直角三角形的判定 (2)

1、直角三角形的判定直角三角形的判定14.1 14.1 勾股定理勾股定理直角三角形有直角三角形有哪哪些性质？些性质？ (1)有一个角是直角；有一个角是直角； (2)两个锐角的和为两个锐角的和为90(互余互余 )； (3)两直角边的平方和等于斜边的平方两直角边的平方和等于斜边的平方 ； 反之反之,一个三角形满足什么条件，一个三角形满足什么条件， 才能是直角三角形呢才能是直角三角形呢?回顾回顾思考思考: :(1)有有一个角是直角一个角是直角的三角形是直角三角形；的三角形是直角三角形； (2)有有两个角的和是两个角的和是90的三角形是直角三角形；的三角形是直角三角形； (3)如果一个三角形的三边如果一个

2、三角形的三边a ,b ,c 满足满足a2 +b 2=c2 , 那么这个三角形是直角三角形那么这个三角形是直角三角形?一个三角形应满足什么条件才能是直角三角形一个三角形应满足什么条件才能是直角三角形? ?据说据说, ,古埃及人曾用下面的方法画直角：古埃及人曾用下面的方法画直角： 他们用他们用1313个等距的结巴一根绳子分成等长的个等距的结巴一根绳子分成等长的1 1段段, ,一个工匠同时握住绳子的第一个工匠同时握住绳子的第1 1个结和第个结和第1313个个结，两个助手分别握住第结，两个助手分别握住第4 4个结和第个结和第8 8个结，拉个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形紧绳子，就会得到一个直角三

3、角形, ,其直角在第其直角在第4 4个结处。个结处。试一试试一试画一个画一个ABCABC，使它的三边长分别为：，使它的三边长分别为：、6cm6cm、8cm8cm、10cm10cm（单行同学做）（单行同学做）、5cm5cm、12cm12cm、13c13c（双行同学做）（双行同学做） 猜想：猜想：大边所对的角是什么角？大边所对的角是什么角？ 问：三边之间有什么关系？问：三边之间有什么关系？ 你知道这是什么道理吗？你知道这是什么道理吗？勾股定理：勾股定理：如果直角三角形两直角边分别如果直角三角形两直角边分别为为a，b，斜边为，斜边为c，那么，那么 。a a2 2 + b+ b2 2 = c= c2

4、2逆定理：逆定理：如果三角形的三边长如果三角形的三边长a、b、c满满足足 ，那么这个三角形是，那么这个三角形是直直角角三角形。三角形。a a2 2 + b+ b2 2 = c= c2 2反过来反过来互逆命题互逆命题: 两个命题中两个命题中, 如果第一个命题的题设是第二个命题如果第一个命题的题设是第二个命题 的结论的结论, 而第一个命题的结论又是第二个命题的题而第一个命题的结论又是第二个命题的题 设设,那么这两个命题叫做那么这两个命题叫做互逆命题互逆命题. 如果把其中一个叫做如果把其中一个叫做原命题原命题, 那么另一个叫做它那么另一个叫做它 的的逆命题逆命题. 互逆定理互逆定理: 如果一个定理的

5、逆命题经过证明是真命题如果一个定理的逆命题经过证明是真命题, 那么也那么也 是一个定理是一个定理, 这两个定理叫做这两个定理叫做互逆定理互逆定理, 其中一个其中一个叫叫 做另一个的做另一个的逆定理逆定理.已知：已知：如下图如下图，在，在 ABCABC中中，AB=c,BC=aAB=c,BC=a，AC=b,aAC=b,a2 2+b+b2 2=c=c2 2. .ABCABC证明：作证明：作A A B B C C ，使，使 C=C=9090， B BC C=a=a，A AC C=b,=b,则则A AB B2 2=a=a2 2+b+b2 2=c=c2 2即即 AB=c在在ABC和和 ABC中，中，BC=

6、a=BC， AC=b=AC, AB=c=AB ABC ABC C= C=90求证：求证：C=90C=90 分析：分析：根据勾股定理的逆定理根据勾股定理的逆定理, 判断一个三角形是不判断一个三角形是不是直角三角形是直角三角形, 只要看只要看两条较小两条较小边长的边长的平方和平方和是否等于是否等于最大最大边长的平方边长的平方. 判断由线段判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形组成的三角形是不是直角三角形? (1) a=15，b=17，c=8; (2) a=13，b=15，c=14 解解:(1)最大边为最大边为17 152+82=225+64 =289172 =289 152+82 =17

7、2 以以15, 8, 17为边长的为边长的三角形三角形是是直角三角形直角三角形 (2)最大边为最大边为15 132+142=169+196=365152 =225 132+ 142 152 以以13, 15, 14为边长为边长的三角形的三角形不是不是直角三角形直角三角形 像像15,17,8,能够成为直角三角形三能够成为直角三角形三条边长的三个条边长的三个正整数正整数，称为，称为勾股数勾股数. 下面以下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角为边长的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一个角是直角？三角形？如果是那么哪一个角是直角？(1) a=25 b=20 c=15 _ _ ;(2) a=13

8、b=14 c=15 _ _ ;(4) a=9 b=40 c=41 _ _ ;是是是是不是不是 是是A=90B=90C=90(3) a=1 b=2 c= _ _ ;3例例4 已知已知ABC，AB=n2_1，BC=2n，AC=n2+1(n为大于为大于1的正整数的正整数)。试问。试问ABC是直角三角形是直角三角形吗？若是，哪一条边所对应的是直角三角形？吗？若是，哪一条边所对应的是直角三角形？解：解： AB2+BC2=(n2-1)2 +(2n)2(n是大于是大于1的正整数的正整数)=n42n2+1+4n2=n4+2n2+1=(n2+1)2=AC2ABC是直角三角形是直角三角形,边边AC所对应的角是直角

9、。所对应的角是直角。如果如果ABC的三边长分别为的三边长分别为 a,b,c,且且a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2(mn,m,n是正整数是正整数,则则ABC是直角三角形是直角三角形 解：解： a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2(mn,m,n是正整数）是正整数）a2+b2=(m2-n2)2+(2mn)2=m4-2m2n2+n4+4m2n2=m4+2m2n2+n4=(m2+n2)2=c2ABC是直角三角形。是直角三角形。试一试试一试1. 满足下列条件满足下列条件ABC,不是直角三角形的是不是直角三角形的是( ) A.b2=a2-c2 B. a:b:c=3:4:5 C.C=A-B D. A:B : C =3:4:5D2.下列各组线段中下列各组线段中,能组成直角三角形的是能组成直角三角形的是(