第3章-刚体转动

1、精选优质文档-倾情为你奉上第3章 刚体的转动学习指导一、基本要求1. 理解描述刚体定轴转动的物理量，明确角量和线量的关系。 2. 理解力矩转动惯量和角动量的概念，掌握其计算方法。 3.熟练掌握刚体定轴转动定律，并能应用它求解定轴转动刚体和质点联动的问题。时的角动量守恒定律。 4. 掌握力矩的功、刚体的转动动能、重力势能的计算方法，能正确的应用转动动能定理和机械能守恒定律。刚体的一般运动(可看做由平动和转动的合成)刚体的平动(刚体内各点的运动状态相同)刚体力学刚体的定轴转动定轴转动中的功能关系刚体定轴转动的动力学规律:1. 力矩：力矩是改变刚体转动状态的外因。刚体绕定轴转动时，力矩可表示为代数量

2、。2. 转动惯量：转动惯量是物体转动惯性大小的量度。其值取决于物体的形状，质量分布和轴的位置。3. 冲量矩： 4. 角动量：5. 转动定律：6. 角动量定理： 7. 角动量守恒定律：若 则刚体对这一定轴的角动量保持不变。即 角动量守恒定律不仅适用于宏观物体，也适用于微观粒子的运动过程，是自然界的一个普遍的规律。 定轴转动的运动规律表征刚体定轴转动的物理量:角位移: 角速度 :角加速度: 匀变速转动公式:角量与线量的关系: 有关物理量:转动动能:力矩的功:刚体的重力势能: 力学规律刚体转动的动能定理对于包括有刚体的系统,如果在运动过程中,只有保守力做功,则该系统的机械能守恒。二、知识框架图 三、

3、知识要点1. 重点（1）理解和掌握力矩、转动惯量、转动动能和角动量等有关转动的概念。（2）熟练掌握刚体定轴转动定律和角动量守恒定律及其应用。2. 难点（1）对角动量概念的理解。（2）当系统中既有刚体又有质点时，如何正确应用有关定理守恒定律解决此类综合性力学问题的方法。四、基本概念及规律 1刚体的基本运动及其描述（1）刚体定轴转动：指刚体内所有的质元都绕同一固定的转轴作圆周运动。刚体平面平行运动：指刚体上每一质元均在与某平面相平行的平面内运动。（2）描述刚体定轴转动的角量角坐标 用确定刚体的方位。角位移 质点在时间内的角坐标的变化量。角速度 质点在时间内的角坐标的变化率，记为角速度的方向用右手法

4、则判定：把右手的拇指伸直，其余四指弯曲，使弯曲的方向与刚体转动的方向一致，此时的拇指方向就是的方向。角加速度 角速度的瞬时变化率，记为 角量与线量的关系为匀速定轴转动公式匀变速定轴转动公式 与质点的匀变速直线运动规律相似。2转动定律（1）力矩 其中 r 是定点O 到力F 的作用点的矢径，M 的方向为矢积的方向，M 的大小为 在定轴转动中，r、F均在转动平面内，所以力矩的方向总是沿转轴方向，这时力矩可表示为代数量。（2）转动惯量J 描述刚体在转动中的惯性大小的物理量。 当质量连续分布时转动惯量J的地位与平动中的质量m的地位相当。转动惯量与刚体的总质量和质量分布有关，还与转轴的位置有关。平行轴定理

5、若两轴平行，其中一轴通过质心C，则刚体对两轴的转动惯量有如下关系其中JC为刚体对通过质心C的轴的转动惯量，d为两平行轴之间的间距。（3）转动定律 刚体绕定轴转动时，刚体的角加速度与它所受合外力矩成正比，与转动惯量成反比。即式中 均相对于同一转轴。转动定律是解决刚体定轴转动问题的基本方程。3力矩的时间累积效应（1）质点的角动量、角动量定理和角动量守恒定律质点的角动量L 其中r为质点相对所选参考点O的位矢。角动量L的方向为矢积的方向，L的量值为若质点在半径为r的圆周上运动时，角动量L的量值为冲量矩 力矩对时间的积累。等于力矩M与作用时间dt的乘积，记为质点的角动量定理 对同一参考点O，质点所受的冲

6、量矩等于质点角动量的增量。即式中L1和L2分别为质点在时刻t1和t2对参考点O的角动量，为质点在时间间隔t2t1所受冲量矩，这里的力矩和角动量必须是对同一参考点O而言的。质点的角动量守恒定律 当质点所受对参考点O的合力矩为零时，质点对该参考点O的角动量为一恒矢量。即（2）定轴转动刚体的角动量、角动量定理和角动量守恒定律定轴转动的角动量 式中J、w 分别是刚体绕同一固定轴的转动惯量与角速度。定轴转动的角动量定理 当转轴给定时，作用在物体上冲量矩（角冲量）等于角动量的增量。即若在力矩作用的时间内，转动惯量随时间改变，上式写为这里的力矩和角动量必须是对同一固定转轴而言的。定轴转动的角动量守恒定律 如

7、果物体所受的合外力矩等于零，即，则刚体的角动量保持不变。即4力矩的空间累积效应（1）力矩的功 （2）力矩的功率 （3）刚体转动动能 （4）定轴转动的动能定理 合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能的增量。即5刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动是刚体质心的平动和绕质心转动的合成运动。如图3-1所示。COxCvAAwCq图3-1xr（1）质心运动的运动学关系式（2）刚体的平面平行运动的动力学关系式质心运动方程 转动定律 刚体的动能 刚体的势能 刚体的机械能守恒定律 当只有保守力作功时，刚体的机械能守恒。即常量五、解题指导及解题示例在本章中要重点掌握转动定律角动量守恒定律机械能守恒定律

