基于MATLAB的振动系统仿真

1、毕业设计题 目 基于 MATLAB 的振动系统仿真学 院机械工程学院专 业机械工程及自动化班 级机自 0701学 生王健学 号20070403180指导教师冯德振二一年 五 月 三十 日济南大学毕业设计摘要在我们的日常生活里存在许许多多的振动现象，它们大多数都是有害的。日常生活中机器的大多数机械振动，都会使机器的性能受到影响，进而导致结构或构件产生破坏， 导致机器的使用寿命大大降低，特别是当机器的振动频率达到共振频率的时候，机械振动对机器寿命的影响尤其突出，因此， 我们有必要对那部分有害的机械振动进行控制。振动问题在机械工业中是非常重要的。这次设计主要借助matlab软件强大的数据处理能力来分

2、析相关的机械振动问题，并在尽可能的情况下通过图形仿真来研究振动问题， 这些问题在本次研究中包括单自由度和二自由度系统振动分析。振动的分析是通过编写程序来完成的，这可以把相关振动结果准确形象的的呈现在我们面前。为了使使用者能更加形象的看到结果，进而更快的采取措施，从而更有效的指导生产实践，我设计了图形用户界面。关键词 ： 单自由度；二自自由度；机械振动；图形用户界面(GUI)； MATLAB- 4 -ABSTRACTThere are many vibration phenomena in our daily lives, most of which are harmful. Most of t

3、he machine mechanical vibration in our daily life can affect the machine's performance, what s more, it will lead to destroying the structure or components and result in the greatly reduced life of the machine, especially when the machine resonance frequency reached the vibration frequency of th

4、e time, the affection of the life of the machine is most impressive. So we should take measures to control the harmful vibration.The problem of vibration is very important in the machinery industry. The design mainly use the powerful data processing capability of the matlab software to analyze issue

5、s related to mechanical vibrations and the graphical simulation to study the vibration problems. The single degree of freedom and two degrees of freedom Vibration system is analyzed in this study. Vibration analysis is done through the program , it can accurately present the result of the simulation

6、 in front of us. I designed the graphical user interface in order to make users see the results more easily and take measures as quickly as possible.Key words： One-DOF ； Two-DOF ;Vibration ； GUI ； Matlab；目录摘 要 I.ABSTRACT II1 前言 11.1 MATLAB简介 11.2 机械振动概论 21.3 本课题研究的内容与意义 31.3.1 意义与目的 31.3.2 内容 32 单自由

7、度系统振动分析 52.1 单自由度有阻尼系统自由振动分析52.1.1 阻尼振动及自由振动分析 52.1.2 MATLAB的振动分析 82.2 单自由度系统强迫振动分析112.2.1 强迫振动说明 112.2.2 MATLAB振动分析 143 两自由度系统振动分析 133.1 两自由度系统无阻尼自由振动分析163.1.1 建立 力学模型 163.1.2 MATLAB振动分析 203.2 两自由度系统的强迫振动分析 233.2.1 建立 力学模型 233.2.2 MATLAB振动分析 244 图形用户界面的设计与振动仿真 264.1 图形用户界面概论 264.2 设计图形用户界面(GUI) 224

8、.3 图形用户界面对振动系统的仿真分析274.3.1 单自由度振动解析314.3.2 二自由度振动解析 375 总结与未来期望 415.1 总结 375.2 未来期望 37参考文 献38致 谢 39附录1：软件使用说明书 44附录2：程序代码 49济南大学毕业设计1 前言1.1 MATLAB 简介MATLAB 软件是 1984 年由美国MathWorks 公司推出的荣誉产品，MATLAB 从 MATrix LABoratory 一词发展而来，它最初用于矩阵数值计算。起初在对解线性方程的Fortran 程序库和解特征值问题的Fortran 的程序库的关系中它作为矩阵实验室充当为它们提供矩阵软件包

9、的接口。随着MATLAB 逐渐市场化， MATLAB 数值计算功能和数据可视化功能日渐完善。MATLAB4. 1 版本开始，属于自己的符号运算功能开始出现，这使其应用领域进一步增加了。而随后而来的MATLAB6.0 ， MATLAB 不仅在基础功能上进一步增强，而且相应工具箱也被加入了，并且为满足不同人员的使用要求，MATLAB 的工具箱的数量正不断增加。与其它语言比较，MATLAB 由于具有简单的语法规则，更加贴近我们的思考方式以及更简明的列写过程而被称为被称为“科学便笺式”科学计算语言。 经过很长时间的发展与完善，现已成为响彻国际的数学应用与科学计算软件。在很长一段时间内以来，MATLAB

