2019年中考九年级数学专题复习类比思想在几何综合题中的应用专题训练题(word版含答案解析)

1、类比思想在几何综合题中的应用专题训练题1.点 P 在四边形ABCD 的对角线AC 上，直角三角板PEF 绕直角顶点P 旋转，其边PE、 PF 分别交BC、 DC 边于点M、 N【操作发现】如图1，若四边形ABCD 是正方形当PM BC 时，可知四边形PMCN 是正方形显然 PM=PN ；当 PM 与 BC 不垂直时，确定PM、 PN 之间的数量关系：；【类比探究】如图2， 若四边形ABCD 为矩形，且 AB=6 ， BC=8， 试探究PM、 PN 之间的数量关系；【拓展应用】如图3，改变四边形ABCD 、 PEF 形状，其条件不变，且满足AB=6 ， AD=4 ， B+ D=180 ，EPF=

2、 BAD 90时，求的值3 .如图， 点 P 是正方形ABCD 内的一点，连接CP， 将线段 CP 绕点C 顺时针旋转90， 得到线段CQ，连接 BP， DQ（ 1）如图a，求证：BCP DCQ；（ 2）如图，延长BP 交直线 DQ 于点E如图 b，求证：BE DQ；如图c，若BCP 为等边角形，判断DEP 的形状，并说明理由，（ 3）填空：若正方形ABCD 的边长为10， DE=2， PB PC，则线段PB 的长为 4 .问题背景：如图1，四边形ABCD 和 CEFG 都是正方形，B， C， E 在同一条直线上，连接BG，DE猜想与证明：（ 1 ） 如图 1 所示， 当 G 在 CD 边上时

3、， 猜想线段BG、 DE 的数量关系及所在直线的位置关系（不要求证明）将图 1 中的正方形CEFG 绕着点 C 按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度，得到如图2 的情形请你通过观察、测量等方法判断中得到的结论是否仍然成立，请选择图2 证明你的判断类比与探究：（ 2）若将原题中的“正方形 ”改为 “矩形 ”（如图 3 所示），且=k（其中k 0），请直接写出线段 BG、 DE 的数量关系及位置关系请选择图3 证明你的判断拓展与应用：（ 3）在（1）中图2中，连接DG、 BE，若 AB=3 ， EF=2，求BE2+DG2的值4 .【 猜想判断】如图1， 正方形 ABCD 和正方形QMNP ， M=

4、 B， M 是正方形ABCD 的对称中心，MN 交 AB 于 F， QM 交 AD 于 E，线段 ME 与线段 MF 的数量关系是 （不必证明，直接给出结论即可）【类比探究】如图2，将上题中的“正方形 ”改为 “矩形 ”，且 AB=mBC ，其他条件不变（矩形ABCD和矩形 QMNP ， M= B， M 是矩形 ABCD 的对称中心，MN 交 AB 于 F， QM 交 AD 于 E），探究并证明线段ME 与线段 MF 的数量关系；【拓展应用】根据前面的探索和图3，平行四边形ABCD 和平行四边形QMNP 中，若 AB=mBC ， M= B， M 是平行四边形ABCD 的对称中心，MN 交 AB

5、 于 F， QM 交 AD 于 E，请探究并证明线5 .如图1，四边形ABCD 和 AEFG 是两个相互重合的矩形，如图2，将矩形AEFG 绕点 A 按顺时针方向旋转a（ 0a 9） 0，点 G 恰好落在矩形ABCD 的对角线上，AB 与 FG 相交于点M ，连接 BE交 FG 于点 N；（ 1 ）当 AB=AD 时，直接写出ABE 的度数 （ 2）当ADB=60 ，求 ABE 的度数（ 3）如图3，当AB=2AD=2 ，求点A 到直线 BE 的距离直接写出BMN 的周长7. 探索绕公共顶点旋转的相似多边形：（ 1） 如图 1， 已知： 等边 ABC 和等边ADE ， 根据 （指出三角形的全等

