2019年全国各地高考文科数学试题分类汇编7：立体几何

1、数学试卷2019 年全国各地高考文科数学试题分类汇编7：立体几何一、选择题1 （ 2019年高考重庆卷（文）某几何体的三视图如题（8） 所示 , 则该几何体的表面积为2019 年高考课标卷（文）某几何函数的三视图如图所示（）A 180B 200C 220D 240【答案】D2 （ 2019 年 高 考 课 标 卷 （ 文 ） ） 一 个 四 面 体 的 顶 点 在 空 间 直 角 坐 标 系 O xyz中 的 坐 标 分 别 是（1,0,1）,（1,1,0）,（0,1,1）,（画该四面体三视图中的正视图时0,0,0）, 以 zOx平面为投影面, 则得到正视图可以为则该几何的体积为（）A 16

2、8B 8 8 C 16 16 D 8 16【答案】A4 （ 2019 年高考大纲卷（文）已知正四棱锥ABCD A1B1C1D1中，AA1 2AB ,则 CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（）CD 13【答案】A5 （ 2019 年高考四川卷（文）一个几何体的三视图如图所示则该几何体可以是（）A棱柱B棱台C圆柱D圆台【答案】D6 （ 2019 年高考浙江卷（文）则该几何体的体积是（A 108cm3B【答案】B）已知某几何体的三视图（ 单位:cm） 如图所示,）100 cm 3C 92cm33D 84cm37 （ 2019 年高考北京卷（文）如图 , 在正方体ABCD A1B1C1D1 中 ,

3、P 为对角线BD1 的三等分点, 则 P 到各顶点的距离的不同取值有A 3 个【答案】BB 4 个C 5 个D 6 个8 （ 2019 年高考广东卷（文）某三棱锥的三视图如图2 所示 , 则该三棱锥A 16 【答案】B 13C23D 19 （ 2019 年高考湖南（文）已知正方体的棱长为1, 其俯视图是一个面积为10111213视图如右图所示该四棱锥侧面积和体积分别是（, 侧视图是一个面积为A2B 12 的矩形 , 则该正方体的正视图的面积等于（21 C2D2【答案】D2019 年高考浙江卷（文）设 m.n 是两条不同的直线, . A若m ,n , 则mnC若m n,m , 则 n 【答案】C

4、B若m,m , 则 D若m, , 则m2019 年 高 考 辽 宁 卷 （ 文 ） ）图 2知 三 棱 柱 ABC A1B1C1 的 6 个 顶 点 都 在 球 OAB 3， AC 4, AB AC, AA1 12 , 则球 O的半径为A 3 172B 2 10C 132D 3 102019 年高考广东卷（文）设 l 为直线 , , 是两个不同的平面, 下列命题中正确的是A若l / , l / , 则 /C若l , l / , 则 /球 面 上 ,若B若l , l , 则 /D若, l / , 则 l【答案】B2019 年高考山东卷（文） ）一个四棱锥的侧棱长都相等, 底面是正方形, 其正 （

5、主 ）该四棱锥的体积为18 （ 2019 年高考北京卷（文）某四棱锥的三视图如图所示A 4 5,8B 4 5, 8C 4（ 5 1）,833【答案】B14 （ 2019 年高考江西卷（文）一几何体的三视图如右所示的体积为（）A 200+9B 200+18C 140+9【答案】A二、填空题15 （ 2019 年高考课标卷（文）已知正四棱锥O-ABCD的体积为, 底面边长为, 则以 O为球心 ,OA为半径的球的表面积为.【答案】2416 （ 2019 年高考湖北卷（文）我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题 : 在下雨时, 用一个圆台形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸, 盆底直径为

6、一尺二寸, 盆深一尺八寸. 若盆中积水深九寸 , 则平地降雨量是寸 .（注 : 平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积; 一尺等于十寸）【答案】317 （ 2019 年高考课标卷（文）已知 H 是球 O的直径 AB 上一点 , AH : HB 1: 2 , AB 平面 , H 为垂足 , 截球 O 所得截面的面积为, 则球 O 的表面积为.【答案】319 （ 2019 年高考陕西卷（文）某几何体的三视图如图所示, 则其表面积为.【答案】320 （ 2019 年高考大纲卷（文）已知圆O 和圆 K 是球 O 的大圆和小圆, 其公共弦长等于球O 的半3径 , OK ，且圆O与圆K 所在的平面所成角为

