自考04184线性代数(经管类)讲义

1、自考高数线性代数课堂笔记第一章 行列式线性代数学的核心内容是：研究线性方程组的解的存在条件、解的结构以及解的求法。所用的基本工具是矩阵，而行列式是研究矩阵的很有效的工具之一。行列式作为一种数学工具不但在本课程中极其重要,而且在其他数学学科、乃至在其他许多学科（例如计算机科学、经济学、管理学等）都是必不可少的。1.1行列式的定义（一）一阶、二阶、三阶行列式的定义注意：在线性代数中，符号 总不是绝对值例如 IN=5,且 1_51=_5；q=（2）定义：符号b止叫二阶行列式,a b=ad-be它也是一个数，其大小规定为：匚 d所以二阶行列式的值等于两个对角线上的数的积之差。（主对角线减次对角线的乘积

2、）1 2= lx4-2x3 = -2例如知勺鬥妬52 二乃虬巾（3）符号込 g 5叫三阶行列式，它也是一个数，其大小规定为碍*勺鬥為5 + 圧务巧+ &0伍2 - QjCj1 2 34 5 6例如= 11x5x9 + 4x8x3+7 x2x67 x5x3 4x2x9 Ix6x8=o三阶行列式的计算比较复杂，为了帮助大家掌握三阶行列式的计算公式，我们可以采用下面的对角线法记忆=為 6 4-他#&2毎厲- 外印方法是：在已给行列式右边添加已给行列式的第一列、第二列。我们把行列式左上角到右下角的对角线叫主对角线，把右上角到左下角的对角线叫次对角线，这时，三阶行列式的值等于主对角线的三

3、个数的积与和主对角线平行的线上的三个数的积之和减去次对角线三个数的积与次对角线的平行线上数的积之 和。例如:（1）=1X5X9+2X6X7+3X4X8-3 X5X7-1 >6X8-2 X4X9=0(2)Qt K G0肛a0 0 !二二饶為风乞 + 対乂勺 xO+X OxO-CjXxO-jXQx=円為s(3)fit0 0ftt 001 &| o人0/, A】< «4i G) b、 tj=dtjxXc3 十OxOxdtg十爲OxZ?2x0乂鸟0x（7axc3=煜禹勺（2）和（3）叫三角形行列式，其中（2）叫上三角形行列式，（3）叫下三角形行列式，由（2） （3） 可见

4、，在三阶行列式中， 三角形行列式的值为主对角线的三个数之积，其余五项都是0,例如2 130 31 =2x 3x（-2） =-120 03 001 -2 0 =3x(-2) x4=-242 M 42 0 00 30 = 2x3x(-l) = -60 0-12例1 a为何值时，答疑编号10010101 :针对该题提问x-142-2XX例2当x取何值421所以 8-3a=0,时>0时,答疑编号10010102 :针对该题提问解：=1+4-A 4 + 2 (-2) 2-2 X 4(x 1)a2 4 (2) -1 x+16x_8 8x_4- 2x 4- 8=-F +9z=a(9 - x) >

5、 0= (j-l)x l+4 x-4 + 2 (-2)-2-2 x 4(x 1)a2 4 (2) -1 x+16x_8 8x_4- 2x 4- 8二-F +%=a(9 - x) > 0解得 0<x<9所以当0<x<9时，所给行列式大于 0（二） n阶行列式1）知符号：务1 口心仏它由n行、n列元素（共"个元素）组成，称之为n阶行列式。其中，每一个数 称为行列式的一个 元素，它的前一个下标i称为行标，它表示这个数“：在第i行上；后一个下标j称为列标，它表示这个数 在第j列上。所以叫在行列式的第i行和第j列的交叉位置上。为叙述方便起见，我们用（i,j）表示这

6、个位置。n阶行列式'通常也简记作讥。n阶行列式D*二呀用也是一个数，至于它的值的计算方法需要引入下面两个概念。(1 )在n阶行列式中，戈卩去它的第i行和第j列，余下的数按照原来相对顺序组成的一个(n-1)阶行列式叫元素I的余子式，记作例如，在三阶行列式D3 =爲吆邑相似地, 所以中，/一的余子式川？表示将三阶行列式二划去第1行和第1列后，余下的数按照相对位置组成的二阶 行列式，所以一的余子式a3.表示将三阶行列式 二:划去第二行和第三列后，余下的数组成的二阶行列式。11，求:(1) :答疑编号10010103 :针对该题提问(2)答疑编号10010104 :针对该题提问(3) _：答疑

7、编号10010105 :针对该题提问(4) - .：j答疑编号10010106 :针对该题提问3|3fi-40 = -4(3)8(4)解(1)%(2)27-12 = 15(#)8(4)(#)8(4)24- 35 = -1 1-8-8-0(2)符号-上叫元素的代数余子式定义：I 1：(系数其实是个正负符号)(#)8(4)例2 求例1中：.的代数余子式（1）'.J答疑编号10010107 :针对该题提问（2）答疑编号10010108 :针对该题提问（3）答疑编号10010109 :针对该题提问（4）二答疑编号10010110:针对该题提问解:（ 1）二二Ai = （f 1 严 Mj； （-

8、DX=（-1）（-4） = 4（2）*；.二':地】（严颯二-岖1二-口（3）'<-；： I -A? =（-1 严皿口 二皿口 = -11（4）血=（T严町=_松=0（如果符号是奇数，等于相反数；如果是偶数，等于原数）计算i?. L；：_：_ （以上两组数相等）答疑编号10010111 :针对该题提问解：l311A1 +t321Al + 碼 lA1=知(-1严陌+ 阳(-l)a+1Afai +flai l)3+1AGi-叫1陆-知岖1 +勺1陆11213=如（如筑-如如）-砌】（如知-知切）亠如2如%）12233 +°垃3也1 +知卫口口厲的爲左-如旳 1 如1