6、或相似） ，可得 CE 与 BD 的大小关系为：2）如图 2，正方形ABCD 和正方形AEFG ，求 的值；3）如图 3，矩形 ABCD 和矩形 AEFG ， AB=kBC ， AE=kEF ，求 的值（用k 的代数式表示）EH 与 CD 的6如图1，已知正方形ABCD 在直线 MN 的上方，BC 在直线 MN 上， E 是射线 BC 上一点，以AE为边在直线MN 的上方作正方形AEFG （ 1 ）如图1 ，当点 E 在线段 BC 上时，连接FC，观察并猜测tan FCN 的值为 ； 连接GD，求证：DG BE；（ 2）如图2，当点 E 在 BC 的延长线上时，求tan FCN 的值；（ 3）

7、将图2 中正方形ABCD 改为矩形ABCD ， AB m， BC n（ m， n 为常数） ， E 是射线 BC上一动点（不含端点B） ，以 AE 为边在直线MN 的上方作矩形AEFG，使顶点G 恰好落在射线CD 上，当点E 沿射线 CN 运动时，请用含m， n 的代数式表示tan FCN 的值如图，在形 ABCD一直角三的直角顶在对角线上运动，一条直角边始终经过点C，另一条直角边与射线DA 相交于点F，过点F 作 FH BD，垂足为H.1）如图1 ，当点E 在线段 BD 上时，若CE BD 时，点 H 刚好与点DD 重合，此时E 是线段 BD 上任意一点，则EH 与 CD 的数量关系是2）

8、如图2， 当点 E 在 DB 的延长线上运动时，EH 与 CD 之间存在怎样的数量关系？请证明你的结 论；（ 3）如图3 所示，如果将正方形ABCD 改为矩形ABCD ，ADB= ，其它条件不变，请求出EH与 CD 的数量关系9.已知AC、 EC分别是四边形ABCD 和四边形EFCG 的对角线，点 E在ABC 内， CAE+ CBE=90 ，BE=1 ， AE=2 。（ 1 ） 如图 1，当四边形ABCD 和四边形EFCG 是正方形时，连接BF求证： CAE CBF ； 求 CE 的长；（ 2）如图2，当四边形ABCD 和四边形EFCG 为矩形，且时 ，求 CE 的长；（ 3） 如图3， 当四

9、边形ABCD 和四边形EFCG 为菱形，且 DAB= GEF=60 ， 直接写出CE 的长。10.已知AC、 EC 分别是四边形ABCD 和四边形EFCG 的对角线，直线AE 与直线 BF 交于点 H（ 1） ）观察猜想：如图1，当四边形ABCD 和四边形EFCG 均为正方形，线段AE 和 BF 的数量关系是 , AHB 的度数是度；（ 2） 探究证明：如图2，当四边形ABCD 和四边形EFCG 均为矩形，且ACB= ECF=30， （ 1 ）中的结论是否成立，并说明理由。（ 3） 拓展延伸：在（2）的条件下，若BC=9 ， FC=6，将矩形EFCG 绕着点 C 旋转，在整个旋转过程中，当A、

10、 E、 F 三点共线时，请直接写出点B 到直线 AE 的距离。11.阅读材料：如图1 ， ABC 和 CDE 都是等边三角形，且点 A、 C、 E 在一条直线上，可以证明ACD BCE，则 AD=BE 解决问题：（ 1） 将图 1 中的 CDE 绕点 C 旋转到图2， 猜想此时线段AD 与 BE 的数量关系，并证明你的结论（ 2）如图2，连接BD，若 AC=2cm ， CE=1cm，现将CDE 绕点 C 继续旋转，则在旋转过程中， BDE 的面积是否存在最大值？如果存在，直接写出这个最大值；如果不存在，请说明理由（ 3）如图3，在ABC 中，点 D 在 AC 上，点 E 在 BC 上，且 DE

11、 AB，将 DCE 绕点 C 按顺时针方向旋转得到三角形CDE（使ACD180），连接BE ，AD ，设AD分别交 AC、BE 于O、F，若ABC 满足ACB=60 ， BC= ， AC= ，求 的值及BFA 的度数；若 D 为 AC 的中点，求AOC 面积的最大值12. 点B，C，E 在同一直线上，点A，D 在直线 CE 同侧， AB AC，ECED，BAC CED（ 0，直线AE ， BD 交于点 F（ 1 ）如图（1） ，求证：BCD ACE，并求AFB 的度数；（ 2）如图（1）中的ABC 绕点 C 旋转一定角度，得图（2） ，求 AFB 的度数；（3）拓展： 如图 （3） ，矩形 A

