二项式定理知识点总结材料

1、实用标准文档二项式定理一、二项式定理：(a+bf =C0an+C：anb十一 +Ckanbk+C：bn (nw N")等号右边的多项式叫做a bn的二项展开式，其中各项的系数Ck (k = 0,1,2,3n)叫做二项式系数。对二项式定理的理解：(1)二项展开式有n+1项(2)字母a按降哥排列，从第一项开始，次数由 n逐项减1到0；字母b按升哥排列，从 第一项开始，次数由 0逐项加1到n(3)二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数a, b,等式都成立，通过对 a,b取不同的特殊值，可为某些问题的解决带来方便。在定理中假设a = 1, b = x ,则n 0 n 1k n -kn n(

2、1+xj =Cnx +Cnx十+Cnx+Cnx (nN )(4)要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式(a + bn展开，得到一个多项式；另一方面，也可将展开式合并成二项式a b n二、二项展开式的通项：丁=C：an”bk二项展开式的通项 Ti=Ckan&bk (k=0,1,2,3 门)是二项展开式的第 k+1项，它体现了二项展开式的项数、 系数、次数的变化规律， 是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项(如含指定哥的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等)及其系数等方面有广 泛应用对通项 Tk+ =Ckan&bk (k =0,1,2,3 n)的理解：(1)字母b

3、的次数和组合数的上标相同(2) a与b的次数之和为n(3)在通项公式中共含有 a,b, n,k,Tk由这5个元素，知道4个元素便可求第5个元素1 23n . 1n例 1. Cn +3Cn +9Cn + 3 Cn 等于 ()/o n c 4n4n -1A. 4 Bo 3 4 Co -1 D.33例2. (1)求(1+2x)7的展开式的第四项的系数；1(2)求(x-)9的展开式中x3的系数及二项式系数，x三、二项展开式系数的性质：对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即0_n 1_n12_ pn -2k_n_kn n , n n ,n n ,n n ,增减性与最大值：

4、在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。n如果二项式的哥指数是偶数，中间一项的二项式系数最大，即 n偶数：(C：max=Cn2；n 1n ：11如果二项式的哥指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并最大， 即(ck:max = cn7 = cn 二项展开式的各系数的和等于 2n,令a=1, b=1即c0+cn +C； =(1+1)n =2n；奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，令a = 1, b = 1即 c0 +c： +=c： +c；+=2n例题：写出(x y)11的展开式中：(1)二项式系数最大的项；(2)项的系数绝对值最大的项；(3)项的系数最大的项和系数最小

5、的项;(4)二项式系数的和；(5)各项系数的和四、多项式的展开式及展开式中的特定项(1)求多项式(a1 +a2 +an)n的展开式，可以把其中几项结合转化为二项式，再利用二项式定理展开。1例题：求多项式(x2 +- -2)3的展开式x(2)求二项式之间四则运算所组成的式子展开式中的特定项，可以先写出各个二项式的通 项再分析。例题：求(1+x)2 (1 x)5的展开式中X3的系数例题：(1)如果在的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的24 x有理项。求(x+1-2'3的展开式的常数项。X J【思维点拨】求展开式中某一特定的项的问题时，常用通项公式，用待定系数法确定k五、展开式的

6、系数和求展开式的系数和关键是给字母赋值，赋值的选择则根据所求的展开式系数和特征来定例题：已知(12x)7 = a0+a1x+a2x2+|+a7x7,求：(1)ai+a2+III+a7；(2)a1+23+25+27；(3)| a。|+ | a |+|+| a? |.六、二项式定理的应用：1、二项式定理还应用与以下几方面：(1)进行近似计算2n >2n(n >3,ne N )取 2n =(1 +1 7 的展开式(2)证明某些整除性问题或求余数(3)证明有关的等式和不等式。如证明:中的四项即可。2、各种问题的常用处理方法（1）近似计算的处理方法当n不是很大，| x |比较小时可以用展开式

7、的前几项求（1 + x）n的近似值。例题：（1.05）6的计算结果精确到 0.01的近似值是（）A. 1.23B. 1.24C. 1.33D. 1.34（2）整除性问题或求余数的处理方法解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式用二项式定理处理整除问题，通常把哥的底数写成除数的倍数与某数k的和或差的形式，再利用二项式定理展开，这里的k通常为±1,若k为其他数，则需对哥的底数k再次构造和或差的形式再展开，只考虑后面（或者是某项）一、二项就可以了要注意余数的范围，对给定白勺整数a,b（b #0），有确定的一对整数 q和r，满足a =bq + r ,其中b为除数，r为余数，r e 0