10、 已被许多许多科技工作者与高校师生所认可，他们之中许多人把MATLAB 当做许多最可信的科技资源之中的一个。它的内容涉及机械振动、数字图像处理、自动控制通信技术、数学、物理学、电机学、计算机图形学等各方面。MATLAB 拥有完备的图形功能，较强的数值计算能力，但它却又不像其它一些语言那样拥比较复杂的语法，正因为如此，它适合多学科并且它功能强大，它是高级课程的基本工具，它可以进行微积分、代数运算，可以进行数值分析、统计计算、优化问题的求解，它还可以用来进行动态系统的模拟。Matlab 平台下的SIMULINK 组件专门用于动态系统的建模、仿真和仿真综合分析，并提供了集成化的图形环境，其二次开发能

11、力、可视化功能、编程建模能力和数值积分能力等方面的功能强大1。综上所述MATLAB 语言具有如下的特点:1 功能强大、效率高；2 语言简单、编程容易；3 可开发性强、扩充能力强。MTALAB 系统主要由MATALB 语言体系、图形语句语言系统、MATLAB工作环境、MATLAB 数学函数库、MATLAB 应用程序接口(API)五个主要部分组成，下面分别加以介绍。（ 1） MATALB 语言体系：MATLAB 具有条件控制、数据结构等程序语言特性，它是高层次的数组、矩阵语言。它既可以进行小规模编程设计也可以进行大规模设计。（ 2） 图形语句语言系统：在这里可以进行2D 以及 3D 图像处理、图形

12、演示等高层 MATALB 指令， 当然相应底层指令也包含在其中, GUI 应用程序的各种开发工具也被包含在其中。（ 3） MATLAB 工作环境：程序提供给用户使用的一系列管理功能的总称。（ 4） （ API ） MATLAB 应用程序接口使用户能够在MATLAB 程序中使用其它相关程序，如FORTRAN 或 C 程序，也包含从MATLAB 中读写 MAT 文件。从这些点可以看出，MATLAB 不仅是一个强大的系统而且还具有很强的扩展能力。（ 5） MATLAB 数学函数库：MATLAB 采用的各种数学算法。MATLAB 的主要产品由MATLAB 、 MATLAB Compiler 、 MAT

13、LAB Toolbox 、Real Time Workshop、 Simulink 等构成。并且当前的新软件一般都支持ActiveX部件的嵌入，Matlab 语言也不例外，它可以通过ActiveX 技术与其他应用程序作为接口10。综上所述，由于MATLAB 的各种功能十分强大，因而它已被国际权威所承认并被广泛用于生活中各个方面，如美国 National Instruments公司信号测量、分析软件 LabVIEW 都能看到MATLAB 的影子。1.2 机械振动概论要想谈好机械振动问题，要先从振动的概念说起在机械振动这门课中振动被定义为一个物理量在它的平均值附近不停地经过极大值和极小值而往复变化

14、的现象。由振动的概念，然后我们可以引申出机械振动的概念，即是机械或结构在它静平衡位置所作的往复弹性运动，在我们机械中机械振动现象时有存在，如汽车行驶的振动、振动筛的振动、发动机的振动以及机器加工时所产生的振动如机床切削时的振动，在振动分析过程中我们要把机械结构对象进行抽象化思维，即把它们的运动关系通过机械建模表示出来，这种建模产生的力学系统被称为振动系统，一般说来一般机械系统均能产生机械振动。随着机械制造业的迅速发展，各种高性能材料（如不锈钢、耐热合金、钛合金以及陶瓷等）的应用日益广泛2 3，同时对材料强度的要求也越来越高，而威胁材料强度的一个主要原因为机械振动，因此我们有必要对它进行研究。对

15、于实际生产过程中的振动问题，我们关心的是振动的作用效果，即振动会不会使位移等量过大，由于位移过大会引起机械结构之间发生碰撞，严重者会影响机器的整体使用， 比如机床振动位移过大将影响加工精度，造成零件的不合格和装配误差，可以说振动威胁对机床来说是一个不小的威胁，因此我们才要悉心研究它。此外，一些大型高速回转机械因为动态失稳而造成的事故在新闻上屡见不鲜，这种事故可以使一些大型机械部件如大型发电机组彻底解体，这不仅会进一步危及工作人员的安全，而且会危及社会安定并造成巨大的经济损失。这进一步说明了研究它的必要性，我相信只要我们控制得当可以在尽可能的范围内减少振动对我们的损害。当然振动并不是对我们全是害