12、BCD 和矩形 DEFG 中，AB 1 ， AD ED， DG3，直线AG，BF 交于点 H，请直接写出AHB 的度数13某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程操作发现1 ） 如图（ 1） ， B 为线段 CE 上一点，分别以BC， BE 为边作正方形ABCD 与正方形BEFG ，14 （ 1）尝试探究如图 ，在 ABC 中，ACB 90，A 30，点E、 F 分别是边BC、 AC 上的点，且EFAB 的值为2）类比延伸 直线 AF 与直线 BE 的位置关系为如图 ， 若将图 中的 CEF 绕点 C 顺时针旋转，连接 AF， BE， 则在旋转的过程中，请判断的值点 P

13、 为 BC 上一点，且CP BE，连接DP， FP，那么DP 与 FP 有什么关系？直接写出答案及直线 AF 与直线 BE 的位置关系，并说明理由； 如图（2） ， B 为线段 CE 上一点，分别以BC，BE 为斜边作等腰直角三角形ABC 与等腰直角三3）拓展运用角形 DBE ，点 P 为 CE 的中点，连接AP， DP，那么AP 与 DP 有什么数量关系？请给予证明若 BC 3， CE 2，在旋转过程中，当B， E， F 三点在同一直线上时，请直接写出此时线段AF数学思考2）如图（3） ， B 为线段CE 上一点，分别以BC，BE 为斜边作直角三角形ABC 与直角三角形DBE，且ABC DB

14、E，点P 为 CE 的中点，连接AP， DP，那么AP 与 DP 有什么数量关系？请给予证明拓展探究长3）如图（4） ， B 为线段CE 外一点，连接BC， BE，分别以BC， BE 为斜边作直角三角形ABC15如图 ，已知点G 在正方形ABCD 的对角线AC 上，GE BC，垂足为点E， GF CD，垂足为与直角三角形DBE，且ABCDBE，点 P 为 CE 的中点，连接AP， DP，那么（2）中的结论点 F则易知四边形CEGF 是正方形还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由1 ）请直接写出的值为2）探究与证明：将正方形CEGF 绕点 C 顺时针方向旋转 角（0 45） ，如图

15、所示， （ 1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明：若不成立，请说明理由（ 3）拓展与运用正方形 CEGF 在旋转过程中，当B， E， F 三点在一条直线上时，如图 所示，延长CG 交 AD 于点 H 若AH ， GH ，则 BC16如图，已知一正方形ABCD 及一等腰直角三角尺将三角尺的锐角顶点与D 重合，腰与边DC重叠，并将三角尺绕点D 顺时旋转，使它的斜边与AB 所在直线交于点E，一条直角边与BC 交于点F （点E、 F 不与点A、 C 重合） ，直线 DE、 DF 分别与直线AC 交于P、 Q 两点（ 1）三角尺旋转到如图1 位置时，求证：ADP BDF，且相似比为1：；（ 2）请再

16、在图1 中 （不再添线和加注字母）直接写了两对相似比为1：的非直角三角形的相似三角形与，与（ 3）如图2， AB 的垂直平分线RH 交 DC 于点R，当M 点旋转到RH 上时，点N、 P 重合 （ 1 ）中的结论依然成立，请问（2）中的结论仍然成立吗？如果成立，选其中一个结论加以证明；如果不成立，请说明理由； 在图2 中，如果ON 6，求 RM 的长17 （ 1） 【问题发现】如图1， ABC 和 CEF 都是等腰直角三角形，BAC EFC 90，点E与点 A 重合，则线段BE 与 AF 的数量关系为；（ 2） 【拓展研究】在（1）的条件下，将CEF 绕点 C 旋转，连接BE， AF，线段BE

17、 与 AF 的数量关系有无变化？仅就图2 的情形给出证明；（ 3） 【问题发现】当AB AC 2，CEF 旋转到 B， E， F 三点共线时候，直接写出线段AF 的长18 在平行四边形ABCD 中， 点 E， F 分别在边AD ， AB 上 （均不与顶点重合）， 且BCD 120， ECF 60（ 1 ）如图1，若AB AD ，求证：AEC BFC；（ 2）如图2，若AB 2AD，过点C 作 CM AB 于点 M，求证： AC BC； AE 2FM；（ 3）如图3，若AB 3AD ，试探究线段CE 与线段 CF 的数量关系2解；（ 1 ） BG DE， BG DE； 仍然成立，证明如下：证明：

