高中数学公式大全(完整版)

1、学习必备欢迎下载a b ; 两个函2数 y f (x a)与 y f (b x) 的图象关于直线abx对称 .28. 几个函数方程的周期 ( 约定 a>0)( 1) f (x) f (x a) ，则 f (x) 的周期 T=a；1(f (x) 0)，或 f(x a) f (x)2)， f(x a)f(x)(f(x) 0),则 f(x) 的周期 T=2a；9. 分数指数幂mn1(1) annma10根式的性质a 0,m,n N ，且 n 1 ) .(2)m an1m ( a 0,m,n N ，且 n 1) an1) (n a)n a2)当 n 为奇数时， n an a；当 n为偶数时， n

2、 an |a|a,a 0a,a 0高中数学常用公式及常用结论1. 包含关系A B A A B B A B CUB CU AA CUBCU A B R2 集合 a1,a2, ,an 的子集个数共有 2n 个；真子集有 2n1 个；非空子集有 2n 1个；非空的真子集有 2n2 个.3. 充要条件( 1 )充分条件：若 p q ，则 p 是 q 充分条件 . (2)必要条件：若 q p ，则 p是 q 必要条件 .( 3)充要条件：若 p q ，且 q p ，则 p是 q 充要条件 .注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然4. 函数的单调性(1) 设 x1 x2 a,b ,x1 x

3、2那么(x1x2)f (x1)f (x2)0f (x1)f(x2)0f (x)在 a,b 上是增函数；x1 x2(x1x2)f (x1)f (x2)0f (x1)f (x2)0f (x)在 a,b 上是减函数 .x1 x2(2) 设函数 y f ( x)在某个区间内可导，如果 f (x) 0，则 f (x) 为增函数；如果 f (x) 0，则 f(x)为减函 数.5. 如果函数 f(x) 和 g(x) 都是减函数 , 则在公共定义域内 , 和函数 f (x) g(x) 也是减函数 ; 如果函数y f (u)和 u g(x)在其对应的定义域上都是减函数 ,则复合函数 y fg(x) 是增函数 .

4、 6奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称 ; 反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于 y 轴对称，那么这个函数是偶函数7. 对于函数 y f (x) ( x R ), f (x a) f (b x) 恒成立 , 则函数 f (x) 的对称轴是函数 x11有理指数幂的运算性质ars(a 0,r,s Q) .(3) (ab)rarbr (a 0,b 0,r Q) .(1) ar as ar s(a 0,r,s Q) .(2) (ar)s12.指数式与对数式的互化式 loga N bab N (a 0,a 1,N 0)

5、 .负数和零没有对数， .1的对数等于 0： log a 1 0， .底的对数等于 1： log a a 1，.积的对数：loga(MN) loga M loga N ，商的对数： loga M loga M loga N ， N幂的对数： logaMn nlogaM；logambn n logab am13.对数的换底公式 logaN logmN ( a 0,且a 1, m 0,且m 1, N 0). logma推论 logambn nlogab(a 0,且a 1, m,n 0,且m 1, n 1, N 0). am15. ans1, n 1 ( 数列 an 的前 n 项的和为 sn a1

6、a2an ).sn sn 1,n 216. 等差数列的通项公式 an a1 (n 1)d dn a1 d(n N*) ；n(a1 an ) na1 n(n 1)12 n 1 a1 n a1q1 q (nq a1(11 qqn),q 1或sn na1,q 118. 同角三角函数的基本关系式其前 n 项和公式为 s17. 等比数列的通项公式an其前 n 项的和公式为 snd d n2 (a1 1d)n.2 1 2a11 aqnq,q 1na1,q 12 2 sin sin 2cos21 ， tan =cos 19 正弦、余弦的诱导公式（n 为偶数 ）（n 为奇数 ）n2n ( 1)2 sin ,

7、sin( 2 ) n 12 ( 1) 2 cos ,20 和角与差角公式 sin( ) sin cos cos sin ; cos( ) cos cos sin sin ;tan( )tan tan1 tan tanasin bcos = a2 b2 sin()(辅助角 所在象限由点 ( a, b )的象限决定 , tan b ).a21、二倍角的正弦、余弦和正切公式： sin2 2sin cos 2 2 2 2 2 1 cos2 2 1 cos2 cos2cos2sin22cos21 1 2sin2 ( cos2， sin2)22tan22tan21 tan222. 三角函数的周期公式函数

