史宁中教授解读《数学课程标准》的核心概念

1、史宁中教授解读数学课程标准的核心概念张丹：在新课程标准修订中，一个非常重要的是把过去 的双基也就是基础知识和基本技能变成了四基，就是增加了 基本数学思想和基本的数学活动经验。为什么要增加这后两 基，它的价值在什么地方？史宁中：中国传统的数学教育或 者说是整个基础教育特点是双基，就是基础知识和基本技能， 通常人们是这样说的，基础知识扎实，基本技能熟练。基础 知识指概念的记忆和命题的理解。基本技能主要是指作题的 技能和证明的技能，因此我们过去的这些教育对知识本身的 掌握应该是没问题的，而且做得很好，那还缺少什么呢？缺 少就是现在国家希望培养的人才，就是创新型人才。我们想 一下，一个创新型人才除了知

2、识之外，还需要一些什么东西 呢？我想主要是思维形式和思维方法，他想问题会不会创新 性的想，当然还有一个创新意识问题。这些东西必须通过本 人参与的活动才能够学得会，老师教是教不会的。我们先不 说创新型人才在第一个层次来讲，比如说智慧，你说一个人 很聪明，他有智慧，表现在什么地方呢？表现在别人做不了 的时候，他能想办法解决了，他就有智慧，他就聪明，比如 在解题过程中，甚至在玩的过程中，他有一个方案，或者在 做实验的过程中他有一个技巧，这些表现的是智慧，因此这 些东西是表现在过程之中的，而过程之中的东西只能通过过程培养，通过语言的阐述是不可能培养出来的，怎么思考问 题，怎么教也不行，他得自己去想一些

3、问题，他才可能想明 白。因此在这个意义上，没有基本的活动经验是不行的，基 本活动经验就是教我们的孩子如何思考问题，最终要培养这 个学科的思维方法，更高的就是培养学科的直观。因为对于 数学来说，所有的结果是看出来的，而不是证出来的，而如 何会看结果，完全是凭借经验，凭借思维形式和思维方法， 所以现在在双基基础上变为四基的本质是想培养学生的思 维形式和思维方法，培养学生的智慧和创造力。张丹：我是不是可以这样理解，一个创造型人才，或者创新 人才，实际上是两方面，一方面需要具备知识和技能，但更 重要的是得有直观，像您说的直观，有一些思维方法，而这 个离不开我们的活动。史老师：你说得非常对。一个创新型人

4、才，简约的说，还有 很多条件。大概是需要知识和思维，这两个都是需要的，当 还有创新的意识，创新的条件，那是额外的。张丹：就是对新增加的数学的基本思想和数学活动经验，我觉得在小学可能非常重要的就是数学活动经验，您能具体的 阐述一下数学活动经验，到底什么是数学活动经验。史老师：就是老师创造一些背景，从头彻尾的让孩子思考问题， 从开始思考问题，这是很重要的。因为以后要创造的话，开始阶段就得能够思考，要不然中途没有人提示，是没有办法中途思考的。比如在小学阶段这个问题是稍微难一点的，但是也是能够做的，我举例来说一下，如果想在课堂上完成这样的教学，比如一个题目就是识别正方形，识别正方形有很多办法，第一个可

5、以用眼睛看，但是眼睛看经常会出现错误，老师可以举出很多例子，横竖的例子，大家都知道，看竖的比横的要长一些。张丹：小学差不多在1 、 2年级有这个情况，就是你把正方形这么摆他能认出来，如果旋转 45度很多孩子认为它不是正方形。史老师：所以光靠眼睛看是不够的，那最好的方法就是量一 量，量四个边相等就是。你也可以让学生尝试，但是如果尺 的话，特别是没有刻度的尺，现在中学义务教育阶段尺规作 图尺是没有刻度的，没有刻度的尺怎么办呢？这样的题给学 生提问题了，学生可以把正方形对折，但是对折得到的不一 定是正方形，对折得到的可能是长方形，那怎么办，还得斜 过来折。所以这样的时候，老师不要告诉学生怎么做，老师

