异面直线所成的角

1、复习定义复习定义探索方法探索方法归纳小结归纳小结反馈练习反馈练习例题例题1例题例题2练习练习1练习练习3练习练习2abbO一.定义:注意：注意：异面直线所成角的范围是异面直线所成角的范围是 直线直线a、b是异面直线，经过空间任意一点是异面直线，经过空间任意一点 O ,分别分别引直线引直线aa , b b。我们把直线。我们把直线a和和b所成的锐角所成的锐角(或直角或直角)叫做异面直线叫做异面直线a和和b所成的角所成的角.（0， a2求角的步骤：1. 确定角确定角2. 求角求角求异面直线所成角的步骤求异面直线所成角的步骤有哪些？有哪些？长方体长方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1

2、 1D D1 1，ABAB=AA=AA1 1= =2 cm2 cm， ADAD= =1cm1cm，求异面直线，求异面直线A A1 1C C1 1与与BDBD1 1所成角的余弦值。所成角的余弦值。取BB1的中点M，连O1M，则O1MD1B，如图，连B1D1与A1C1 交于O1，于是A1O1M就是异面直线A1C1与BD1所成的角（或其补角）O1MDB1A1D1C1ACB解：解：为什么？为什么？于是A1O1M就是异面直线A1C1与BD1所成的角（或其补角），长方体长方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，ABAB=AA=AA1 1= =2 cm2 cm， ADAD=

3、=1cm1cm，求异面直线，求异面直线A A1 1C C1 1与与BDBD1 1所成角的余弦值。所成角的余弦值。取BB1的中点M，连O1M，则O1MD1B，如图，连B1D1与A1C1 交于O1，解：解：为什么？为什么？O1MDB1A1D1C1ACB,23212212122211=BDMO,512221=MA,2512212211=OA由余弦定理得,55cos11=MOAA1C1与BD1所成角的余弦值为方法归纳： 平移法连A1M，在A1O1M中即根据定义，以即根据定义，以“ “运动运动” ”的观点，用的观点，用“ “平移转化平移转化” ”的方法，使之成为相交直线所成的角。的方法，使之成为相交直线

4、所成的角。55解法二解法二：方法归纳：方法归纳：补形法补形法把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、长方体等，其目的在于易于发如正方体、长方体等，其目的在于易于发现两条异面直线的关系。现两条异面直线的关系。 3,52,51111=ECEACA在在 A1C1E中，中，由余弦定理得由余弦定理得55cos11=ECAA1C1与与BD1所成角的余弦值为所成角的余弦值为如图，补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面如图，补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面连结连结A1E，C1E，则，则 A1C1E为为A1C1与与BD1所成的角所成的角(或补角或补角)，F

5、1EFE1BDB1A1D1C1ACBC1的方体的方体B1F，55正方体ABCD- A1B1C1D1中,AC、BD交于O,则OB1与A1C1所成的角的度数为A1B1C1D1ABCDO练习1900在正四面体S-ABC中，SABC, E, F分别为SC、AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于（ ）CSABEFD(A)300 (B)450 (C)600 (D)900练习2BSABEFCDG练习2（解法二）SACBEFSABEFC练习2 （解法三）三、解答题三、解答题已知正方体的棱长为已知正方体的棱长为 a , M a , M 为为 AB AB 的中点的中点, N , N 为为 B BB

6、B1 1的中点，求的中点，求 A A1 1M M 与与 C C1 1 N N 所成角的余弦值。所成角的余弦值。解：解：A1D1C1B1ABCDMNEG如图，取如图，取AB的中点的中点E, 连连BE, 有有BE A A1 1M M 取取CC1的中点的中点G,连连BG. 有有BG C C1 1N N 则则EBG即为所求角。即为所求角。BG=BE= a, F C1 = a由余弦定理，由余弦定理， cosEBG=2/5F取取EB1的中点的中点F，连，连NF,有有BENF则则FNC为所求角。为所求角。想一想：想一想：还有其它定角的方法吗？还有其它定角的方法吗？2526在在EBG中中（1）平移法（常用方法

7、）平移法（常用方法）小结：小结：1、求异面直线所成的角是把空间角转化为平面、求异面直线所成的角是把空间角转化为平面 角，角，体现了化归的数学思想。体现了化归的数学思想。2、用余弦定理求异面直线所成角时，要注意角的、用余弦定理求异面直线所成角时，要注意角的 范围：范围： （1） 当当 cos 0 时，所成角为时，所成角为 （2） 当当 cos 0 时，所成角为时，所成角为 （3） 当当 cos = 0 时，所成角为时，所成角为 3、当异面直线当异面直线垂直垂直时，还可应用线面垂直的有时，还可应用线面垂直的有 关知识关知识解决。解决。90o（2）补形法）补形法化归的一般步骤是：化归的一般步骤是： 定角定角求角求角2001年3月说明说明：异面直线所成角的范围是（：异面直线所成角的范围是（0， ，在把异面直线所成的角平移转化为平面三角在把异面直线所成的角平移转化为平面三角形中的角，常用余弦定理求其大小，当形中的