16、处，在日常生活中利用振动案例也屡见不鲜，合理的利用振动可以造福于我们大家。如在振动筛、振动破碎机等方面对振动的利用。1.3 课题研究的内容与意义1.3.1 意义与目的我们知道现在国民生产的各个部门都需要高效率的机械，而这些机械在使用过程之中所面临的主要问题是振动问题，研究振动问题要用MATLAB 进行动态设计，通过MATLAB 软件进行运动分析以研究机械系统在实际工作条件下的运动情况， 从而解决实际生产中的相应问题。这可以达到通过理论分析来节省成本，以及避免重大事故的目的。从而更好的指导实际生产实践。近几年来国内外学者针对自同步振动机械的动力学特性及机电耦合机理做了大量的研究工作，也取得了很大

17、的进展4 6。这为生产中振动预测、振动控制及生产时的状态监测、故障诊断等提供了参考意见和依据7 9。本课题在MATLAB 软件下，先对单自由度及二自由度系统进行动态建模，然后抽象出其运动方程，再编写相应程序在MATLAB 环境下进行分析与计算，借助图形用户界面的运用来进行相应参量的改变，从而研究不同条件下的振动规律。1.3.2 内容（ 1）对单自由度系统振动分析在实际机械系统中，阻尼的存在是不可避免的，有阻尼的系统使系统的能量逐渐消耗，进而导致振动系统的振幅逐渐衰减。由于阻尼不同，因而有不同的分析方法，在这里研究的系统的自由振动是对单自由度有阻尼（粘性阻尼）系统的自由振动而言的。我们先建模，然

18、后列出受力状态方程，再在不同的阻尼比下求解，然后利用MATLAB 进行编程后的振动分析。（ 2）单自由度系统的强迫振动当然对单自由度系统除进行自由振动分析外，强迫振动分析也是十分有必要的，何谓强迫振动，所谓强迫振动是指系统在持续的外激励下所产生的振动。在这篇论文里，我着重讨论由简谐激励产生的强迫振动，它可以称为其它激励形式的基础， 对于激励有周期性的可以用傅里叶级数展开法求解，具体方法就不赘述了。当然，本论文还讨论了阶跃响应的振动。得出相应响应后，然后借助MATLAB 进行振动分析。（ 3）二自由度系统振动所研究的振动为二自由度无阻尼自由振动，其研究大致过程如上所述，先建模型，再进行方程式的列

19、写进而求解，最后借助MATLAB 实现分析。（ 4）二自由度系统强迫振动最后借助MATLAB 进行二自由度系统的强迫振动的分析。（ 5）图形用户界面（GUI）的设计利用图形用户界面研究各种振动情况并进行分析，进而得出相应结论。- 10 -2 单自由度系统振动分析2.1 单自由度有阻尼系统自由振动分析2.1.1 阻尼振动及自由振动分析要谈好单由度振动必须明确相应概念，首先我来说一下恢复力的概念吧，所谓恢复力是指使物体在做振动时回复到平衡位置的那部分力，在一个具体的振动过程中恢复力是必不可少的，然后再说说何为自由振动，所谓自由振动是指系统在特定的初始条件下，仅在恢复力作用下在其平衡位置附近的振动。

20、我们知道振动系统是具有质量和弹簧的系统，即是说要有提供惯性的质量和提供弹性的弹簧， 这样的话，才能使振动过程中弹性力和惯性力互化，使系统的振动得以持续，弹性力作为使系统永远回到平衡位置的角色。如图2.1 所示，系统当无阻尼时，它将永远地振动下去而不停止，这是自由振动系统中的典型16。图 2.1 单自由度振动模型为了更好的研究振动，下面我来说说阻尼吧，因为阻尼在振动过程中是十分重要的， 所谓阻尼是指用来衡量振动系统本身消耗振动的能力的物理量。由于阻尼的存在使得一些工程构件在机械振动过程中，一部分能量转化为其它形式的各种能量，如热能等。现在许多科学家都研究过阻尼产生的原因，但由于有些阻尼生成机理过

21、于复杂，因而其原因至今尚不清楚的被人们所熟知。实际的振动系统往往是多种阻尼的交互作用，这导致了它的难分析性。实际分析中阻尼往往被做线性化处理，这是由于线性系统可以很好的模拟实际问题。液体和气体的粘性阻尼是理论分析之中最常用的阻尼，它是靠当液体或气体在机械构件中运动时，机械构件中产生的热量，扩散到气体或液体中的度量。比如实际生产作业中的一些工程机械，由于是液压驱动的，各种缸内的液体都被压缩，在机械臂伸缩过程中，由于阻尼的存在，许多液压能转变为热能而耗散掉。我们都知道，粘性阻尼力方向与相对速度方向相反，大小与相对速度成正比。且对一般系统而言，阻尼系数是常数，我们用c 来表示它，在振动理论分析过程中