6、 是启发让学生来做，我认为这个就是重要的。比如还有角，比较两个角的大小，你用量角器当然可以，不 用量角器怎么办，挪一下比，当然可以了，还不让挪过来比, 那学生就拿圆规画一下，然后再量画轨迹之间的长度来判断 角的大小，这样的思维我认为才是有必要的，我认为这个是 在课堂上能完成的教学活动经验，就是培养孩子如何去想。 这里有一个很重要的问题，我现在在教学中发现有些老师有 一些问题，他组织学生活动，组织学生很好之后，他判断学 生说得对和错，还是看结果，这个教育在本质上还是结果的 教育，不是过程，他应该更多的判断学生思考的过程，是不 是有道理，我一再强调，要培养思维方法，这个是很重要的。 但是更多的活动

7、可能是超生一堂课的活动，也可以。比如这回在课标里举的上学的问题，上学的时间问题。上学 的时间问题，老师不教孩子懂得这些道理很重要，首先要把 家里的表和学校的表对齐这样的一些思维很重要的东西，就 是在我考虑问题的先决条件如何，这是很重要的问题，然后 把上课一个礼拜的上课时间拿来，有一些数据，在这些数据 里面你能得到什么结果，老师要启发孩子，但是一定要孩子 得到一些结果。比如最多我需要多长时间，最少需要多长时 间，或者平均需要多长时间，让孩子们在数据中能够得到日 常生活中的很多信息，这样也是一种思维形式和思维的方法， 这样的课在小学阶段，我非常知道我们的老师们很有创造力， 有了一些想法之后，可以能

8、够创造出很多教学情景，完成这 样的教学。张丹：听了您这段话，我觉得对经验可能跟原来认识又不一 样了，原来经验可能更多讲的是学生经历一点事情，这是重 要的，但是现在我觉得经验非常重要的是思考。史老师：你可千万别是解题的经验、理解的经验。张丹： 特别是你提到思考有这么几个，一个是从头开始思考，所以课标在原来的分析问题和解决问题的基础上特别明确提出要发现问题和提出问题。史老师：这是很重要的。一个所有创造，连问题都发现不了 创造什么呢，所以这个要从小培养，经验的积累是日积月累 的，不见效，见效很慢，所以这个时候老师可能不愿意这么 教，但是为了国家，为了培养孩子，你必须这么做。我想从 小学到初中甚至到高

9、中，一直在这么教，那可能中国基础教 育就会改变面貌。张丹：另外您提到那句话，如果想培养学生去思考，老师也要跟着学生一起思考。这点我觉得特别重要。我们第二个非常关注的问题就是在新课程标准中，进一步明确了一些核心词，比如说数感，符号意识，运算能力，建模思想，空间观念， 几何直观，推理能力，数据分析观念还有就是创新意识，您能不能对这几个核心词中的几个或者整体您给做进一步的解释。史老师：我想一个老师要讲好课，首先要对整个课的前后关 系应该非常的清楚，一步步的，你要教的知识在关系中处于 什么地位，这是第一步要清楚的。第二步是你说的核心词， 这个是在知识以上的东西，这个要搞清楚。第三步老师要知 道教书的重

10、点和难点是什么。重点和难点是不一样的，重点 是在知识过程中起关键作用的一些东西，难点是学生很难掌 握。如果这三个层次的东西都掌握清楚了，它教课就会很自 如了，刚才谈的数学思想、经验，只是上个层次的，现在正 好进到下一个层次。像数感，数感这个东西主要是对小学而言的。数感，数是什么东西呢，数是从数量抽象而出来的，两匹马，两头牛抽象出2 ， 2 本身是不存在的，存在的是两匹马和两头牛，所以在孩子们突然接触到抽象出来的东西之后，对数和现实生活中的表现应该建立一个关系，这个关系是很重要的，这个关系如何建立呢？你想数是从数量抽象出来的，数量的本质是什么，数量的本质是多和少，多和少动物肯定知道这个事，这个本