8、y sin（ x ），xR及函数 y cos（ x ） ，xR（A, , 为常数，且 A0，>0）的周期 T 2 ； 函数 y tan（ x） ， x k ,k Z （A, , 为常数，且 A0，>0）的周期 T .223. 正弦定理sin A sin B sinC24. 余弦定理a2 b2 c2 2bc cos A ; b2 c2 a2 2ca cos B ; c2 a2 b2 2abcosC .11125. 面积定理 Sab sin Cbcsin Acasin B (2).22226. 三角形内角和定理 C A B在 ABC中，有 A B C C (A B) 2C 2 2(A

9、B) .2 2 227. 实数与向量的积的运算律设、为实数，那么(1) 结合律： (a)=( ) a;(2) 第一分配律： (+)a=a+a; (3) 第二分配律： (a+b)=a+b.28. 向量的数量积的运算律：(1) a·b= b·a (交换律) ;(2) ( a)·b= (a·b)= a·b= a·( b);(3) (a+b)·c= a ·c +b ·c. 30向量平行的坐标表示设 a=(x1, y1),b=(x2,y2)，且 b 0，则 a b(b 0)x1y2 x2y1 0.31. a 与 b

10、 的数量积 (或内积 )a·b=| a| b|cos 32. 数量积 a·b等于 a的长度 |a|与 b在 a的方向上的投影 |b|cos的乘积33. 平面向量的坐标运算(1) 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则 a+b= (x1 x2,y1 y2).(2) 设 a=(x1,y1),b=(x2, y2)，(3) 设 A(x1,y1)，B(x2,y2),则 AB OB OA (x2 x1,y2 y1).(4) 设 a=(x, y), R ，则 a=( x, y).(5) 设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则 a·b=(x1x2 y1y2).34.

11、 两向量的夹角公式 cosx1x2 y1y2a=(x1,y1) ,b=(x2,y2).35. 平面两点间的距离公式dA,B =|ABAB AB(x2 x1) (y2 y1) (A ( x1 , y1) ，B(x2,y2).36. 向量的平行与垂直 设 a=(x1, y1), b=(x2,y2)，且 b 0，则A| b b=ax1 y2 x2y1 0.a b(a 0)a·b=0 x 1x2 y1y2 0.37. 三角形的重心坐标公式x1 x2 x3 y1 y2 y3 . G( , ) . ABC 三 个 顶 点 的 坐 标 分 别 为 A(x 1,y 1) 、 B(x 2,y 2 )

12、、 C(x3,y 3 ) , 则 ABC 的 重 心 的 坐 标 是33OC . (2) O为 ABC 的重心OA.OA OB OC 0.设 O为 ABC所在平面上一点，角 A,B,C 所对边长分别为 a,b,c ，则 2 2 2（1） O 为 ABC的外心OA OB（3） O 为 ABC的垂心OA OB OB OC OC38. 常用不等式：1) a,b Ra2b22ab (当且仅当ab 时取“=”号)2) a,b Rabab (当且仅当ab 时取“=”号)23) a b a b a b .39已知 x, y都是正数，则有（ 1）若积 xy是定值 p，则当 x y时和 x y有最小值 2 p

13、；122)若和 x y是定值 s，则当 x y 时积 xy有最大值 s2. 440. 含有绝对值的不等式22当 a> 0 时，有 x ax2 a a x a .xa22xa41.斜率公式 k y2 y1 (P1(x1,y1)、P2(x2,y2) ). x2 x142.直线的五种方程(1)点斜式 y y1 k(x x1) (直线l过点 P1(x1,y1)，且斜率为 k)(2)斜截式 y kx b(b 为直线 l在y 轴上的截距 ).y y1 x x1( 3)两点式( y1 y2)( P1(x1, y1) 、 P2(x2,y2) ( x1 x2 ).y2 y1 x2 x1xy(4) 截距式1

14、( a、b 分别为直线的横、纵截距， a、b 0)ab(5)一般式 Ax By C 0(其中 A、B 不同时为 0).43.两条直线的平行和垂直(1)若l1: yk1xb1，l2: yk2xb2l1|l2k1k2,b1b2;l1l2k1k21.(2)若l1:A1x B1y C1 0,l2:A2x B2y C2 0,且A1、A2、B1、B2都不为零 ,l1 |l2AA21 BB12 CC12 ；l1 l2A1A2 B1B2 0 ；(l1: A1x B1y C1 0,l2: A2x B2y C2 0,A1A2 B1B2 0).直线 l1 l2时，直线 l1 与 l2的夹角是 .2| Ax0 By0