22、，阻尼器作为一个重要的元件而被应用到各种相应分析中。下面我来说说单自由度系统阻尼自由振动模型，如图2.2所示。可以明显的看出，它比无阻尼自由振动增加了一个阻尼器。2.1 )mx cx kx 0 x(0) x0 ,x(0) x0为求解方程, 我们设 x Ae st图 2.2 单自由度阻尼自由振动模型在此 A , s均是与时间t无关的常数，这些常数是待定的。将 x Ae st 代入式 (2.1)有：A(ms2 cs k)est 0(2.2)其中， A不等于零。因为A为零推出x将等于0，这个解是毫无意义的，因为它仅当在初始条件为零时才能得出的，是系统的静止状态，我们要的是对所有t ，式(2.2)都应

23、成立，因此有：2ms cs k 0(2.3)式 (2.3)为式(2.1)的特征方程。因为c、 s、 k、 m它们 与时间无关，因此，特征方程成为仅关于s 的一个一元二次方程，我们可以求它的根，根为：我们使：它为系统内的临界阻尼。再使：cs1,2 2m(2cm)2(2.4)c02 mk 2m n(2.5)cc2m n 2 mk其中 为系统的相对阻尼系数即系统的阻尼比，c0(2.6)它作为一个重要的振动参数是一个无量纲的量。用，可把式 (2.1)改写成：(2.7)x 2 n xn2 x0将式(2.6)代入式(2.4)得：济南大学毕业设计2s1,2n1n(2.8)从上式我们可以得出结论，若 1 时，

24、 s 为复数，而1 ， s 为实数。把当做参数，我们可以在复平面上绘出s的图形如图2.3所示。(2.13)- 12 -图 2.3 阻尼系数变化图 的大小不同，我们可以得到解的形式有三种：1. (c/2m)2 k/ m即此时<1，这时的情况称为欠阻尼。相应特征方程的根是：s1,2n i 12 n这时的两根是一对共轭复数。并且由图形可知两根存在于圆弧上。的解为：(2.9)相应方程在这：我们将wd 称为阻尼固有频率。x e nt (c1 c o sdt c2 s i ndt)Xe nt c o s(dt )d 12nc1x0 ,c2(xnx0)/ d(2.10)(2.11)(2.12)s1,2

25、济南大学毕业设计(2.14)(2.15)s1,2n21 n(2-1)的通解：(2.16)x e nt (A1e 2 1 nt A2e 2 1 nt )其中A2 、 A1 与初始条件x0、 x0的关系可表示为：(2.17)A1,22.1.2 MATLAB的振动分析 单自由度有阻尼自由振动分析程序：(x0x0(2.18)1) 单自由度过阻尼自由振动分析(见附录2 程序三)相应程序调试结果：这时的两根为重根，根在实轴圆弧交点上，由此得出方程(2-1)的通解：xA1 e ntA2te ntA1x0， A2x0n x03. (c/2m)2 k/m此时 >1， 这时的情况称为过阻尼。相应特征方程的根

26、是：图 2.4 过阻尼振动分析图通过调节滑块可得不同阻尼比下系统的响应，从图中我们可以得出结论为在过阻尼情况下单自由度系统的运动不是往复形式的。2) 单自由度临界阻尼自由振动分析(见附录2 程序二)程序二运行结果：图 2.5 临界阻尼振动分析由图可见，在临界阻尼情况下系统的振动同样不是往复形式的，但当初始条件相同时，临界阻尼系统要先于过阻尼系统最先停止运动。因此，一些工程师们为了使他们自己设计的指针式仪表等类似仪器尽快停止运动，常将整个系统的阻尼调节在临界阻尼。3) 单自由度欠阻尼自由振动分析(见附录2 程序一)程序三运行结果：2.6 欠阻尼振动分析图调节阻尼比可得在欠阻尼情况下单自由度系统的

27、自由振动情况，如勾选最大峰值按钮，可得相应最大峰值。由图我们发现只有在欠阻尼时单自由度系统的振动才是衰减的往复振动。从式(2.10)可以得出结论，当时间t 趋于无穷时，系统的振动会逐渐衰减，最后直至为零，这时的系统是静止状态，这种情况也成为了无阻尼自由振动与阻尼自由振动的区别。式 (2.10)中的衰减项e nt说明此时系统既不做周期振动也不做简谐振动等其它一些种类的振动。为了记忆方便，人们将Xe nt称为振幅而将d 称为阻尼固有频率，并认为在阻尼振动时振动的振幅与通过研究我们发现阻尼对自由振动的周期与频率都没有什么影响。当 T 、 n被设为无阻尼自由振动的周期和频率后，我们可以得出阻尼自由振动