11、质。一个狼来了，狗可以对付，来了一群狼它肯定跑，它就知道多和少，多和少抽象出数的关系变成了大和小，所以数的本质是大和小。这个是很重要的。因此孩子们应该感觉到这一点，地球和太阳之间的距离的时候用光年用多少， 谈到家里到城市某一个地方去的话，用公里来谈，谈校内的 情况可能就用几百米来谈，谈教室的情况可能几米，在桌上 可能是几厘米，这个感觉应该很清楚。这样的话，突然出一 个东西跟你日常的感觉不对的话，你就会提出自己的观点， 怎么会不对呢。所以我认为这个就是数感，建立起抽象的数 和现实中的数量之间的关系，并且能够知道这个大小和现实 中的多少之间的关系，这个大概是数感很重要的本质问题。张丹：另外在新课标

12、中，或者在教材中，把估计也作为了培 养数感的一个非常重要的内容。对于估计或者是估算这方面 您感觉它对人的价值是什么？史老师： 估计是非常重要的，对培养数感估计也是非常好的。估计和数的运算有什么区别呢？估计的运算脑子里一定要想到量感，好比你谈到公里的时候，那就是小数点一位就足够了，估算，甚至只要谈到公里就可以了，不要谈到米，但是你谈到屋里的大小的时候，你就得谈到米的单位，在米的单位下进行运算就可以了，厘米我可以不顾忌，但是在桌上画的时候，那可以他到厘米的单位，再往毫米就不估计。这样的运算叫做估算，所以你在买东西的时候，一般的东西以元为单位，你就估计到元，如果买电器产品，以千元为单位，就估计到千元

13、。所以估算在本质上还是一种基于对数量的运算，而不是数理运算。当然在算的过程中是数，但是脑子里想的那些东西应该是数量，就是有量刚的，这个是估算的本质，要脱离了这个本质，估算就没有意义了。所以你先算完了之后再四舍五入，估算不是近似预算。张丹：现在也有些误区很多老师把估算就像您说的教成了四 舍五入，或者让学生脱离了背景去算，所以也造成了一些困 惑。那么我感觉就是数感的核心就是数量和数之间的关系的 理解或者是感悟。那您进一步谈谈符号意识。它的核心，它 的本质是什么？史老师：符号太重要了，没有符号就没有数学，因为数学上用数进行的所有运算都是个案，而数学要研究一般问题，一般问题只能通过符号来计算，因此在教

14、符号的时候，要注意两件事情，第一件事情，符号可以像数一样进行运算和证明。第二件事情就是通过符号得到的结论是具有一般性的，2+3等于 3+2 ， 7+8等于8+7 ，你算出100个数都是个案，只有证明了A+B等于B+A才是具有一般性的，我想这是符号一个很重要的问题。张丹：从具体到一般，或者从个案到一般，是为了表达一般 的结论而得到的东西。那就是进一步我们用符号去刻划的过 程中，可能有两个我觉得非常的重要，一个是符号之间的运 算或者数之间的运算，也就是运算能力。另外我用符号解决 问题的过程中会产生一些模型，所谓建模思想。那就是运算 能力和建模思想这两个方面请您再进一步谈一谈。史老师：运算能力是很重

15、要的，但是运算能力不是计算速度的快慢，现在很多地方非常强调计算的速度，其实不是重要的，一个是会算，第二个别算错，这两个是本质的。会算不是靠死记硬背的会算，应该懂得道理，运算这个事情不懂得道理是不行的。事实上，现在为止，整个数学只有5种运算， 加减乘除和极限，极限就是后来微积分这些东西了。运算一开始都是从加法来的，它的逆运算变成了减法，它的简便运算变成了乘法，除法又是乘法的逆运算，因此这个事情必须掌握得非常的清楚，这样的话为什么要先乘除后加减呢？老师讲课总是说规定，为什么先算括号里后算括号外呢，是规定，为什么加法结合律为什么对减法也成立，是规定，为什么分配律对除法也成立呢，这些东西都是规定的话，