7、60 ， 则球 O 的表面积等于.2【答案】1621（ 2019年上海高考数学试题（文科） ） 已知圆柱的母线长为l , 底面半径为r , O是上地面圆心, A、 B是下底面圆周上两个不同的点, BC 是母线 , 如图 . 若 直线OA与 BC 所成角的大小为 , 则 1.6r【答案】3922 （ 2019 年高考天津卷（文）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为, 则正方体的棱长为 .323 （ 2019 年高考辽宁卷（文）某几何体的三视图如图所示几何体的体积是.【答案】161624 （ 2019 年高考江西卷（文）如图一平面 上 , 且 AB/CD, 则直线【答案】425 （

8、 2019 年高考安徽（文）如图ABCD A1B1C1D1 的棱长为1, 则该, 正方体的底面与正四面体的底面在同EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为., 正方体P 为 BC 的中点,Q 为 线段CC1 上的动点, 过点A, P, Q 的平面截该正方体所得的截面记为S , 则下列命题正确的是11 当 0 CQ 时 , S为四边形; 当 CQ 时223当CQ时 , S与 C1D1的交点R满足C1R43当3 CQ 1 时 , S 为六边形; 当 CQ 1 时 ,（ 写出所有正确命题的编号）., S 为等腰梯形;1;3;6S 的面积为.4【答案】三、解答题26 （ 2019 年高考辽宁卷（

9、文）如图, AB是圆O的直径，（I） 求证 : BC 平面PAC；（II） 设 Q为 PA的中点，G为AOC的重心，求证：【答案】2PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点.QG /平面 PBC.数学试卷27(2019 年 高 考 浙 江 卷 ( 文 ) ) 如 图 , 在 在 四 棱 锥 P-ABCD 中,PA面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=7,PA= 3, ABC=12°0 ,G 为线段PC上的点.( ) 证明:BD面PAC ;( ) 若G 是PC 的中点, 求 DG与APC所成的角的正切值;PG( ) 若G 满足 PC面BGD,求的值.GC答 案 】 解 : 证 明 :(

10、 ) 由 已 知 得 三 角 形 ABC 是 等 腰 三 角 形 , 且 底 角 等 于 30°, 且AB CBAD CD ABDCBD ABD CBD 60 且 BAC 30 , 所 以 ; 、BD DBBD AC,又因为PA ABCD BD PA BD PAC;BD AC( ) 设 AC BDO, 由 (1) 知 DOPAC , 连 接 GO , 所 以DG 与 面 APC 所成 的 角是DGO , 由 已知 及 (1) 知: BO 1,AO CO 3 DO 73 2,1 1OD 24GO PA 3 tan DGO3 , 所以 DG 与面 APC 所成的角的2 2GO 1 3 3

11、正切值是 4 3 ;3( ) 由已知得到: PCPA2 AC23 1215 , 因为 PC BGD PC GD, 在PDC中 , PD 3 710,CD 7,PC 15,设PG x CG 15 x 10 x2 7 ( 15 x)2 PG x 3 15,GC 2 15 PG 355 GC 228 ( 2019 年高考陕西卷(文)如图 , 四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O 为底面中心, A 1O平面 ABCD, AB AA12 .( ) 证明: A 1BD / 平面CD1B1;( ) 求三棱柱ABD-A1B1D1的体积.【答案】解: ( ) 设 B1 D1线段的中点为O

12、1 .D1C1A1B1BD和 B1D1是 ABCD A1B1C1D1的对应棱BD / B1D1.同理，AO和 A1O1是棱柱ABCD A1B1C1D1的对应线段DCABAO/A1O1且 AO/OC A1O1 /OC且 A1O1 OC 四边形A1OCO1为平行四边形A1O/O1C.且A1OBDO,O1CB1D1O1面A1BD /面CD1B1 .( 证毕)( )A1O 面 ABCDA1O是三棱柱A1B1 D1 ABD的高 .在正方形AB CD中 ,AO = 1 . 在 RTA1OA中，A1O 1.12三棱柱A1B1D1 ABD的体积VABD ABD S ABD A1O( 2)2 1 1 .1112