28、的相应值：wd12 wn(2.19)从式中我们可以看出阻尼的存在使得振动周期增大， 对于小变化范围内的阻尼来说，则影响较小。振动频率降低了。但是0.30时，Td 1.0483T0.05时，Td 1.00125Td 0.9539 td 0.9 9 8 7t由此我们可以得出当< 0.3 时阻尼对振动周期和频率的影响是很小的，几乎可以忽略不计。有阻尼自由振动的振幅受阻尼影响很大。我们以x2表示t2时刻的位移，以x1 作为t1 时刻系统位移，设有t2t1Td ，那么我们根据式式(2.17)有：x1x2Xe nt1 cos( dt1)nTdeXe n(t1 Td)cos d (t1 Td)(2.2

29、0)成立，nTd2 ( 很小，dnTdx2x1e n dn )即有：x2x1e 2例如：=0.05 时，x20.73x1,x100.043x1=0.01 时，x20.94x1,x100.043x1其中 xn x(t nTd ) 。可知振幅受阻尼影响较大，实际生产中振幅的限制往往通过增加阻尼来实现。从 (2.10)的衰减项e nt得出的结论是当在系统固有频率相同条件下，被我们表示为系统对振动能量耗散能力的度量。当然这个指标还受各种条件的影响，在两个系统阻尼比相同的条件下，衰减较快的是固有频率较高的系统，即单自由度时的“高频成分的快速衰减”。一种求阻尼比的方法可以从上面的分析之中被我们得出了，设由

30、振动响应)，x1x(t1), x2x(t1Td )那么由(2.20)有x(t)(系统自x1lnnTdx2我们可以把对数衰减率定义为：212x1 lnx2(2.21)其中 是只与阻尼比有关的相邻振幅比的自然对数值(见图2-2) ， 从而我们有：在1 的情况下，我们有下面的近似公式：在实际试验中，阻尼比的求法步骤为：1测出系统阻尼自由振动时的响应；2对数衰减率的得出；3阻尼比的得出。2.2 单自由度系统强迫振动分析2.2.1 强迫振动说明(2 )22(2.22)(2.23)在自然界中有一种振动现象叫做强迫振动，何谓强迫振动，一般说来它是系统在持续性的外部激励作用下产生的振动。由于消耗在阻尼器上的能

31、量由外部激励做功所补偿，所以系统得以继续振动。常见的强迫振动现象有汽车在凸凹不平的路面上行驶所引起的振动、汽轮机工作时产生的振动, 如图 2.7 所示的一种我们平常常见的强迫振动现象。图 2.7 路面引起的强迫振动模型在这里我们关心的是由激励位移和激励力引起的强迫振动，并将着重讨论作为其它激励形式基础的由简谐激励而引起的强迫振动。通过以前学习我们知道，周期性激励振动响应求法是先将其按照傅里叶级数展开成不同频率的简谐激励，然后运用叠加原理，在叠加原理运用后可得它的总响应。现在我们有图2.8 所示的系统，系统在简谐力FF0 sin t ( 为激励的频率)作用下。建立模型，把平衡位置当做坐标原点，x

32、轴方向向下，进行分析。图 2.8 单自由度强迫振动模型我们有方程：F (t) Kx Cx mxF(t)F0 sin t mx Kx Cx(2.24)由高数知识知，此方程为一个二阶常系数非齐次线性微分方程。经过求解的话可知此方程的解由两部分组成，即为x(t) x1(t) x2(t)其中x1(t)为对应齐次方程的通解且有x1 (t) e nt (C1 cos dt C2 sin dt) ，它是瞬态响应，当t逐渐增加时，其相应值逐渐衰减并逐步为零。下面来说说x2 (t) ，它是非齐次方程的特解，为稳态响应，它是等幅振动的，其频率与激振力的相同。特在此讨论它。为求解它设x2(t) X sin( t )

33、，有：x2 X cos( t ) X sin t x2X 2 cos t X 2 sin t - 78 -公式 (2.24)左端F0 sin tF0 sin( t )F0 sin( t )cosF0 cos( t )sin将其带入上面的公式，由正余弦系数相等有：XCF0 sin0X ( n22 )m F0 cos0Carctan 2Km2(2.25)F0(K m 2)2 (C )2C所以我们有n ,Ccm2m n , C ，当我们令为频率比后，nCcn带入可得有关的方程 XF0/K12 2 (2)，其中用X 0来表示静力位移，其2值为F0/K ， 它指的是在将动力幅值F0按静力作用作用到弹簧上

