18-19第3章31313两角和与差的正切

1、2.3.1.3两角和与差的正切学习目标：1.能利用两角和与差的余弦公式、正弦公式推导出两角和与差的正切公式.(重点)2.掌握两角和与差的正切公式的变形使用，能利用公式进行简单的求值、化简等.(重点、难点)自主预习探新知两角和的正切公式/、tana+tan8Ta+6：tan(a+猫=.i.白.'1tanotan8两角差的正切公式tanatan8Ta俱tan(a。=:；.1+tanotanB思考：你能举出几个两角和与差的正切公式的变形式吗？提示(1)tana+tan片tan(a+(1tanotantana+tan6(2)1tanotan片.tan(a+6)(3)tana+tan阡tanot

2、an6tan(a+,=tan(计tana+tan6(4)tanotan片1.tan(a+6)基础自测判断(正确的打“/”，错误的打“x”)存在R,使tan(a+3=tana+tan6成立.()1-tanotan&都成业-()tana+tan6tana+tanB(3)tan(a+,=(2)对任怠a,R,tan(a+=.xx务价丁tana+tanAtan(a+9(1tandan.()1tanotan。解析(1)当a=0,片须寸，tan(计f)=tanQ+3=tan0+tan但一般情况卜不成立.两角和的正切公式的适用范围是a,6,a+阡k兀+2«Z)且tanacos阡1.兀一兀一兀

3、一.、，*,、一.当萨S+(keZ),阡E+2(kCZ),a+阡E+(kCZ)时，由前一个式子两边同乘以1tanotan6可得后一个式子.答案(1)V(2)x(3)V2.若tana=3,tan则tan(a一食等丁(3【导学号：79402121A.C.-31一3tan(aB.3D.34二=1.tanatan61+tanotan6+3、433.设tana=!，tan且角6为锐角，贝Ua+6的值是23111一+一2十3=11=1,1-2X3解析tana=2，tantana+tantan(a+f)=1tandan6乂a,6均为锐角，即a,0,.L0<a+倒兀，贝Ua+片4.合作探究攻重难利用公式

4、化简求值例康求下列各式的值：01的an75。由15；品tan75；(3)tan23+tan37+V3tan23tan37.0思路探究把非特殊角转化为特殊角(如)及公式的逆用(如)与活用(如(3),通过适当的变形变为可以使用公式的形式，从而达到化简或求值的目的.解(1)tan15=tan(4530)共-tan45-tan30+tan45tan75-33y31+tan45tan30?1亟一3+£一”'1十31-,3tan750Ttan75V3+tan75=1+乎tan75tan30tan751tan30tan75=tan(3075)=tan(45)=tan45二一1.tan(23

5、+37)=tan60tan23+tan37=也1-tan23tan370tan23+tan37=3(1tan23tan37)°,原式=相(1tan23tan37)°+例an23tan37=g规律方法1.公式Ta+6,Ta-6是变形较多的两个公式，公式中有tandan6,tana+tan氏或tanatan队tan(a+3(或tan(a9).三者知二可表示或求出第三个.1. 一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换.1. 跟踪训练求下列各式的值：cos75二sin750cos75+sin75；0tan36+°tan84-由tan36tan84.0【导学号：794

6、02122!1tan75解(1)原式=1+tan75tan45二tan75=tan(45二75)=tan(-30。)一tan30马3(2)原式=tan120(1-tan36tan84)-例an36tan840=tan120tan120tan36tan84/3tan36tan840=tan120=V3.条件求值(角)问题例囚如图3-1-2,在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角a,6,它们的终边分别与单位圆相交丁A,B两点，已知A,B的横坐标分别为等,譬求tan(a+食的值；(2)求计20的值.图3-1-2思路探究先由任意角的三角函数定义求出cosa,cos6,再求sin%sin6,