13、所以 , 三棱柱A1B1D1 ABD的体积VA1B1D1 ABD 1 .29 ( 2019 年高考福建卷(文)如图 , 在四棱锥P ABCD 中 , PD 面 ABCD , AB/ /DC , AB AD ,BC 5 , DC 3 , AD 4 , PAD 60(1) 当正视图方向与向量AD 的方向相同时, 画出四棱锥P ABCD 的正视图.( 要求标出尺寸, 并画出演算过程);(2) 若 M 为 PA的中点 , 求证 : DM /面 PBC ;(3) 求三棱锥D PBC 的体积 .:( )在梯形ABCD 中 , 过点 C 作 CE AB, 垂足为E , 由已知得, 四边形ADCE 为矩形 ,

14、 AE CD 3 , 在 Rt BEC 中 , 由 BC 5 , CE 4, 依勾股定理得BE 3 , 从而 AB 6 , 又由PD 平面ABCD得 , PD AD从而在 Rt PDA中 , 由 AD 4 , PAD 60 , 得 PD 4 3正视图如右图所示:( )取 PB 中点N ,连结MN , CN , 在 PAB中 , M 是 PA中点 ,1 MN AB , MN AB 3, 又 CD AB , CD 3 MN CD , MN CD , 四边形MNCD 为平行四边形, DM CN又 DM 平面 PBC , CN 平面 PBC , DM 平面 PBC( )VD PBC1 VSP DBCD

15、BC3PD ,又 s PBC 6 , PD 4 3 , 所以VD PBC 83解法二 :( ) 同解法一( ) 取 AB 的中点 E , 连结 ME , DE在梯形 ABCD中 , BE CD , 且 BE CD , 四边形BCDE为平行四边形 DE BC , 又 DE 平面 PBC , BC 平面 PBC DE 平面 PBC , 又在PAB 中 , ME PBME 平面 PBC , PB 平面 PBC ME 平面PBC . 又 DE ME E ,平面 DME 平面 PBC , 又 DM 平面 DME DM 平面 PBC( ) 同解法一30 ( 2019 年高考广东卷(文)如图 4, 在边长为

16、1 的等边三角形ABC 中 , D, E 分别是 AB, AC 边上的点 , AD AE , F 是 BC 的中点 , AF 与 DE 交于点 G , 将 ABF 沿 AF 折起 , 得到如图5 所示的三棱锥2A BCF , 其中 BC .2(1) 证明 : DE / 平面 BCF ;(2) 证明 : CF 平面 ABF ;2(3) 当 AD 时 , 求三棱锥F DEG 的体积VF DEG .3F DEG【答案】 (1) 在等边三角形ABC中 , AD AEAD AEDB EC , 在折叠后的三棱锥A BCF 中数学试卷也成立 , DE /BC , DE 平面 BCFBC 平面 BCF , D

17、E/平面 BCF ;(4) 在等边三角形ABC 中 , F 是 BC的中点, 所以 AF BC ,1BF CF22BC在三棱锥A BCF 中 ,2 , BC2 BF 2 CF 2 CF BF BF CF F CF 平面 ABF ;(3)由 (1) 可知 GE/CF ,结合 (2) 可得 GE 平面 DFG .133 32411111 1 3VF DEGVE DFGDG FG GF32323 3 231 ( 2019 年高考湖南(文)如图 2. 在直菱柱ABC-A1B1C1中 , BAC=9°0 ,AB=AC= ,AA1=3,D 是 BC的中点,点 E 在菱BB1 上运动.(I) 证明

18、:ADC 1E;(II) 当异面直线AC,C1E 所成的角为60°时, 求三菱子C1- A2B1 E的体积【答案】解: ( ) 因为E为动点，所以需证AD 面 CBB1C1 .ABC A1B1C1是直棱柱BB1 面 ABC,且 AD 面 ABC BB1 AD又 RT ABC是等腰直角且D为 BC的中点，BC AD .由上两点，且BC BB1 B AD 面 CBB1C1且 C1E 面 CBB1C1AD C1E.(证毕)() CA/C1A1,A1C1E 60在 RT A1C1E中，AE 6 .在 RT A1B1E中，EB1 2. ABC A1B1C1是直棱柱EB1是三棱锥E A1B1C1

