数学竞赛辅导材料(非数学专业组)(135006)(2)

1、2011年数学竞赛辅导材料（非数学专业组）中国大学生数学竞赛（非数学专业类）竞赛内容一、函数、极限、连续1 函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立.2 函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性.3 复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数.4 数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限.5 无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较.6 极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限.7 函数的连续性（含左连续与右连续）、函数间断点的类型.8 连续函数的性质和初等函数的连续性.9 闭区间上连续函数的性质(有界

2、性、最大值和最小值定理、介值定理).二、一元函数微分学1. 导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线.2. 基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性.3. 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法.4. 高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n阶导数.5. 微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理.6. 洛必达(LHospital)法则与求未定式极限.7. 函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线)、函数图形的描绘.8. 函数

3、最大值和最小值及其简单应用.9. 弧微分、曲率、曲率半径.三、一元函数积分学1. 原函数和不定积分的概念.2. 不定积分的基本性质、基本积分公式.3. 定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式.4. 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法.5. 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分.6. 广义积分.7. 定积分的应用：平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值四.常微分方程1. 常微分方程的基本概念：微分方程及其解、阶、通解、初始条

4、件和特解等.2. 变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利(Bernoulli)方程、全微分方程.3. 可用简单的变量代换求解的某些微分方程、可降阶的高阶微分方程： .4. 线性微分方程解的性质及解的结构定理.5. 二阶常系数齐次线性微分方程、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程.6. 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程：自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积7. 欧拉(Euler)方程.8. 微分方程的简单应用五、向量代数和空间解析几何1. 向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积.2. 两向量垂直、平行的条件、两向量的夹角.

5、3. 向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦.4. 曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程.5. 平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和点到直线的距离.6. 球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次曲面方程及其图形.7. 空间曲线的参数方程和一般方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程.六、多元函数微分学1. 多元函数的概念、二元函数的几何意义.2. 二元函数的极限和连续的概念、有界闭区域上多元连续函数的性质.3. 多元函数偏导数和全微分、全微分存在的必要条件和充分条件.4. 多元复合函数、隐函数的求导法.

6、5. 二阶偏导数、方向导数和梯度.6. 空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线.7. 二元函数的二阶泰勒公式.8. 多元函数极值和条件极值、拉格朗日乘数法、多元函数的最大值、最小值及其简单应用.七、多元函数积分学1. 二重积分和三重积分的概念及性质、二重积分的计算(直角坐标、极坐标)、三重积分的计算(直角坐标、柱面坐标、球面坐标).2. 两类曲线积分的概念、性质及计算、两类曲线积分的关系.3. 格林(Green)公式、平面曲线积分与路径无关的条件、已知二元函数全微分求原函数.4. 两类曲面积分的概念、性质及计算、两类曲面积分的关系.5. 高斯(Gauss)公式、斯托克斯(Stokes)公式

7、、散度和旋度的概念及计算.6. 重积分、曲线积分和曲面积分的应用(平面图形的面积、立体图形的体积、曲面面积、弧长、质量、质心、转动惯量、引力、功及流量等)八、无穷级数1. 常数项级数的收敛与发散、收敛级数的和、级数的基本性质与收敛的必要条件.2. 几何级数与p级数及其收敛性、正项级数收敛性的判别法、交错级数与莱布尼茨(Leibniz)判别法.3. 任意项级数的绝对收敛与条件收敛.4. 函数项级数的收敛域与和函数的概念.5. 幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）、收敛域与和函数.6. 幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)、简单幂级数的和函数的求法.7. 初等函

8、数的幂级数展开式.8 函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数、狄利克雷(Dirichlei)定理、函数在上的傅里叶级数、函数在上的正弦级数和余弦级数第一部分 一元函数极限与连续 一、一元函数的极限1. 利用函数与其极限的关系（ ，其中）2. 利用等价无穷小代换思考题：设具有二阶导数，且，试求，及.3. 利用夹逼准则思考题：（求周期函数的均值）设为定义在R上以T为周期的连续函数，且，求证；若，求.思考题：证明.4. 利用导数定义思考题：设满足，且，求.5. 利用泰勒中值公式思考题：求.6. 利用积分中值定理思考题：求，其中是上的连续函数，.二、 数列极限类型1至6同函数极限类型1思考题：