18、四边形ABCD 、 CEFG 都是正方形；BC CD， CG CE，BCD ECG， BCG DCE ，BCG DCE（ SAS） ， BG DE，CBG CDE，又 BHC DHO，CBG+ BHC 90，CDE+ DHO 90，参考答案与试题解析 DOH 90，BG DE；（ 2） BG DE，如图2，证明：四边形ABCD ， CEFG 都是矩形，且1解：操作发现：如图2，过 P作PGBC 于G，作PH CD 于 H，则PGM PHN90，GPH90，BCD ECG 90，BCG DCE，BCG DCE，Rt PEF 中，FPE 90，GPM HPN， PGM PHN，CBG CDE，又B

19、HC DHO， CBG+ BHC 90，CDE+ DHOPG AB， PH AD 可得， PM PN，故答案为：PM PN；类比探究：如图3，过P 作 PG BC 于 G，作PH CD 于 H，则 PGM PHN 90，GPH90，Rt PEF 中，FPE 90，GPM HPN， PGM PHN，由 PG AB ， PH AD 可得，；拓展应用：如图4，过 P 作PGAB，交 BC 于G，作PHAD，交 CD 于H，则HPGDAB ，EPFBAD ， EPFGPH， 即EPH+ HPN EPH+ GPM ， HPN GPM， B+ D 180， PGC+ PHC 180， 又 PHN+ PHC

20、 180， PGC PHN，PGM PHN， ， 由 PG AB， PH AD 可得， 即 ， 可得， DOH 90，BG DE；3） BG DE，BE 2+DG 2 OB2+OE2+OG2+OD2 BD 2+GE 2，又AB3，CE2，BD3 ，GE2 ，BD 2+GE 2（3 ）2+2 ） 2 26，BE2+DG2 263 解： （ 1）证明：如图a，BCD 90，PCQ 90，BCP DCQ，在 BCP 和 DCQ 中， BC=CD ，BCP= DCQ， PC=QC，BCPDCQ（ SAS） ；2） 2） 如图b，BCPDCQ，CBF EDF，又BFC DFE，DEF BCF 90， B

21、E DQ；3） 如图c，BCP 为等边三角形，BCP 60， PCD 30，又CP CD， CPDCDP75，又BPC60，CDQ60，EPD45，EDP45， DEP 为等腰直角三角形；4） 如图b， 由 CBF EDF， DEF BCF， 可得DEF BCF， ， 即， 设DFx，则 BF5x，CF10x，RtBCF 中，BF2BC2+CF2， （5x）2 102+（ 10 x） 2，解得 x1 ， x2（舍去） ，BF 5x， PB PC，PBCPCB，又PBC+ PFCPCB+ PCF90，PFCPCF，PFPC， BP PF BF；如图，延长BE、 CD，交于点F，由CBFCDQ E

22、DF，DEF BCF，可得DEF BCF， ， 即， 设DFx， 则BF5x，CF10+x，RtBCF 中，BF2BC 2+CF 2，（5x） 10 +（ 10+x） ，解得x1（舍去） ，x2， BF 5x，PB PC，PBCPCB，又PBC+ PFCPCB+PCF90，PFCPCF， PF PC，BP PF BF4 解： （ 1） ME MF 理由：如图1，过点 M 作 MH AB 于 H， MG AD 于 G，连接AM ，则 MHF MGE 90， M 是正方形ABCD 的对称中心， AM 平分 BAD ， MH MG，在正方形ABCD 中， DAB 90，而MHA MGA 90，EMF

23、 HMG 90， FMH EMG， 又 MH=MG, MHF EGM ， MHF MGE（ ASA） ， MF ME ；（ 2） ME mMF 理由：如图2，过点 M 作 MG AB 于 G， MH AD 于 H，则 MHE MGF 90， 在矩形 ABCD 中， A 90， 在四边形GMHA 中， GMH 90，又 EMF 90， HME GMF ，又MGF MHE 90，MGF MHE ，又 M 是矩形 ABCD 的对称中心，MG BC， MH AB， AB mBC， ME mMF ；（ 3） ME mMF，理由：如图3，过点 M 作 MG AB 于 G， MH AD 于 H，则 MHE