19、的高1122VC1 A1B1E VE A1B1C1 1 S A1B1C EB1 1 1 2 2 所以三棱锥C1 A1B1E的体积为2 .333332 ( 2019年高考北京卷(文)如图 , 在四棱锥P ABCD 中 , AB/CD , AB AD , CD 2AB, 平面PAD 底面 ABCD , PA AD , E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点 , 求证 :(I) PA 底面 ABCD ;(2) BE/平面PAD ;(3) 平面 BEF 平面 PCD【答案】(I) 因为平面PAD平面ABCD,且 PA垂直于这个平面的交线AD所以PA垂直底面ABCD.(II) 因为AB CD,CD=

20、2AB,E 为 CD的中点所以AB DE,且 AB=DE所以ABED为平行四边形,所以BE AD,又因为BE 平面 PAD,AD 平面 PAD所以BE平面PAD.(III) 因为ABAD,而且ABED为平行四边形所以BECD,AD CD,由(I)知PA底面ABCD,所以PA CD,所以CD平面PAD所以CDPD,因为E和 F 分别是CD和PC的中点所以PDEF,所以CD EF,所以CD平面 BEF,所以平面BEF平面PCD33 ( 2019 年高考课标卷(文)如图 , 三棱柱 ABC A1B1C1中 , CA CBAB AA1 , BAA160 .( ) 证明: AB A1C ;( )若 AB

21、 CB 2, A1C6,求三棱柱ABC A1B1C1的体积.【答案】 【答案】(I) 取 AB的中点O,连接OC O、 OA1O、 A1B ,因为CA=CB所以,OC AB , 由于AB=A A1, BA A1=600, 故AA, B 为等边三角形 A , 所以OA1 AAB1.因为 OC? OA1=O,所以AB 平面OA1C.又 A1CC平面OA1 C,故 AB AC.(11) 由题设知ABC与AA1B都是边长为2的等边三角形，AA1 B都是边长为2的等边三角形，所以OC OA13,又 A1C6，则A1C2 OA12，故OA1 OC因为 OC AB O, 所以OA1 平面ABC， OA1为棱

22、柱ABC-A1B1C1的高，又ABC的面积S ABC3，故三棱柱ABC-A1B1C1的体积V =S ABC OA1 3.34 ( 2019 年高考山东卷(文)如图 , 四棱锥 P ABCD 中 , AB AC,AB PA, AB CD , AB 2CD ,E,F,G,M ,N 分别为 PB, AB,BC,PD,PC 的中点( )求证 : CE平面PAD ; ( )求证 : 平面 EFG 平面 EMN【答案】35 ( 2019 年高考四川卷(文)如图 , 在三棱柱ABC A1B1C 中 , 侧棱AA1 底面 ABC, AB AC 2AA1 2 , BAC 120 ,D, D1分别是线段BC, B

23、1C1 的中点, P 是线段AD 上异于端点的点.( ) 在平面 ABC内 , 试作出过点P 与平面A1BC 平行的直线l , 说明理由, 并证明直线l 平面ADD1A1 ;( ) 设 ( )中的直线l 交 AC 于点Q , 求三棱锥A1QC1D 的体积.( 锥体体积公式: V 1 Sh, 其中 S为底面面积, h 为高 )【答案】解:( )如图, 在平面ABC内 , 过点P 作直线l / BC , 因为 l 在平面 A1BC 外 ,BC 在平面A1BC 内 , 由直线与平面平行的判定定理可知, l / 平面A1BC .由已知 , AB AC , D 是 BC中点, 所以BC AD,则直线l

24、AD ,又因为AA1 底面 ABC , 所以AA1 l ,又因为AD, AA1在平面ADD1A1 内 , 且 AD与 AA1 相交,所以直线l 平面ADD1A1( )过 D作 DE AC 于 E,因为AA1 平面 ABC , 所以AA1 DE ,又因为AC, AA1在平面AA1C1C 内 , 且 AC与 AA1 相交, 所以 DE 平面AA1C1C ,AB AC 2 , BAC 120 , 有 AD 1, DAC 60 ,所以在 ACD中 , DE 3 AD 3221VD AQC DE SAQC1131113313261又 S AQC12 A1C1 AA1 1 , 所以VA1 QC1D3因此三