15、 C |45.点到直线的距离 d 0 0(点P(x0,y0),直线 l： Ax By C 0).A2 B246. 圆的四种方程(1)圆的标准方程(x a)2(yb)2r2 .( 2)圆的一般方程x2 y2DxEyF 0( D2E24F >0).47. 直线与圆的位置关系直线 Ax By C0与圆 (xa)2(yb)2r 2的位置关系有三种 :d r 相离0; dr相切0;Aa Bb Cd r 相交0. 其中 d.A2 B248. 两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为 O1， O2，半径分别为 r1，r 2， O1O2 ddr1r2外离4条公切线 ; d r1r2外切3条公切线 ;r1r

16、2dr1 r2相交 2条公切线; dr1 r2内切 1条公切线0 d r1 r2内含 无公切线 .49. 圆的切线方程(1) 已知圆 x2 y2 Dx Ey F 0 (2) 已知圆 x2 y2 r 2 2过圆上的 P0(x0,y0) 点的切线方程为 x0x y0y r2;x2 y2x acos50. 椭圆 2 2 1(a b 0)的参数方程是 .a2 b2y bsin2251. 椭圆 x2 y2 1(a b 0)焦半径公式 a2 b252椭圆的的内外部2aPF1 e(x )， PF ce(2 a x) .c1)点 P(x0,y0)在椭圆2)点 P(x0,y0)在椭圆22xy2 2 1(a b

17、0) 的内部 ab22 xy2 2 1(a b 0) 的外部 ab22 xy 53.双曲线 2 2 1(a 0,b 0) 的焦半径公式a2 b254. 双曲线的方程与渐近线方程的关系22 2xyx22 1 渐近线方程： 2PF122x0 y02 2 1.a2 b222x0 y02 2 1.ab2|e(x a )|， PF22|e(a x)|. c(1 )若双曲线方程为aba byb xxy0双曲线可设为aab222y21有公共渐近线， 可设为x2y2b2a2b255. 抛物线 y2 2px 的焦半径公式(2) 若渐近线方程为2x2aby x.a2y.2. b22(3) 若双曲线与 x2a20

18、，焦点在 x 轴上，0 ，焦点在 y 轴上).2抛物线 y2 2px(p 0) 焦半径 CFx0 2p过焦点弦长 CD x1 2 x2 256. 直线与圆锥曲线相交的弦长公式x1 x2 p.AB (x1 x2)2 (y1 y2)2 或x2 | 1 tan2|y1 y2| 1 cot2 (弦端点 A(x1,y1),B(x2,y2) ，由方AB (1 k2)(x2 x1)2 |x1 y kx b 2消去 y 得到 ax2 bx c 0，0, 为直线 AB 的倾斜角， k为直线的斜率) .F(x,y) 0a=b57(1) 加法交换律： ab=ba(2) 加法结合律： (ab)c=a(bc)(3) 数

19、乘分配律： (ab)=ab 59 共线向量定理 对空间任意两个向量 a、b(b0 )，ab 存在实数 使P、A、B三点共线AP | AB AP tAB OP (1 t)OA tOB .60. 向量的直角坐标运算 设 a(a1,a2,a3)，b (b1,b2,b3)则(1) ab(a1 b1,a2 b2,a3 b3) ；(2) a b (a1 b1,a2 b2,a3 b3) ； (3) a ( a1, a2, a3) ( R)； (4) a·b a1b1 a2b2 a3b3 ；61.设 A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则 AB OB OA= (x2 x1,y2 y1,z

20、2 z1). 62空间的线线平行或垂直r r rrr r设 a (x1,y1,z1)， b ( x2, y2,z2) ，则 aba b0 x1x2y1y2z1z20.a1b1 a2b2 a3b363. 夹角公式设 a(a1,a2,a3)，b (b1,b2,b3)，则 cosa，b=22 222 2.a12a22a32b12b22b32rr64异面直线所成角 cos |cos a,b |= |ra br|r|x1x2 y1y2 z1z2 |a| |b|x12 y12 z12 x22 y22 z22其中 (0o90o )为异面直线 a,b所成角， ar,br 分别表示异面直线 a,b的方向向量)6

21、5.直线 AB 与平面所成角arc sin A|AB|m|m（m 为平面 的法向量 ）.66.二面角l 的平面角arc cos m n 或 arc cos m n （ m， n为平面 ， 的法向量） .|m|n| |m|n|134. 空间两点间的距离公式若 A(x1,y1,z1) ，B(x2,y2,z2) ，则 dA,B =| AB| AB AB(x2 x1) (y2 y1) (z2 z1) .67. 球的半径是 R，则其体积 V 4 R3 ,其表面积 S 4 R2 3(3) 球与正四面体的组合体 :棱长为 a 的正四面体的内切球的半径为126 a,外接球的半径为12168V柱体Sh （ S