8、, b】，利用二项式定理展开变形后，若剩余部分是负数，要注意转换成正数例题：求201363除以7所得的余数例题：若n为奇数，则7n +C：7n'+C27n二+C：，7被9除得的余数是（）A. 0 Bo 2Co 7D.8例题：当nW N且n>1,求证2c(1+1)n <3 n【思维点拨】 这类是二项式定理的应用问题，它的取舍根据题目而定综合测试一、选择题：本大题共.12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.1.在（x _城3）0的展开式中，x6的系数为（）A. -27c6oB. 27C4oC 一 9C：。D. 9c402,已知a

9、+ b a 0,b =4a, （a + b n的展开式按a的降帚排列，其中第n 项与第n+1项相等，那么正整数n等于A. 4B. 9C. 10( )D. 11_13.已知（ja +才亍）的展开式的第三项与第二项的系数的比为 .a11 ： 2,贝U n 是（）A. 10B. 11C. 124. 5310被8除的余数是A. 1B. 2C. 35. (1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是A. 1.23B, 1.24C. 1.33D. 13()D. 7()D. 1.3411、6.二项式2jx+'l （nW N）的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此展开式后理项的项数是A. 1B

10、. 2C. 3( )D. 4117.设（3x3 +x2 ）n展开式的各项系数之和为t,其二项式系数之和为h,若 t+h=2 72,贝UM#式的x2项的系数是( )A. 1B. 1C. 22D. 38.在（1+x x2）6的展开式中x5的系数为( )A. 4B. 5C. 6D. 79.（3/1+5/I）n展开式中所有奇数项系数之和等于1024,则所有项的系数中最大的值是( )A. 330B. 462C. 680D. 79010. （Jx+1）4（x 1）5的展开式中，x4的系数为( )A. 40B. 10C. 40D. 45511,二项式（1+sinx）n的展开式中，末尾两项的系数之和为7,且系

11、数最大的一项的值为-,则x在0, 2兀内的值为（）5- f 2 ：_ f 5 .a. 6或 §b- 6或 "6"c -33D- -3 或 -612 .在（1+x）5+（1+x）6+（1+x）7的展开式中，含x4项的系数是等差数列an=3n5的 （）A.第2项B.第11项 C.第20项D.第24项二、填空题：本大题满分 16分，每小题4分，各题只要求直接写出结果 .13 . （x2 2）9展开式中x9的系数是 . 2x_ 414 .右（2x+n'3）=a0+ax+ +a4x, 则（a0+a2 +a4）-（a1+a3）的值为.32 n15 .若（x +x ）的

12、展开式中只有第 6项的系数最大，则展开式中的常数项是 16 .对于二项式（1-x） 1999 ,有下列四个命题：展开式中 T1000 = 一 C1999x ；展开式中非常数项的系数和是1;展开式中系数最大的项是第1000项和第1001项；当x=2000时，（1-x） 1999除以2000的余数是1.其中正确命题的序号是 .（把你认为正确的命题序号都填上） 三、解答题：本大题满分 74分.17 . （12分）若（W+J）n展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列. ? x（1 ） 求n的值；（2）此展开式中是否有常数项，为什么？18.（12分）已知（1+2x）n的展开式中前三项的二项式系数的

13、和等于37,求展式中二项4式系数最大的项的系数.19. （12分）是否存在等差数列 bn,使a1C0n +a2cn +a3c2 + an41C： = n，2n对任意n WN*都成立？若存在，求出数列 an 的通项公式；若不存在，请说明理由.20. （12分）某地现有耕地100000亩，规划10年后粮食单产比现在增加 22%,人均粮食占 有量比现在提高10%。如果人口年增加率为 1%,那么耕地平均每年至多只能减少多少 亩（精确到1亩）？21. （12分）设f（x）=（1+x）m+（1+x）n（m、n N ）,若其展开式中，关于x的一次项系数为11,试问：m、n取何值时，f（x）的展开式中含x2项的系数取最小值，并求出这个最小值 .22. (14分)规定C；