8、等规律求解简单刚体（如滑轮杆）的定轴转动问题。例3-1 一转动惯量为的砂轮，在外力矩的作用下做定轴转动，式中为砂轮转过的角位移。已知时，。试求：（1）时砂轮的动能和角动量；（2）前内外力矩对砂轮所做的功及冲量矩。解 （1）由转动定律可得 对上式分离变量积分得 将式改写为并积分 得砂轮的运动方程 将代入得角速度为 时，砂轮的动能、角动量分别为 （2）由动能定理求得前内外力矩对砂轮所做的功为或由力矩功的定义式求出此功由角动量定理求得前内外力矩对砂轮的冲量矩为简注 本题的关键是求出砂轮在任意时刻的角速度，由此可容易地求出砂轮的动能和角动量，而力矩的功可由动能定理或其定义式进行计算，冲量矩用角动量定理

9、求得。求解砂轮在任意时刻的角速度时，由于是的函数，积分变量要进行相应的代换，并要注意积分上下限的确定。例3-2 如图3-2所示，滑轮的转动惯量为，半径为，弹簧的劲度系数，重物质量为。当此滑轮­重物系统从静止开始启动，开始时弹簧没有伸长。如摩擦可忽略，问物体能沿斜面滑下多远？ 图3-2解 选重物和滑轮为研究对象，当滑块下滑时，由牛顿定律和转动定律得 其中，由角量和线量关系得 联立、式解得 将代入式分离变量并进行积分令， 得物体沿斜面下滑的距离为根据题意，舍去l = 0 （初始状态）简注 本题是一个典型的刚体与质点刚性连接的联体问题，通常采用隔离法。对平动物体应用牛顿定律列方程，对定轴转

10、动物体应用转动定律列方程，然后由题意找出线量与角量的关系，联立求解即可。例3-3 如图3-3图3-3M、lOq所示，一长为、质量为m的均质细杆，可绕其一端的水平光滑固定轴转动，将杆从水平位置静止释放，试求转到任一角度q 时杆角加速度及角速度。解1 如图所示，作定轴转动的杆受到重力mg和轴力N的作用，但只有重力产生力矩，根据定轴转动定律，有 解得任一角度q 时杆的角加速度由可化为任一角度q 时杆的角速度为或者由机械能守恒定律求出角速度，因下摆过程只有重力作功，系统的机械能守恒。取杆水平位置时为零重力势能点，Oa）qvm2m1l简注 本题属变力矩情况，故a =a （q ），体现出转动定律的瞬时性。

11、在由a求w的积分中需要进行变量代换dt®dq。结果表明，a µ cosq，w µ sinq。当q = 0时：w = 0，a=3g/（2l）（最大值）；当q =p2时：（最大值），a = 0。例3-4 如图3-4a所示，一长l = 0.4m，质量m1 = 1.00kg的均质细杆，可绕水平光滑固定点O在铅直面内摆动，另一质量为m2 = 8g的子弹，以速度v = 200m/s水平射入细杆的下端，并留在杆中，求细杆开始上摆时的角速度及最大偏转角.解 子弹射入细杆的过程极短暂，可认为细杆仍处于竖直位置，在子弹和细杆所组成的系统中，系统的外力为子弹、细杆所受重力b）vm2lO

12、qm1图3-4及轴的支撑力，但这些力对轴O均无力矩，故系统的角动量守恒。系统上摆过程中，只有重力作功，系统的机械能守恒，选取细杆处于竖直位置时子弹的位置为势能零点解上式可得细杆上摆的最大偏转角为 简注 碰撞过程系统无外力矩的作用，系统的角动量守恒；上摆过程只有重力（重力矩）作功，满足机械能守恒定律。最常见的错误是子弹与杆碰撞过程用动量守恒，即 ，上式为什么错了呢？原因是碰撞时轴O对杆在水平方向的作用力不能忽略，所以不满足动量守恒的条件，但该力对点O的力矩为零，因此以O为参考点的角动量守恒；如果将杆换成软绳系一质量为m1的重物如图3-4b，则轴O对绳的作用力只能沿绳的方向，碰撞瞬间水平方向作用力

13、为零，这才有水平方向上的动量守恒。图3-5w0例3-5 如图3-5所示，质量为m，半径为R的均质圆盘，角速度为，不计轴承处的摩擦，若空气对圆盘表面单位面积的摩擦力正比于该处的线速度，即（为常数）求：（1）所受的空气阻力矩M等于多少？（2）盘在停转前所转过的圈数N等于多少？解 （1）圆盘转动时，所受摩擦力连续分布在盘的上、下表面上，将圆盘分成许多的圆环形的面元，其面积，圆盘所受阻力矩就是 （2）根据转动定律，阻力矩使圆盘减速，即获得负的角加速度。则，有式种负号表示阻力矩。将上式分离变量后积分所以圆盘在停转前所转过的圈数为简注 本题由于摩擦力连续分布在盘的上、下表面的各面元处，而各面元距转轴距离不等，即力臂不等，故需用积分法求总阻力矩。而计算出的空气阻力矩M与w有关，根据转动定律，进一步列得圆盘转动中的微分方程，通过积分求出结果。例3-6 一匀质圆球从静止开始沿一粗糙斜面纯滚动而下，斜面倾角为，球从上端滚到下端球心高度相差为。计算小球滚到下端时质心的速度和转动角速度。解1 应用质心运动定律和转动定理求解。圆球受力如图3-6所示，图中为球受到的静摩擦力。质心加速度为aC，球对质心转动的角加速度为，由质心运动定律和转动定律得 aC图3-6mgfCNayx将代入，联立解上述方程得 由匀加速运动公式得质心的速度解2 应用机械能守恒定律求解。因小球在滚动中