35，经检验，x 35是原方程的解，且符合题意答： 2017 年这种礼盒的进价是35 元

28、/盒（ 2） 2017 年及 2019 年购进这种礼盒的数量为3500÷ 35 100（盒）设该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率为y，2依题意，得：（ 60 35）×100（ 1+y） 2（60 35+11）×100，解得：x1 0.2 20%， x22.2（不合题意，舍去）答：该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率为20%24 （ 9 分）如图所示，AB 是 O 的直径，AE 是弦， C 是劣弧 AE 的中点，过C 作 CD AB 于点D， CD交 AE 于点 F ，过 C 作 CG AE 交 BA 的延长线于点G（ 1 ）求证：CG 是 O 的切线（

29、2）求证：AF CF3）若 EAB 30°，CF 2，求GA的长【分析】 （ 1 ）连结 OC，由 C 是劣弧 AE 的中点，根据垂径定理得OC AE，而CG AE，所以CGOC，然后根据切线的判定定理即可得到结论；（2）连结AC、BC，根据圆周角定理得ACB90°，B1，而 CDAB，则CDB90°，根据等角的余角相等得到B2，所以12，于是得到AF CF；（ 3）在Rt ADF 中，由于DAF 30°，FA FC 2，根据含30 度的直角三角形三边的关系得到DF 1 ， AD ，再由AF CG，根据平行线分线段成比例得到DA： AG DF： CF然后

30、把DF 1， AD， CF 2代入计算即可【解答】 （ 1 ）证明：连结OC，如图，C 是劣弧 AE 的中点，OC AE， CG AE，CG OC，CG 是 O 的切线；（2）证明：连结AC、BC，AB 是 O 的直径，ACB90°， 2+ BCD90°，而CDAB， B+ BCD 90°，B2， C 是劣弧 AE 的中点，1 B，1 2，AF CF；3）解：在Rt ADF 中，DAF 30°，FA FC 2，DFAF 1，AD DF，AF CG，DA： AG DF： CF，即 ： AG 1： 2，AG 2 y 轴正半轴交于点A、 B 25在直角坐标系中

31、， O1 经过坐标原点O，分别与x轴正半轴、1 ）如图，过点A 作 O1 的切线与y 轴交于点C，点O 到直线 AB 的距离为，OA：OB3：4，BC， 求 AB 的长； 求直线 AC 的解析式；2）若 O1 经过点M（ 2， 2） ，设 BOA 的内切圆的直径为d，试判断d+AB 的值是否会发生变化？【分析】 （ 1 ）已知点O 到直线 AB 的距离为，且OA： OB 3： 4，从O 点作 AB 的垂线，利用三角函数关系求出OA、 OB 和 OB 的关系，利用AOB 的面积公式可求出AB 的长度；根据三角函数分别求出 A、 C 的坐标利用待定系数法可求得直线AC 的解析式；（2）设AOB 的

32、内切圆分别切OA、OB、 AB 于点P、Q、T，则d+ABOQ+OP+QB+PAOA+OB，由此即可解决问题【解答】解： （ 1）如图1，过 O 作 OG AB 于 G，则OG，OA： OB 3： 4，设OA3k， OB 4k， AB5k， OA?OB AB?OG2SAOB，即3k× 4k5k×，k1，AB5；A（3，0）AOB90°， AB 是 O1 的直径AC 切O1 于A，BAAC， BAC90° BCOC BC OBC（ 0，） 设直线 AC 的解析式为y kx+b，则，k直线AC 的解析式为yx；（ 2）结论：d+AB 的值不会发生变化，设 A

33、OB 的内切圆分别切OA、 OB、 AB 于点P、 Q、 T，如图2 所示BQ BT， AP AT，OQ OP BQBTOB， AP ATOAABBT+AT OB+OAOA+OBd则d+AB d+OA+OBd OA+OB在x轴上取一点N，使AN OB，连接 OM、BM、AM、 MNM（ 2， 2） ， OM 平分 AOB， OM 2， BOM MON45°， AM BM，又 MAN OBM ， OB AN，BOM ANM，BOM ANM 45°，ANM MON ， OM NM，OMN 90°，OA+OB OA+AN ON× OM × 2 4d+AB