25、棱锥A1QC1D 的体积为36 ( 2019 年高考湖北卷(文) 如图 , 某地质队自水平地面A,B,C 三处垂直向地下钻探, 自 A点向下钻到A1处发现矿藏 , 再继续下钻到A2处后下面已无矿, 从而得到在A处正下方的矿层厚度为A1A2 d1 . 同样可得在B,C处正下方的矿层厚度分别为B1B2d2,C1C2d3, 且d1d2d3.过 AB, AC的中点 M , N 且与直线AA2平行的平面截多面体A1BC1 1 A2B2C2 所得的截面DEFG 为该多面体的一个中截面, 其面积记为S中 .( )证明: 中截面DEFG是梯形 ;( )在 ABC 中 , 记 BC a,BC 边上的高为h ,

26、面积为 S . 在估测三角形ABC区域内正下方的矿藏储量1( 即多面体A1B1C1A2B2C2的体积V ) 时 , 可用近似公式V估S中h 来估算 . 已知 V1 (d1d2d3)S , 试3第 20 题图判断V估 与 V的大小关系, 并加以证明所以A1A2B1B2 C1C2. 又A1A2d1B1B2d2, C1C2d3,且 d1 d2 d3 .因此四边形A1A2B2B1 、A1A2C2C1 均是梯形.由AA2平面 MEFN ,AA2 平面 AA2B2B, 且平面AA2B2B平面 MEFN ME ,可得AA2 ME,即 A1A2 DE. 同理可证A1A2 FG,所以DE FG.又 M 、 N

27、分别为 AB 、 AC 的中点 ,则 D 、 E 、 F 、 G 分别为A1B1 、 A2B2、 A2C2、 A1C1 的中点 ,即 DE 、 FG 分别为梯形A1A2B2B1 、 A1A2C2C1 的中位线.1111因此 DE(A1A2B1B2)(d1d2) ,FG(A1A2C1C2)(d1d3) ,2222而 d1 d2 d3, 故 DE FG , 所以中截面DEFG是梯形 .( ) V估V. 证明如下:由 A1A2平面 ABC , MN平面 ABC, 可得A1A2MN .而EMA1A2, 所以 EMMN ,同理可得FN MN .11由MN是 ABC 的中位线, 可得 MN 1 BC 1

28、a 即为梯形DEFG 的高 ,22因此S中 S梯形 DEFG ( 121 3 ) a a (2d1 d2 d3) ,22228ah即 V估S中 h(2d1 d2 d3) .811ah又 S ah , 所以 V(d1 d2 d3)S(d1 d2 d3 ) .236ahahah于是V V估(d1d2d3)(2d1 d2 d3)(d2d1) (d3 d1).6824由d1 d2 d3, 得d2d10, d3d10 , 故V估 V.37 （ 2019 年高考课标卷（文） ）如图 , 直三棱柱ABC-A1B1C1中 ,D,E分别是AB,BB1的中点.( )依题意A1A2 平面 ABC, B1B2 平面

29、ABC, C1C2 平面 ABC ,(1) 证明: BC 1/ 平面A1CD;(2)设 AA 1= AC=CB=2,AB=2,求三棱锥C 一 A1DE 的体积.38 ( 2019 年高考大纲卷(文)如图 , 四棱锥P-ABCD中，ABC= BAD=900， BC=2AD，PAB与PAD都是边长为2 的等边三角形.(1) 证明:PB CD；(II) 求点 A到平面PCD的距离.【答案】( ) 证明: 取 BC的中点 E, 连结DE,则 ABED为正方形.过 P 作 PO平面ABCD,垂足为O.连结 OA,OB,OD,OE.由 PAB 和 PAD 都是等边三角形知PA=PB=PD,所以OA=OB=

30、OD即点 ,O为正方形ABED对角线的交点故OEBD , 从而PBOE .因为O是BD的中点,E 是BC的中点,所以OE/CD. 因此,PBCD .( )解 : 取 PD的中点F, 连结 OF,则 OF/PB.由()知, PBCD,故OFCD.又 OD 1 BD 2 , OPPD2 OD22,2故 POD 为等腰三角形, 因此 , OF PD .又 PD CD D , 所以 OF 平面 PCD.AE/CD, CD 平面 PCD, AE 平面PCD,所以AE/ 平面 PCD.因此,O 到平面PCD的距离OF就是A到平面 PCD的距离, 而 OF 1 PB 1 ,2所以A至平面PCD的距离为1.39 ( 2019 年高考安徽(文)如图, 四棱锥P ABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的菱形 , BAD 60 . 已