16、这个学生你除了靠大量的计算外，他很容易出错的，比如为什么先乘除后加减呢？比如2加3乘 3 ，为什么是2加9等于 11 ， 为什么这样呢，就是我刚才说的，乘法是加法的简便运算。2加3乘3是这个意思，就是2加3再加上 3再加上个3，如果是这样的话，必须是2加9等于 11 ，他说不一定，规定的事情，我们老说规定，规定的事情有两个可能，一个可能是这么也行，那么也行，比如数轴，我们规定向右，其实规定向左也行，交通必须往右侧通行，左侧通行也无所谓，但是这一点，大家规定得一样，不一样大家没有共同语言了；还有一种规定事实上是一种合理的东西，为了把它说得更简单一点就变化了规定。就像我刚才说的先乘除加减，实际上它

17、是合乎常理，为了把这个话说得更简洁一些。所以我们在教学过程中，不应该所有的都说规定，能讲得还稍微讲一下，孩子们明白了算理之后，就不容易错了，靠死记硬背只有靠大量的练习没有办法，这样就会造成孩子们课业负担过重，所以这块我认为还是很重要的。刚才你跟我谈到模型的问题，模型是一种数学很重要的东西，我基本理解模型是这样的一种东西，并不是2X就是模型，甚至方程5X加3 等于 7就是模型，这不一定，它只是用来表示模型的一种工具。真正的模型应该是这样它阐述了现实世界或者是想象的一个故事，比如方程，故事在某一个量它俩是一样的时候就把方程建立起来了，比如最典型的模型是什么，就是路程等于时间乘速度，这也是个模型，这

18、个模型知道了，列方程，好比甲乙，总是甲乙，一个人先走，一个人后走，俩人一块走，有一个人到哪溜达半天再聚也行，都可以，但是有一点是必须达到的，要不然就是在距离上他俩相等，要不就是在时间上他俩相等，要不就是在速度上他俩相等，这个就是模型，把握故事的核心，他们在量上是等价的，所以可以构建方程，这个我想是模型，要掌握成这样，模型就不是很多了，这样我们的教学就可以进行得比较好。张丹： 这个我觉得也是比较有启发的，原来我们对运算能力，在小学要算快算对，实际上今天我们谈到了不仅仅是，首先是算对，但同时背后的道理也很重要。模型给我们的启发也是，像我们原来很多的应用题，分了很多类型，其实本质上 可能像您说，原来

19、有什么追击问题，相遇问题，同向的，反 向的，但实际上它本质上都是路程、时间、速度这样的一种 关系。所以有人说，方程好象就是有用两种不同的方式来讲 一个故事，所以就画出了等号。另外我发现在课标中还有一 个很有意思的例子，新课标关于鸡兔同笼，它与我们原来的 处理很不一样。原来在中学主要是用了二元一次方程组来处 理，在小学更多的是用所谓的假设兔子站起来，这种方法， 学生根本就想不到，但是课标的处理和它不大一样。史老师：对，课标的例子是我想的，我就是想，孩子们如何能够得到公式。还是我一贯的思想。后来我觉得鸡兔同笼，差两腿太难了，变简单点，把问题尽可能化简，然后再一般化，这是基本思想。后来我就变成椅子和

20、凳子了，椅子是4个腿，凳子是3个腿。一共有16个椅子和凳子，一共有60个腿，问有几个椅子和凳子。一般是可以讲道理，让孩子列公式，事实上不一定必须这么讲，正常的数学想法就是你试一试，假如16个都是椅子的话会怎么样，16个都是椅子的话，你发现64 个腿，腿多了，要减椅子加凳子，16个椅子加1个凳子，63个腿， 还是多，那么再减，这样的话，孩子就能把结果得到，而且能够把公式得到。这么样，一个是启发孩子如何一步步的思考问题，还有一个就是增加孩子学习的自信心。你看我多厉害，我公式都可以得到，所以这样的教学我倒是认为应该尝试一下，所以数学不一定都是从讲道理开始的，因为道理孩子们不一定能听懂，但是你可以尝试

21、，让孩子在过程中琢磨出道理来。大不了就是多一个少一个差一个腿，把这个理悟出来的话，我甚为这个就是数学活动经验也好，也是数学思想的培养也好，我想就是这样的。张丹：这个确实是挺有意思，因为我最近也听了这样的课，孩子真的能从试一试的的过程中发现很多规律，有的孩子开 始是一个一个的往下减，减减他如果发差的数量很大的话， 他会跳着。史老师：慢慢的他会自己想问题了。张丹：还有的孩子是从一半开始试，先看是往上走，还是往 下走。所以孩子确实就像您刚才说，我们把学生教的更加聪 明更加智慧。而不是仅仅的就是照着题来解题。还有就是我 曾经也听您说过，对于学生非常重要的是让学生试一试，这 件事是非常重要的。史老师：事