24、MGF 90，在平行四边形ABCD 中， A+ B 180，而EMF B， A+ EMF 180，又在四边形 AGMH 中，A+ HMG 180， EMF GMF ，又MGF MHE 90，MGF MHE ，连接 AM 、 BD ， M 为 BD 中点， S ABM S ADM， AB?MG BC?MH， ， AB mBC， ME mMF5解：（ 1 ）如图1，当AB AD 时，矩形ABCD 和矩形 AEFG 都是正方形，旋转使点G 在正方形对角线上时，点G 和点 B 重合，在ABE 中， BAE 90，AE AB ， ABE 45；（ 2）在 Rt ABD 中， ADB 60，由旋转知，AD

25、 AG ， ADG 是等边三角形， DAG 60，BAG 906030，BAE 9030 60， AB AE，ABE 是等边三角形，ABE 60；3） 如图3，过点A 作 AH BE 于 H ， BAH BAE ， AH 就是点 A 到直线 BE 的距离， 在 Rt ABD 中， AB 2AD 2， AD 1 ， 根据勾股定理得，BD ， sin ADB cos ABD ， 过点 A 作 AQ BD 于 Q， DAQ DAG ， 在 Rt ADQ 中，tan ADB ， AQ AD ，由旋转知，DAG BAE ， DAQ BAH ， AQD AHB ， ADQ ABH ， AH ，即：点A 到

26、直线 BE 的距离为； 由 知， AH ，在Rt ABH 中，根据勾股定理得，BH， BE 2BH ，由 知， ABE ADB ， NBG 90，NFE 90，FEN BGN ， BGN+ QAG 90，FEN GAQ DAQ ABD ， 在RtEFN中， cos FEN cosABD ， EN ，BN BE NE，MN AE， BMN BAE ， MN BM， BMNAC 的周长为MN+BM+BN +6 解： （ 1） tan FCN 1，理由是：如图1，作FH MN 于 H， AEF ABE 90， BAE+ AEB 90， FEH+ AEB 90， FEH BAE ，又 EF=AE ，F

27、HEABE， EHF ABE（ AAS ） ，8解：（1）EHCD，如图1，过点E 作EPCD 于P，EQ AD 于Q，EQFEPC 90，四边形ABCD 是正方形，ADB CDB ADC 45，四边形EPDQ 是正方形，EP EQ，QEF+ FEPQEP90，又FEP+ PECFEC 90， QEFPEC，又EQFEPC，FHBE，EHABBC，CHBEFH，FHC90，tanFCH 1； EPC（ ASA） ，EC EF，过点C 作 CH BD 于点2）如图（2）作FH MN 于 H 由已知可得EAG BAD AEF 90，结合（1）易得FEH+ CEH FEH+ EFH 90， CEH

28、EQ=EP， EQFH ，CHE EHF，EFH， 又EHF CGE=90 ，EF=EC，FEHBAE DAG ，又 G 在射线 CD 上， GDA EHFEBA 90，又FEHDAG ， EF=AG ，EFHAGD （ AAS） ， BAE FEH， ABE FHE，EFHAEB， EHAD BC n， CHBE，在Rt FEH 中，tan FCN， tanEFH CEG（ AAS ） ，EH CG，在RT CDG 中，CDG 45，EH CG CDsin CDG CD2）如图2， EHCD，与（1）同理可得EF EC，过点于G，CGEEHF 90，FEH+ EFH 90，又CEG 90，E

29、FHCEG，EHF CGE=90 ，EF=EC，C 作 CG BDFEH+FCN 7 解： （ 1） 如图 1， ABC 和 ADE 都是等边三角形， AE AD， AC AB ， CAB EAD CAE BAD, 又 AE=AD ， AC=AB ，AEC ADB CE BD 故答案分别为：AEC ADB 、 CE BD（ 2）如图2，四边形ABCD 和四边形AEFG 都是正方形，ACAB， AF AE， CAB FAE 45， CAF BAE AFC AEB （ 3）连结 FA、 CA，如图3，四边形ABCD 和四边形AEFG 都是矩形，AB kBC， AE kEF，FEA CBA 90，