34、时弹簧所产生的位移，我们再用表示动力放大系数，即有：X1X0(12)2(2)22arctan( 2 )1x2(t)X0(12)2(2 )2sin( t )(2.26)进而方程通解：x(t) e ntC1 cos dt C2sin dtX0(12)2 (2)2sin( t )(2.27)2.2.2 MATLAB 振动分析结合理论分析，下面给出单自由度简谐强迫振动分析结果（见附录2 程序四）2.9 .1 单自由度简谐强迫振动分析2.9.2 单自由度简谐强迫振动分析2.9.3 单自由度简谐强迫振动分析改变阻尼比可得不同阻尼比下的强迫振动频域分析，还可以查看最大峰值。并且为使结果便于观察，我还设计了c

35、olor 选项卡，可以切换不同颜色。3 两自由度系统振动分析3.1 两自由度系统无阻尼自由振动3.1.1 建立力学模型在实际研究过程中单自由度系统我们要研究，二自由度系统也要研究，因为它也是非常典型和重要的，要研究二自由度系统，首先要做的事是建立该系统的相关模型，如图3-1 所示的两质量弹簧力学模型即为系统的模型。图 3.1 两自由度自由振动力学模型如图所示，光滑水平面上有质量块m1 和 m2 在移动，m1 与m2之间及质量块与左右支撑面之间用弹簧分别连接。当设质量块的位移x2和 x1为广义坐标时，可以完全确定两自由度振动系统的运动位移关系。质量块在弹簧力作用下运动，在运动到任意位置时对质量块

36、m1 和 m2分别进行隔离分析，列写牛顿定律方程：K 2(x2 x1)K1x1m1 x1K2 (x2 x1 ) K3x2 m2x2整理有：m1x1 (K1 K2 )x1 K2x20(3.(1)m2x2 K2x1 (K2K3 )x20为了便于表示，令a K1 K2， c K2， b K2， dK2K3 方程即可以表m1m2m1m2示成如下形式：x1 ax1 bx2 0(3.(2)x2 cx1 dx2 0此方程组是一个二阶常系数线性齐次微分方程组，由前面知单自由度自由振动微分方程的形式为x Kx / m 0， 由此看来此方程的形式与单自由度自由振动微分方程形式不同。由上面我们可以发现两组方程通过耦

37、合项耦联起来，所谓耦合项，在第一方程中为bx2项，在第二方程中为cx1项，因为耦合项的存在使得两组方程耦联起来，故得之。 耦合项的存在也是两自由度系统与单自由度系统的区别， 并且伴随而来的是不同的分析方法。后面我们将对方程如何解耦进行详细说明。为了得到方程的相应解，我们可以设两质量块按同频率和同相位作简谐振动，令x2A2 sin( t)、 x1A1 sin( t ) ，将上式代入有：(a2)A1 bA2si n (t ) 0 cA1 (d2 )A2s i n (t ) 0当满足任何t时刻的要求时，x1和 x2即是方程的解，此时有sin( t )0然后我们有(a2)A1 bA202(3.3)cA

38、1 (d2 )A2 0此方程组是关于A2 和 A1 的二元线性齐次代数方程组，显然，此方程组有无穷多解。 我们可以得到振动系统处于平衡状态时的一组解即为A1A20 ， 然而更多时候我们关心的是它们的非零解。线性代数告诉我们，齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数行列式等于零，即有：用代数行列式计算法则展开有：42(a d ) (ad bc) 0(3.4)此方程组通常被称为特征方程或频率方程，它确定了所满足的条件，并且这种确定是唯一的。求解得特征根：2 a d a d21 2( 2 ) (ad bc)a d a d22 ( 2 ) bcad2a d2() (ad bc)2ad2(a d)2(2)

39、bc(3.5)1) 固有频率从式(3.5)中研究发现12与22均为正实根，这是由a、b、 c、d 是弹簧刚度和质量的函数并且它们均为正数决定的，不仅如此，12与22还与系统的初始条件无关仅由系统的本身结构和特性决定。与单自由度系统一样我们也将这两者称为固有频率，但与单自由度系统不同的是，二自由度系统有两个固有频率。其中按照固有频率数值大小，我们把数值较小的那一个称为第一阶固有频率并用n1 来表示，把另一个称之为第二阶固有频率并用n2来表示，即由式(3.5)可以取：2adad22()2 bcn1222adad2(3.6)2ad(ad)2bcn222反之亦然。2) 主振型分析为了得到质量块振幅A1