9、已知在处可导，、为趋于零的正数数列，求.思考题：已知在处可导，且，求.类型6思考题：求.7. 利用定积分定义 思考题：求. 思考题：求.8. 夹逼准则与定积分定义相结合 思考题：求.9. 利用数项级数的部分和 思考题：求. 思考题：证明存在.10. 利用级数收敛的必要条件思考题：求，求.三、无穷小阶的比较1. 方法：利用常见的等价无穷小代换 利用泰勒公式 上述两种方法结合2. 思考题当时，试确定下列无穷小的阶数 当时，与为同阶无穷小，求.四、一元函数的连续性思考题：对于函数，点是（ ）.(A)连续点 (B)第一类间断点 (C)第二类间断点 (D)可去间断点 第二部分 一元函数微分学1.若，则极

10、限 .2.设其中则 .3.设函数若要为可导函数，应如何选择4.设求5试从求出和6求函数的导数.7求函数的导数.8已知函数在的某个邻域内有连续导数，且试求及9设求10设在上连续，在内可导，且证明在内至少存在一点，使这里为任意实数.11.设在上二阶可导，且当时，证明在内方程有且仅有一个实根.12.设求证：(1)对于任何自然数，方程在区间中仅有一根.(2)设满足，则13.若的二阶导数存在，求极限14.设在上具有连续的二阶导数，且证明是常数.15.求极限为自然数.16.设在内二阶可导，求17.求数列的最大项（已知）.18.求曲线的凹凸区间及拐点.19.求曲线的曲率，曲率半径及最大曲率.20.已知证明2

11、1.已知函数在点的某领域内连续，且则在点处（ ）.(A)不可导； (B)可导，且；(C)取得极大值； (D) 取得极小值.22.设其中在点处连续（为自然数）.(1)证明在点处可导，并求导数；(2)若研究在点处的极值.23设函数满足方程求函数的极大值和极小值.24.证明当时，25设证明26证明：当时，第三部分 一元函数积分学1 设函数f (x)与g(x)在a , b上连续且都大于零，则在区间a , b上由曲线y = f (x)，y = g(x)所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积为(A) .(B) .(C) .(D) . 2 对于广义积分，下列结论正确的是(A) 当p > 1时

12、，收敛.(B) 当p < 1时，收敛.(C) p取任意实数都收敛.(D) p取任意实数都发散. 3设f (x)在0 , 1上可微，且f (0) = 0，.证明：4 求5 有一在原点处与x轴相切并在第一象限的光滑曲线，P(x , y)为曲线上的任一点. 设曲线在原点与P点之间的弧长为，曲线在P点处的切线在P点与切线跟y轴的交点之间的长度为，已知，求该曲线方程.6 设一底半径为r，高为h的圆锥形容器被隔成左右对称不相连通的两部分，右半部分盛满水. 若把右半部分的水抽到左半部分，使容器左半部分的水的体积是右半部分的七倍，求抽掉右边那部分水所需作的功.7 设曲线，求自原点到此曲线右边第一条垂直于

13、x轴的切线之间的弧长8 设f (x)为连续的偶函数，且，令，则(A) .(B) .(C) .(D) . 9 设f (x)在-p , p上连续，且，求f (x).10 设函数f (x)满足方程，且由曲线y = f (x)，直线x = 1与x轴所围成的平面图形D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积最小，求D的面积.11 设y = f (x)是在0 , +¥)上可导的正函数，且满足，求f (x).12 设有一质量为M，长为l的均匀杆AB，一质量为m的质点C位于杆AB的中垂线上，且与AB的距离为a.(1) 求杆AB对质点C的引力.(2) 当质点C在杆AB的中垂线上从C点移向无穷远处时，求克服引力所

14、作的功.13 求微分方程的一个解y=y(x)，使得由曲线y=y(x)与直线x=1,x=2以及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体体积最小.14 设f(x)满足 , 其中D是以(-1, -1), (1, -1)和(1,1)为顶点的三角形区域，且f(1)=0,求 15 16 17 求18 过坐标原点作曲线y=lnx的切线，该切线与曲线y=lnx及x轴围成平面图形D.(1) 求D的面积A;(2) 求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积V.19 曲线C的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线与分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)具有