30、kFEA CBA， FAE CAB FAC EAB FACEAB EFH CEG（AAS ） ，EH CG，在RTCDG 中， CDG45EH CG CDsin CDG CD，即 EH CD；3） EH CDsin。如图EP QD ， QEP 90，即QEF CEP，3，作EQ AD 于 Q， EP CD 于 P，则四边形EPDQ 是矩形，QEF+ FEP 90，FEP+ PEC 90，EPCEQF，过点 C作 CG BD 于 G， CGE EHF 90， 即 CEG+ ECG 90，又 CEG+ FEH 90，ECGFEH，EH CGtan，在Rt CDG 中， DCG ADB ，cos ，

31、即 CG CDcos ，EH CDsin 9解：（ 1 ）证明：四边形ABCD 和 EFCG 均为正方形， ACB ECF 45， ACE BCF， 解：CAE CBF， CAE CBF，CAE CBFCBE 90，EBF 90，又 BE +BF 3，EF， CE2 2EF2 6，CE（ 2）如图 ，连接BF ，设ACB=， sin ACB=AB=k， BC=4k ，则 AC=， 同理可证：cos ECF=， AE 2，sin ECF =ACB= ECF， ACE= BCF， ACE BCF， ， CAE= CBF， 则 BF= ，又 CAE+ CBE 90，CBF+ CBE 90，EBF 9

32、0， EF= CE=3（ 3） 连接 BF， 同理可得， EBF 90， 则 BF= EF=CF，CE=10解：（ 1）如图1 所示：四边形ABCD 和 EFCG 均为正方形，ACB ECF 45， ACE BCF， CAE CBF， ACB ECF 30，AC6 ， EF CF tan302 ，在 Rt ACF 中，AF 6 ，AE AF EF 6 2 ，由（2）得：， BF（ 6 2 ）3 3，在 BFM 中，AFB 30， BM BF； 如图3 所示：作BM AE 于M，当 A、 E、 F三点共线时，同 得： AE6+2 ， BF3+3，则 BM BF；综上所述，当A、 E、 F 三点共

33、线时，点B 到直线 AE 的距离为11解：（ 1）猜想：AD BE，证明：ABC 和 CDE 都是等边三角形， AC BC， DC EC， ACB ECD 60，ACB+ BCD ECD BCD，即ACD BCE，又DE=EC ， AC=BC ， ACD BCE（ SAS） ，AD BE；（ 2）如下图1 所示，当CDE 旋转到 BC 与 C 到 DE 到高在同一条直线上时，BDE 面积最大，此时，DE 边上的高为 BDE 面积最大值为3） 如图 3，DE AB ， CDE CAB ， CDE由 CDE 绕 C 点旋转得到CAE CBF， CAB CAE+ EAB CBF+ EAB 45，CB

34、A 90，AHB 180904545，2）不成立；理由如下：四边形ABCD 和 EFCG 均为矩形，且ACB ECF 30，CE CE， CD CD， DCE DCE 60又 DCE+ BCDDCE+ BCD，即 ACD BCE ACDBCE= ， ACE BCF， CAE CBF，CAE CBF，ACD BCE得CBECAF BFA 180（BAF+ ABF）180（BAF+ CAB CAE+ EAB CBF+ EAB 60， CBA 90，AHB 180 90 60 30；3） 分两种情况： 如图 2 所示： 作 BM AE 于 M ， 当 A、 E、 F 三点共线时，2）得：AFB 30

35、，AFC 90，在Rt ABC 和 Rt CEF 中，ABC+ FAC）18012060 如图 4 所示，当D与点O 重合时，AOC 的面积最大=CD= = ， 过点 O 作 OG AC 于 G，OG=Csin60 = AOC 的面积的最大值为tan ADB ， tan FDGADB FDG 30，12解： （1）ABAC，ECED， BAC CED70， ACB DCE（18070） 55， ABC EDC，CBD CAE ， BCD ACE； AFB 180CAE BAC ABD 180 BAC ABC ACB， AFB 55；（2）AB AC，ECED，BAC CED，ACB DCE（

36、18070）55， ABC EDC， BCD ACE ，BCD ACE， CBD CAE ， BDC AEC， AFB BDC+ CDE+ DEF CDE+ CED 180DCE ， AB AC， EC ED， BAC DEC 70， DCE 90 70 55， AFB 125；3）连接BD， DF，在矩形ABCD 和矩形 DEFG 中，BAD ADC EDG E 90， AB 1，AD ED， DG3，BD 2，DF 2 ，ADG 90 + ADE，BDF ADB+ ADE+ EDF 30 +ADE+90 3090 + ADE ， ADG BDF， ADG BDF ， GAD FBD， A，