22、实上，所有的重大的成果，都是试出来的，在一 个非常简单的环境下，试出来的，然后在谈在非常一般的情 况下会怎么样。甚至可以这么说，很好的一些科学文章，你 看着很复杂，但是写的人脑子里的东西是很简单的，他只有 在很简单的时候，才能够清晰，才能够严禁。张丹：另外在标准中，图形这方面，提了两个关键词，一个是空间观念，后来又增加了几何直观。就关于这两个词您觉 得它们的侧重是什么？史老师：空间观念主要是对小学来说。几何直观是对初中来 说，本质是几何直观，刚才我谈到了，要培养学科的直观， 这个不光是数学，大概所有的学科都要培养学科的直观，对 于数学来说，可以有代数的直观，可以有几何直观，可以有 统计直观，但

23、是代数的直观非常的困难，统计的直观也非常 的困难。没有相当的训练是建立不起来的，最简单的就是几 何直观，为什么因为几何直观看得见摸得着。对小学的时候 不能对学生要求太高。这样的话，知道一些方位。空间观念 的核心不是一个点，而是两个点。所以数学在本质上研究是 关系，两个点之间的方位关系是空间直观。比如从这个点， 你猜我看在哪边，其实这个比较难的，如果能这个想清楚， 这个孩子逻辑思维能力就挺强的，就是在你那看，我在什么 地方，这样的思维如果都能达成的话，这个孩子逻辑思维能 力就很强，这里空间好象是一个直观，其实有一个逻辑思维 能力，它们之间的关系。张丹：空间观念不仅仅是简单的视觉，是思考的逻辑，有

24、推 理在里面。那么自然的推理能力也是数学一个非常重要的东 西，过去我们可能对推理就是几何证明，现在的推理还有在 课标中有演绎推理，当然演绎推理不仅仅局限在几何，还有 一个以归纳为主的叫核心推理，或者叫什么，您对推理的归 纳和演绎之间您是怎么看的？史老师：首先我们得说什么要推理，推理是从一个命题判断 到另一个命题判断的思维过程。那么一个推理是不是有道理， 或者是一个推理是不是有逻辑的，就是应该有一条主线能够 把思维过程穿起来，那就是有逻辑的。这样说话就没有逻辑 了，苹果是一种味道，苹果是酸的，酸的是一种味道，那么 苹果就是一种味道，这也是推理，这个推理不正确，所谓不 正确是没有逻辑，为什么没有逻

25、辑，没有一条主线能够把这 些穿起来，所以一个推理是否有逻辑的核心，就是一条主线 能够从头彻尾的命题判断内涵里有一个共同点，一直从头彻 尾能够贯彻下来，这是逻辑推理，就是有道理的推理。然后 有两种情况，一个是命题的范畴由大到小推理，这个叫做演 绎推理。犯人都有死，这个命题很大，苏格拉底是人，命题 小了，苏格拉底又死了，这样的，是这么包含下来的一种推理，这种推理永远不会错，所以这种推理叫做演绎推理。还有一种推理是从小到大的推理，从小到大的推理是这样的，苏格拉底是人，苏格拉底又死，柏拉图是人，柏拉图又死，亚里士多德是人，亚里士多德又死了，所以我推断，犯人都有死，这个推理不一定是对的，因为它是从小命题

26、，你命题范围大了，那些命题可能又不成立的，从小到大的推理，这个不一定是对的，不一定对的，但是是发现真理的办法。就像我刚才举的A平方减 1的，我才推到6，我就给公式给出来了，那这个公式很可能是错的，不一定是对，然后再用演绎推理再证明一下，所以这两个思维过程是极为重要的，一个是发现结果或者预测结果的方法，一种是你预测了结果是否正确的检验方法。所以这两个方法，如果你想培养创新型人才，这两个办法都必须教，侧重任何一个都是不对的。这里还有一个问题，就是演绎推理一开始因为欧几里得的原因，他证明的第一个几何题是这么一个题，给一个长度，能够根据这个长度，做一个等边三角形，然后他用圆规在这画一下，在这画一下，一