40、 和A2的具体值，我们将n1和 n2代入式(3.3)， 在此可知方程有无穷多组解，所以A1 和A2和具体值我们不能得出，而只能求得两者相应的比值由此我们有：A2(1 )an21cA1(1 )bdn21A2(2)an22cA1(2)bdn22由于 a、 b、c、d 和 n1与 n2是由系统的结构物理特性决定的，则当系统按某一阶固有频率振动时其振幅比也由系统的固有特性来决定，与外界的初始条件无关。这说明了振幅比是常数，即系统在振动过程中各点的相对位置是确定的， 由此振幅比所确定的振动形态与固有频率一样，也是系统的固有特性，所以通常称为主振型或固有振型，用1 和 2来表示，即：12(3.7)那么下面

41、我们来说说主振型的概念，所谓主振型即是系统按某阶固有频率振动时，通过振幅比所决定的振动形态。n1 对应的为第一阶主振型，n2对应的为第二阶主振型，在这一点上又与单自由度系统不同。因而当振动系统以某一阶固有频率作主振型振动时，将这种振动称作系统正在做主振动，由此可知系统的第一阶主振动为：x1(1)A1(1)sin(n1t1 )x(21)A2(1)sin(n1t1 )1 A1(1)sin( n1t1)并且我们有第二阶主振动：x1(2)A1(2)sin(n2t2 )(3.8)(3.9)各点同时经过平衡位置并且振动形式为确定的振型和频率的简谐运动。由以上讨论可知，两自由度振动系统有两阶固有频率，因为每

42、一阶固有频率都有一种简谐运动与之对应，故对于两阶固有频率而言，可能的简谐运动就有两种，由此我们推出，一般情况下的系统的振动应是两种相应简谐振动的叠加。x1x1(2)x1(1)A1(2)sin( n2t 2)A1(1) sin( n1t1)x2x2(2)x2(1)2A1(2) sin( n2t 2 )1A1(1) sin( n1t1)(3.10)在此计算公式中1、2、A1(1)、A1(2) 为由初始条件决定的任意常数，当 t 0时有：x1x10 ,x2x20x1x10 ,x2x20将其代入式(3.10) 可得以下四项：1 arctan2 arctann1 ( 2 x10x20 )2 x10x20

43、n2 ( 1 x10x20 )1 x10x20A1(1)121( 2x10x20)2( 2x10n21x20)(3.11)x2(2)A2(2)sin(n2t2 )1A1(2)sin( n2t 2)( 1x10x20)2( 1x10 2x20)2n22一般情况下的自由振动是两种不同频率的简谐振动的组合，并且它是一种复杂的非周期运动。在特定的条件下，系统才能作主振动。现在我将情况叙述如下：第一阶主振动条件：当 t 0 时 ， 如 果 x10 x20 A ， x10 x200 ， 则 x1 Acos n1t ，x2Acos n1 t 。第二阶主振动条件：t 0 时，如果x20A ，x10A ，x10

44、x200，则x1Asin n2t ，x2Asin n2t 。3.1.2 MATLAB 振动分析两自由度无阻尼自由振动分析如下：1) 两自由度无阻尼自由振动振型分析(见附录2 程序六)程序五运行结果：图 3.2 第一、二阶主振型图操作方法：先输入m1 、 m2的数值，如m1 =0.60、 m2 =1.20再点分析按钮。2) 两自由度无阻尼自由振动分析见附录 2 程序六要想得到一般情况下的振动响应请输入任意x1、 x2的数值。3.3 一般情况下的振动响应图3.4 x10x20时的振动响应图3.5x10x20时的振动响应图3.2 两自由度系统的强迫振动分析3.2.1 建立力学模型现在我们来谈一下强迫

45、振动，要谈好它必须先知道强迫振动的概念，所谓强迫振动就是指在持续性的外激励作用下系统的一种振动运动形式。为讨论强迫振动的一般性质，下面用一个典型的系统进行讨论，这个系统即双质量弹簧系统。图 3.6 二自由度强迫振动模型如图所示质量m2和 m1上分别施有简谐激振力F2 sin t和 F1 sin t， 将广义坐标取为(x1, x2)并取静平衡位置当作坐标原点。那么有运动微分方程如下所示：m1x1 (K1 K2)x1 K2x2F1 sin t(3.12)m2x2 K2x1 K2x2 F2 sin t经过观察发现此方程组是一个二阶常系数线性非其次微分方程组。其其次通解为上面所述两种主振动的叠加，而对

46、于非齐次解而言，我们通过研究发现其为稳定的等幅振动，系统在与激振力相同的频率下作强迫振动，为求解它，我们设特解是x1B1sin t,x2 B2 sin t，其中B1, B2作为振幅是待定常数。将x1、 x2代入上式有：2F1(K1K2 m1 F2K2 B1(K2 m2)B2通过解方程得：(K2 m2 2)F1 K2F2B12221(K1K2 m12)(K2m22)K22(3.13)K2 F1(K1 K2 m1 2 )F2B22222(K1 K2 m12 )(K2m22 )K22)B1K2B2通过上面分析我们可得出如下结论：1) 机械系统的强迫振动的振幅的大小是取决于激振力的幅值F1 和F2和系