37、 B， D， H 四点共圆，AHB ADB 302）如图3 中，结论：PA PD理由：取BC 的中点 M ， BE 的中点 N，连接 AM ， DN，设 BC2a， BE 2bACB ， DBE 都是直角三角形，AM CM BM a， DN BN EN b，PCPEECa+b，PM DN b，PNAM a，ABC DBE ，CE， MAMC，NDNE，CMAC ， ENDE，APM C+MAC 2C， BND E+ NDE 2 E，AMP DNB ，AMP PND （ SAS） ，PA PD（ 3）如图4 中，结论：PA PD理由：取BC 的中点M， BE 的中点N，连接AM ， DN ， P

38、M，PN设BC2a，BE2b ACB，DBE 都是直角三角形，AM CMBM a，DN BN ENb，PCPE， PM BEb，PNBC a， PM DN b，PNAM a， ABC DBE ， ACB BED，MA MC， ND NE， ACM MAC ， BED NDE， APB ACM+ MAC 2 ACM ， BND BEE+ NDE 2 BED，AMB DNB ， PM BN， PN BM ，四边形PMBN 是平行四边形，PMB PNB， AMP PND， AMP PND（ SAS） ，PA PD14解：（1）ACB 90，A30，tanA AC BC ，EFABCFE A30，ta

39、nCFECFCEAF AC CF（BCCE）， BE13解：（ 1） 如图 1 中，结论：PD PF， PD PF理由如下：四边形ABCD ，四边形BEFG都是正方形，CD CB，BEEF， C E 90，PCBE，BCPE，PCEF，CDBC CE,ACB 90AF BE 故答案为：， AF BEPE，DCPPEF（ SAS） ， PD PF，DPC PFE，PFE+ FPE 90，DPC+ FPE 90， DPF 90，DP PF 如图 2 中， 结论：PA PD 理由： 作 AM BC 于 M， DN BE 于 N，设 BC 2a， BE 2bACB，DBE 都是等腰直角三角形，AM C

40、M BM a， DN BN EN b，PCPEEC a+b，PM DN b，PN AM a，AMP PND90，AMP PND（ SAS） ，PA PD（ 2） ， AF BE,连接AF， 延长 BE 交 AF 于 G， 交 AC 于点H， 旋转BCE ACF， AC BC， CFCE，且 BCE ACF，ACF BCE， FAC CBECBE+ BHC 90FAC+ AHG 90AF BE（ 3） 过点 C 作 CG AF 交 AF 的延长线于点G，AC BC， CFCE， BC 3， CE 2，AC 3 ， CF 2CFE30，FCE90FEC60，且B， E， F 三点在同一直线上CEB

41、120旋转AFC BEC 120CFG 60，且CG AF GFCF， CGGF3 AG 3， AF AG FG 3 过点C 作 CG AF 于点G，ACBC，CFCE， BC3，CE 2， AC 3 ， CF2 ， CFE30， FCE 90FEC 60，旋转 AFC BEC60，且CGAFGFCF，CGGF3AG 3 ，AF AG+FG 3+15解：（ 1）AC BC，CG EC， AG BE，（ 2）如图1 所示，连接CG，ACG BCE， ACG BEC，,故（1）中的结论成立（ 3）如图2 所示，过点H 作 HM 垂直于 AG，BEC AGC，BECAGC 135，CGE 45，A、

42、 G、 F三点共线， AGH 45，HM MG 1，AH ， AM 2， AG 3，BE ， AHG AHC ，设 BC CD AD a，则AC a，则， AH a，a，16解：（ 1）证明：如图1 ，四边形ABCD 是正方形，DAP DBF ADO 45， ADP+ ODP 45，又DMN 是等腰直角三角形，MDN 45， BDF+ ODP 45，ADP BDF，又DAP DBF，ADP BDF，四边形ABCD 是正方形，AD ： BD 1：， ADP 和 BDF 的相似比为1：（ 2） 解： 两对相似比为1： 的非直角三角形的相似三角形CDQ 与 BDE， DPQ 与DFE 如图2，四边形ABCD 是正方形，DCQ DBE CDO 45，CDQ+ ODQ45，又 DMN 是等腰直角三角形， MDN 45， BDE+ ODQ 45， CDQ BDE ， CDQ 和 B