7、从而求出tana,tan6,然后利用T汁日求tan(a+队最后利用a+2A(a+6,求tan(a+2日进而得到a+26的值.解由条件得2cosa=10,COs6=5，.sina10,sin65,1-tana=7,tan6=?.1tana+tan6(1)tan(a+,=7+2_=1=一3.1tanotan6_7、1(2)tan(a+23=tan(a+6)+gtan(a+6汁tan63+2=，c=1，1tan(a+闵tan61_(3)X1：g6为锐角，.0<a+2片3f,a+2片手1. 规律方法通过先求角的某个三角函数值来求角.2. 选取函数时，应遵照以下原则：3. 已知正切函数值，选正切函

8、数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数.若角的范围是：0,2皆可；若角的范围是(0,兀)选余弦较好；若角的范围为(一2,2给值求角的一般步骤：求角的某一三角函数值；(2)确定角的范围；根据角的范围写出所求的角.,选正、余弦选正弦较好.跟踪训练2.(1)已知农此兀sin质5，求tan(a+：勺值;7t(2)如图3-1-3所示，三个相同的正方形相接，试计算a+6的大小.图3-1-3一3一4解(1)因为sina=5，且如叫所以cos咛一5,3sin如3所以tana=cosa=4=4,-5故tan,.J、tana+tan项44尸tT1tanotan1-4+11J3卜7.(2)由题图可知tana=.,

9、tan片s，且a,6均为锐角,32tana+tan6.tan(a+f)=11=1.1tandanB1_1v1132.一一、.一兀-a+氐(0,兀)计A4.公式的变形应用探究问题1. 判断三角形的形状时，都有哪些特殊三角形？提示根据三角形的边角关系，常见的特殊三角形有等边三角形、等腰三角形、锐角三角形、直角三角形、钝角三角形等.2. 在ABC中，tan(A+B)与tanC有何关系？提示根据三角形内角和定理可得A+B+C=兀，A+B=兀一C,.tan(A+B)=tan(C)=tanC.，例田已知zABC中，tanB+tanC+寸3tanBtanC=寸3,且“tanA+寸3tanB+1=tanAta

10、nB,判断ABC的形状.思路探究化简条件t求出tanA,tanC-求出角A,C-判断形，犬.解由tanA=tanE(B+C)tan(B+C)tanB+tanC寸3V3tanBtanC=一«3.tanBtanC1tanBtanC1而0<A<180°,A=120°.tanA+tanB由tanC=tan兀一(A+B)=tanAtanB1tanA+tanB巫V3tanA+山tanB3'而0<C<180°,C=30,B=30°.ABC是顶角为120°的等腰三角形.规律方法公式Ta+6的逆用及变形应用的解题策略“1

11、”的代换：在Ta+6中，如果分子中出现“1”常利用,1tana=tan1+tan1=tan45来代换，以达到化简求值的目的,J3应（,简=y3tan:计4）（2）整体意识：若化简的式子中出现了“tanodtan俄及“tanatan矿两个整体,常考虑tan（od。的变形公式.母题探究：（变条件）例题中把条件改为“tanB+tanC-J3tanBtanC=a/3,且,结果如何?3A+苛tanB+1=tanAtanB3解由tanA=tan兀一(B+C)tanB+tanC=一tan(B+C)=tanBtanC1V3tanBtanC寸3厂=y3.tanBtanC1乂0°<ZA<18

12、0°,所以ZA=60°.由tanC=tan兀一(A+B)tanA+tanBtanA+tanB_tanAtanBTtanA+质anB'乂0°<ZC<180°,所以ZC=60,所以ZB=60.所以ABC是等边三角形.当堂达标固双基tan75二tan15°1.1+tan75tan15亏()A.-/Ba/2C.-V3Da/3D原式=tan(75-15)=tan60=>/3.2.设角0的终边过点（2,3）,则tan任一；j=（）B.C.5D.-5由丁角0的终边过点（2,3）,因此tan0=3,故tan丫一：j=tan卜11+tan05,选A.tan10tan20+"(tan10干tan20)等丁()A.乎B.1C.3D.6B原式=tan10tan20+寸3tan30(1tan10tan20)°=tan10tan20+1tan10°tan20=1.、上件也一tan1504计算1%3tan15=.也