47、统本身的物理特性以及激振力的频率并且它与激振频率和固有频率之比的关系很大而与初始条件是没有关系的。在上面公式中，我们令F1F2 0时可求得频率方程：(K1 K2m1K2) K2K2m2 2进一步化简得：(K1K2m1 2 )(K2 m2 2 )K220由此可求得满足频率方程的系统固有频率n2和 n1。由式 (3.13)可见，在n1 或 n2 的情况下，B1、B 2 的分母是零，则此时将发生共振现象且振幅为无穷大。2) 由以上分析可得出两自由度系统的强迫振动的共振频率有两个。由 得振幅比：B1、 B2可系统有一定振型，并且我们有当B1B22K2 F1 (K1 K2 m1 2)F22(K2 m2

48、)F1 K2 F2(BB1) 2B2n1(3.14)n1 或n2 时：K2F11K2F2K2F2 K2 F113.7 两自由度强迫振动响应4 图形用户界面的设计与振动仿真4.1 图形用户界面概论要谈好图形用户界面，我们先来说一说有关用户界面的相关知识，然后由此引出图形用户界面，所谓用户界面是指人与机器间交互作用时，它们之间采用的工具和方法，这些工具和方法诸如我们平常所用的键盘、话筒等，在其基础上我们可知图形用户界面的相关知识，所谓图形用户界面(Graphical UserInterfaces)17即是菜单、窗口、文字说明等对象所构成的一个用户界面。更进一步的，用户也即是我们可以借助一定的方法来

49、将这些图形对象激活，并使计算机产生我们所期望的动作或变化，在此我们就要借助其实现绘图功能。一些人或许会觉得图形用户界面的编写非常简单，其实不然，简单与否都是相对而言的，这点在自己设计界面过程中深有体会，为了让大家比较熟悉的了解图形用户界面的制作过程以及将制作分析过程呈现给大家，我特别的用一章进行了说明， 我相信读者在读的过程中不仅会学到相关知识而且还会体会到它的优越性。4.2 设计图形用户界面(GUI)现在我说说自己设计后的总界面，并以其为例来介绍图形用户界面的设计过程。设计完成后的总界面如下图所示。4.1 图形用户界面总界面为设计出一个好的界面，在设计时一般应遵循简单性、一致性、习常性三个原

50、则。下面我来说说图形用户界面设计的具体步骤：（ 1） 分析出我们要制作的界面所要实现的主要功能，进而明确我们的设计任务。（ 2）良好的设计习惯是成功的一半，我们不要急于在计算机上制作界面，在此我们还要将界面草图在稿纸上绘出，并且我们还要学会转换角度，我们要站在使用者的角度来逐步审查草图。（ 3）下面的操作都在计算机上进行，GUIDE 的启动。在MATLAB 命令窗口输入指令 guide 或单击 MATLAB 工具栏按钮或依次选择FileNewGUI 启动GUIDE Quick Start 界面。（ 4） GUI 模板的选择。在出现的相应对话框（如图 4-2 所示） 中选择 Blanket GU

51、I（ Default） ,这时如图4-3 所示的 GUI 界面窗口便呈现在我们面前。我们接下来的设计工作在此完成。4.2 GUIDE 启动( GUIDE Quick Start )对话框图 4.3 GUI 界面编辑窗口（ 5）设置窗口属性。我们可以通过拖拽来改变界面的大小，通过双击界面打开相应的属性浏览器（如图4.5所示），在其中我们可以设计相关属性。4.4 拖拽更改界面的大小图 4.5 GUI 窗口属性设置（ 6）静态文本的添加。鼠标单击左侧界面的按钮，再将鼠标移动到编辑界面区， 此时鼠标将变成十字状，按住左键不放在适当的位置画出一片区域用以生成文本框。分别设置静态文本框的String 为“济南大学毕业设计”、 “基于 matlab的振动系统仿真”，字体大小、颜色和Tag 等属性见属性浏览器中的设置。结果如图 4.6示。4.6 静态文本的添加（ 7）相应按钮的添加。鼠标左键单击左侧界面的按钮，再将鼠标移动到编辑界面区，此时鼠标将变成十字状，按住左键不放在适当的区域画出一片区域用以生成按钮。在这里要生成三个按钮，相应的String 分别设置为“单自由度振动分析” 、 “二自