22、是柱体的底面积、369. 分类计数原理（ 加法原理） N m1 m2mn .n！h是柱体的高） .V锥体6a.41Sh（ S是锥体的底面积、 h 是锥体的高）3m N*，且 m n ) 注:规定 0! 1.70. 排列数公式 Anm=n（n 1） （n m 1）=.（ n，（n m）！Anm = n（n 1） （n m 1） =n！Amm1 2 mm！（n m）！（1） Cnm=Cnn m ;（2） Cnm+Cnm 1=Cnm1.注:规定 Cn0 Cnm n m 1Cnm 1;（2）Cnmn Cnm1;（3）Cnmm n m73. 排列数与组合数的关系 Anm m！Cnm .74单条件排列以下

23、各条的大前提是从n 个元素中取 m个元素的排列 .（1）“在位”与“不在位”某（特）元必在某位有 An 1 种；某（特）元不在某位有An An 1An 1 Am 1An 1 （着眼元素）种 .（ 2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）定位紧贴： k（k m n） 个元在固定位的排列有 Akk Anm kk 种.浮动紧贴： n个元素的全排列把 k 个元排在一起的排法有 Ann kk 11Akk种.注：此类问题常用捆绑法； 插空：两组元素分别有 k、 h 个（ k h 1 ），把它们合在一起来作全排列， k 个的一组互不能挨近的所有排 列数有 Ahh Ahk 1种.（3）两组元素各相同的插空m 个大球

24、n 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？An当 n m 1 时，无解；当 n m 1时，有 mn1 Cmn 1 种排法 .An（4）两组相同元素的排列：两组元素有m 个和 n 个，各组元素分别相同的排列数为75分配问题（1）71. 组合数公式 Cnm72. 组合数的两个性质155. 组合恒等式 （1）N Cmn(2) NCmnn( nN*， m N ，且 m n ).n Cnm11 ; m补集思想）n4)Cnr =2n ;r0An1 1Anm11（着眼位置）Cmn n .（平 均分组有 归属问 题 ）将相异 的 m 、 n 个物 件等 分给 m 个人 ，各得Cn Cn C n Cn （

25、mn）! .Cmn n Cmn 2nC2n Cn m .mn n mn 2n 2n n（n!）m（平均分组无归属问题 ）将相异的 m· n个物体等分为无记号或无顺序的m堆，Cmnn n Cmnn 2n. C2nn Cnn（mn）! .m!m!（n!）m .3）（非平均分组有归属问题 ）将相异的 P（P=n1+n2+ +nm）个物体分给 m 个人，物件必须被分完， 分别得到 n1，n 件 ，其 分配方法 数共有其分配方法数共有n2 ，nm件，且n1，n2，nm这m个数彼此不相等， 则其分配方法数共有NCpn1 Cnp2 n1.Cnnmmm!p!m!n1 ! n 2!. n m !76.

26、二项式定理 (a b)n Cn0an C1nan1b Cn2an 2b2Cnran rbrCnnbn ;二项展开式的通项公式 Tr 1 Cnran rbr (r 0，1，2 ，n).77.n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率 Pn(k) CnkPk (1 P)n k.78.离散型随机变量的分布列的两个性质( 1) Pi 0(i 1,2, ); (2) P1 P21.79. 数学期望 Ex1P1 x2P2xnPn80. 数学期望的性质( 1) E(a b) aE( ) b.(2)若 B(n, p),则E np .2 2 281. 方差 Dx1Ep1x2Ep2xnEpn标准差 = D

27、.82.方差的性质 (1) D a b a2D ；(2)若 B(n,p)，则 D np(1 p).83. f(x)在(a,b)的导数f(x) y dydflim ylim f(xx)f(x).dxdxx 0 xx 0x84. 函数 y f (x) 在点 x0处的导数的几何意义函数 y f(x)在点 x0处的导数是曲线 y f (x)在P(x0, f ( x0 )处的切线的斜率f (x0) ，相应的切线方程是y y0 f (x0)(x x0) .85. 几种常见函数的导数(1) C 0 (C为常数) .(2) (xn)' nxn 1(n Q) .(3) (sin x) cosx .1 x 1 x x x x(4) (cos x )sinx (5) (ln x)；(log ax)(6) (ex) ex; (ax) axlna.x xlna86. 导数的运算法则' ' ' ' ' ' u ' u