15、三阶连续导数，计算定积分20 连续函数y=f(x)在区间3，2，2，3上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间2，0，0，2的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设则下列结论正确的是(A) . (B) . (C) . (D) 21 设函数f(x)在区间a,b上连续，且在（a,b）内有.证明：在(a,b)内存在唯一的，使曲线y=f(x)与两直线y=f(),x=a所围平面图形S1是曲线y=f(x)与两直线y= f(),x=b所围平面图形面积S2的3倍.22 计算下列极限: (1); (2)(p>0); . (3);. (4), 其中f(x)连续; (5). (6) (7) 23 设p>

16、;0, 证明24 设f(x)为连续函数, 证明25 设f(x)在区间a, b上连续, g(x)在区间a, b上连续且不变号. 证明至少存在一点xÎa, b, 使下式成立 26 .(1)证明: (2)证明27 半径为r的球沉入水中, 球的上部与水面相切, 球的比重与水相同, 现将球从水中取出, 需作多少功?28 边长为a和b的矩形薄板, 与液面成a 角斜沉于液体内, 长边平行于液面而位于深h处, 设a>b, 液体的比重为r, 试求薄板每面所受的压力.29 设在可积，证明在上可积，且30 设在连续，不恒为零，证明.31 在连续，证明在上恒为零32 证明下列不等式（设所给的积分存在）

17、； (1) ； (2) ； (3) ； (4) .33 证明：(1) ； (2) .34 设在连续，且，求证：.35 设在连续，求证：，而且等号成立当且仅当(或)，其中为常数。36 设在连续，求证：，而且等号成立当且仅当(常数).37 设在连续且单调递增，求证：函数，在上连续且单调递增38 设在所示区间上是连续函数，证明：(1) ；(2) 39 设在时连续，对任意，积分值与a无关，求证：（c为常数）40 讨论下列积分的收敛性:(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) 41 求下列积分（1） （2） （3）（4），其中，求递推形式解。提

18、示 （6）令或，作换元积分。42 证明：若在上连续，f二阶可导，且，则有提示 记，由f为凸函数，从而有说明 本题指出了在所给条件下，先复合而后积分平均与先取积分平均而后复合两者之间的大小关系，当时，不等式反向。43 证明下列命题：（1）若f在a,b上连续、递增，则，在a,b上亦递增。（2）若f在上连续，且，则 在上为严格递增函数，若要在上亦为严格递增，试问应补充定义提示 （1）通过验证在上，且F在点a右连续。（2）通过验证在上；应补充定义的值。44 设f在上连续，且提示 先证在所设条件下f在上必定有界，令，再令，并分别证明；，其中说明 本题的意义是，在极限存在的条件下，在上的积分平均值即等于A

19、，然而此命题不可逆（反例可由下面第4题容易得出）。45 设f是定义在上的一个连续周期函数，周期为p，证明提示 ，使；并随之有然后分别证明；46 证明：连续的奇函数的一切原函数皆为偶函数；连续的偶函数的原函数中只有一个是奇函数。提示 设，则f的一切原函数为，C为任意常数。当f为奇函数时，验证；当f为偶函数时，验证只有当C=0时满足*47 设f上的一个连续、递减函数，；又设证明为收敛数列。提示： 当时，于是有，48 证明下列不等式：（1）（2）提示 （1）利用时有（2）利用49 计算下列反常积分的值：（1）（2）提示 （3）。经变换，可得。（4）经变换，化为（1）。*50 设在上连续，。试证：若，

20、则第四部分 空间解析几何1求过且与曲面的所有切平面皆垂直的平面方程。2求过直线并且与平面交成二面角为的平面方程。3求过点且与直线垂直并相交的直线方程。4求直线在平面上的投影直线的方程，并求绕轴旋转一周所成曲面的方程。5求经过点，平行于平面，并且与直线，相交的直线方程（t为参数）。6求曲面，在YOZ平面上的投影曲面方程。7求两直线，的公垂线的方程。8记曲面在区域上的最低点处的切平面为，曲线在点处的切线为，求点到上的投影的距离。9求曲线与的距离。10设第五部分 多元函数微分学1证明函数在原点处沿各个方向的方向导数都存在，但它在该点不连续，因而不可微。2验证函数 在原点连续且可偏导，但除方向和（）外