27、连线，然后证明等边三角形，用了等量的等量，还是等量的公理，他的证明形式就是说完之后括号是因为什么原因，结果后来证明都是这么证的，这么证不符合人的正常思维。所以我到是想， 初中的证明过程，孩子们只要思考的本身有逻辑的话，就应该算对，不应该过分的追求形式，形式不是主要的，还是实质。证明的实质是主要的。张丹：就是培养他能够自始至终的有条理的思考是重要的，至于他用什么样的形式表达，我觉得不一定要统一的形式。史老师：什么叫有条理，我想我也解释了。张丹：在核心词中，我觉得还有一个核心也是大家非常关注 的。在原来的课标中把它叫做统计观念，在新课标中，把它 叫做数据分析观念，可能大家就在思考，第一为什么要改个

28、 词。第二个现在的数据分析观念的一些实质是什么。史老师：这个是非常核心的，现在在加了统计的内容，统计 内容我觉得加得是非常有必要的。我看到国外对中国义务教 育阶段的培养一直赞赏的是加了统计，这个是很好的事情。 但是统计不能按数学那么教，因为它的出发点不一样，数学 的出发点是公理或者假设。统计出发点是数据。所以我说一个讲课的方法，你们看看这个区别在什么地方：抛一个硬币，正面、反面。可能会出这样的题，连续抛5个都是正面，第6个是正面的可能性是多大，答案还是二分之一，为什么是这样，你假定了出现正面二分之一，是你假定的，你用假定的东西来进行回答，那是数学，不是统计，要搞统计的话，连续出了 5个二分之一

29、，我就怀疑硬币不是均匀的。所以你讲课这么讲，好比说一个袋子里有5个球， 4个白球，一个红球，但是你并告诉学生，让孩子摸，摸完之后， 因为白球比红球多，最后你问孩子，白的多还是红的多，通过这些数据，能够知道一些什么，能够得到一些信息，这些东西就叫做数据观念，这是统计的基本思想。张丹：就相当于从数据中去进行一些推测或者说从数据中帮 助我们做一些决定，这是非常重要的。史老师：就是在数中含有信息，这个信息能够对我们的决策提供参考。张丹：您说到这，让我想起我在东北师范大学上学的时候， 在东北师大附小，把您的问题让学生去做了。也是不告诉他 袋子里有多少个球，让孩子们去猜袋子里是红的多还是白的 多，袋子就不

30、让他打开。学生去摸，在摸的过程中，他确实 体会到，我多摸几次，然后我看看摸出来的哪种多。而且特 别有意思，有一个孩子回答我印象很深刻，我后来问他这么 一个问题，说你们觉得这个游戏好不好玩，可能孩子觉得好 玩，但是也有孩子也提出了，你为什么不让我们打开袋子来 看一看，就直接看就得了。后来我就把这个问题抛给孩子， 有一个孩子说如果球特别多的时候，不又允许我打开的时候 不能判断，他又联想，比如说我想知道池塘里有多少个鱼， 我根本没有办法一个一个的打开看，所以我就可以从中捞一 个，看看里面是金鱼多还是什么多，由此我推断鱼的比例。史老师：但是现实生活中，大部分我们不知道，我们还想知 道，但是这个例子是一开了。以后逐渐学得多了，他就要往 这方面走了。张丹：所以后来说，是不是也是属于他的经验。史老师：孩子有这样的思考，千万不要打击孩子的积极性，就让他这么想，有想象力是创造的基础。张丹：我想从这个角度看统计，确实统计能够激发人们去猜测，去创造很多东西。史老师： 统计在本质是归纳。从特殊情况来预测一般的情况。这是典型的归纳的想法。张丹：另外我发现在数据分析观念中还有一条，让学生了解 到处理同一个问题，可能有不同的方法，这个问题是很多老 师不太习