21、，在原点的沿其它方向的方向导数都不存在。3证明在处连续且偏导数存在，但偏导数在处不连续，而在原点可微。4设，求5设，若及，证明：6函数满足，及。求的表达式。7设具有二阶连续导数，且，求8设由确定，求9已知函数f(u)具有二阶导数，且，函数由方程所确定，设，求10设，确定使得满足方程。11设具有连续偏导数，且，求。12设具有连续偏导数，且，。如果，求。13设，其中具有连续导数，且，求。14设函数满足 ，试求函数的表达式。15设函数在内具有二阶导数，且满足等式.（I）验证；（II）若，求函数的表达式. 16设，是可微函数，若，证明仅为的函数，其中17设，其中具有二阶连续偏导数，具有二阶连续导数，求

22、。18设具有二阶连续偏导数，证明的充分必要条件是（）19求函数的阶麦克劳林公式，并写出余项。（查阅二元函数的泰勒（Taylor）公式）20设具有二阶连续偏导数。在极坐标变换下，求关于极坐标的表达式。21通过自变量变换 变换方程。22设，而是由方程所确定的的隐函数，其中和都具有连续偏导数。证明23设椭球面上点处指向外侧的法向量为，求函数在点处沿方向的方向导数。24证明曲面的所有切平面都过某一定点，其中函数具有连续偏导数。25设具有连续偏导数，且。进一步，设为正整数，为次齐次函数，即对于任意的实数和，成立。证明：曲面上所有点的切平面相交于一定点。26求函数在点沿，在此点的切线方向上的方向导数。27

23、求内接于椭球面的最大长方体的体积。28证明：旋转曲面上任一点处的法线与旋转轴相交。29 试证曲面()上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于。30求函数在区域上的最大值和最小值。31设z=z(x,y)是由确定的函数，求的极值点和极值.32求二元函数的极值33求曲线: 的、及在点( 1, 1, 1 )的切线与法平面方程。34证明函数有无穷多个极大值点，但无极小值点。第六部分 多元函数积分学重积分专题1、设是平面上以，和为顶点的三角形区域，是在第一象限的部分，则（ ）（A）（B）（C）（D）02、计算3、利用对称性计算，其中为闭区域4、设连续，由确定，试求，其中。5、设函数在上连续，且满足方程

24、，求。6、设在可导，：，。求。7、设函数在上连续，且满足，求。8、改变积分次序9、交换积分次序10、计算11、设为所围的平面图形，求。12、：，计算13、计算，：，14、已知两个球的半径分别是和，且小球球心在大球球面上，试求小球在大球的那部分的体积。15、设锥面被平面截下的（有限）部分为，求的面积。16、设有一个半径为的球体，是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到的距离的平方成正比（比例常数），求球体的重心位置。17、证明，其中思考：证明，其中18、设，均为上的连续增函数，。证明：19、设是上的连续函数，证明20、作适当的变换，计算，其中是由两条双曲线和，直线和所围成的在第一象限

25、内的闭区域。21、求区域的面积，是由曲线所围成的第一象限部分的闭区域22、设，其中：，则在极坐标下的二次积分为 23、设是由与，所围成的平面区域，求。24、设，为，则。25、设域是，试证明不等式：线面积分专题1、计算曲线积分。(1) 是正向圆周 ，(2) 是正向曲线。2、计算，其中。3、设曲线的方程为，一质点在力作用下沿曲线从点运动到点，力的大小等于点到定点的距离，其方向垂直于线段，且与轴正向的夹角为锐角，求力对质点所作的功。4、计算曲面积分，其中是球面的外侧。5、计算，为球壳的外表面6、计算，其中为圆周。7、设是顺时针方向的椭圆，其周长为，则 8、应用高斯公式计算三重积分，其中是由，与所确定的空间区域。9、求，其中是球面与柱面的交线，的方向规定为沿的方向运动时，从轴正向往下看，曲线所围球面部分总在左边。（提示：斯托克斯公式）10、设函数在闭区域上有二阶连续偏导数，且，证明：。11、设曲线，证明：12、设曲面为球面，是空间中任意一点，计算曲面积分，其中，。第七部分 级数、微分方程（一）级数部分1、 已知数列收敛，也收敛，求证：收敛。2、 设，试判别级数的敛散性。3、 设级数条件收敛，极限存在，求的值，并举出满足这些条件的例子。4、