9、52231由于GuG忖 ti>e u Qpb G“ £tQmG沁G畀1CmG”久-=口护22乜+flufta如+如如転132231 瓯谭2B码7 一如阳1偽3与例3的结果比较，发现这一结果说明：三阶行列式:等于它的第一列的元素与对应的代数余子式的积的和，这一结果可以推广到n阶行列式作为定义。定义：n阶行列式=知令十勺1禺+H位理&即规定n阶行列式：的值为它的第一列的元素与相应代数余子式的积的和，上面结果中因为所以有6 =如-勺少凯+也座男+ + (-T)K+1特别情形D3 =的1山1 - aM21 +31M31例4计算下列行列式答疑编号10010112:针对该题提问00

10、(1)如 14a23a24空砌o %=nAi 十令 jAi+5i Ai +<iAi=dtn4i+o x Ai+x Ai +0x£h二知如口曲44由本例可见四阶上三角形行列式的值也等于它的主对角线各数之积坷】0鬥2叫口 23叫4A =00g000a44a5(2)0000a55答疑编号10010113:针对该题提问012a22曲4L/JJD5 =00细各000两4%0000=11A1 +也1占21 + 佝 41 + a41Al + 141=Oj4 +0 十o 十o+o=珀肱H + 0+ 0 + 0 + 0如0a25= aU-00%000=庄沪护4*55可见五阶上三角形行列式的值仍等

11、于它的主对角线各数之积“二：一*：;'一,一,一般地可推得Gii Qe 即任意n阶上三角形行列式的值等于它的主对角线各数之积左二：-同理有00 .0*210 .0-=an2 " am%备 .%1.2行列式按行（列）展开在1.1节讲n阶行列式的展开时，是把 "，按其第一列展开而逐步把行列式的阶数降低以后，再求出其 值。实际上，行列式可以按其任意一行或按其任意一列展开来求岀它的值。现在给出下面的重要定理，其证明从略。定理1.2.1 （行列式展开定理）n阶行列式口 =陶x等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数 余子式的乘积之和，即。二两儿+如血+ +嶋心（i=1,2

12、,n（ 1.8）或A' （j=1,2,n）（1.9）其中，：是元素=：在D中的代数余子式。定理1.2.1 （行列式展开定理）n阶行列式'一等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数 余子式的乘积之和，即（i=1,2，,n（1.8）或-'二厂八、二二二（j=1,2,n（1.9）其中，7是元素小在D中的代数余子式。（1.8 ）式称为D按第i行的展开式，（1.9）式称为D按第j列的展开式，这里i,j=1,2, 上述展开定理也可以表示成d3 =nAi 十 Ai + 如禺=十金曲血 十金為比二 141 a2i22 + 拆23刈3=知41十。葢Al "*也M玉(2)41

13、=fluAi +%4i+如吗 1+a*Ai =皿总/口 +金2222 +爲2卷2 +皿42凡2 二毋厶3 +Q列虫23 +爲33十岳凡3=如占14 +知&1 +知吗4 +砌4耳4 =如坷1 +%血+如血+的*吗4atq +么2222 +么2了"23 + 4-24 -d31Al +如禺+令3玉+也弭禺二 41A1 +%凡彳 + 口柑&3 + a4lA*0 o044例5计算答疑编号10010201 :针对该题提问解：由于第一行或第四列所含零最多，故可按第一行展开(解题技巧)D °1l41 +12 4 +。1?4事 +°b*£*'.&#

14、39;an =an =alA = 0.-.D= auMn+ 0+0 + 0% 0 o二%。竝如 °% 知 44可见四阶下三角形行列式的值也等于它的主对角线各数之积 例5的结果可推广为12-1D* =00302003例6计算1121答疑编号10010202 :针对该题提问解：由于第2行含0最多，所以应按第二行展开我们称这种行列式为下三角行列式（可任意取值的元素在主对角线的下面）2二砌141 +母卫丄处+23413 +#加4电*21 =。箔二 24 二 °D* =0 + 0 +d茁+ 0 = aM=-3二-孔也】+ 22-22 + 屈-孔-切比爼+ 0-衍M茁2 -1 11 2

15、|1 -2 .-3.>= -3-2x3-3x(-l)J=9010000002000D6 =00030000004Q000005例7计算600000答疑编号10010203 :针对该题提问解：将上"按第6行展开得D&二l4l + %'452 +%人事+兔+兔3咼3 +陽&握庁 =F必0=-6x1 x2x 3x4x5=-61例8计算（i）答疑编号10010204 :针对该题提问解：按第4行展开D =找取 + 0 +0+0二 aA 141(2)针对该题提问答疑编号10010205 :解：将D按第一行展开D 旳 i4i +0 + 0 + czwj414s d 0

16、0 S ®巾勺 00勺包0 0/厶00=4= 鬥£ 筋也一妇巾）一幽厶（场巾-鸟臼）（重新分组后得岀）=（碍£ 一（爲巾_辰）1.3行列式的性质与计算因为n阶行列式是n!项求和，而且每一项都是n个数的乘积，当n比较大时，计算量会非常大，例如,10!=3628800。所以对于阶数较大的行列式很难直接用定义去求它的值，这时利用行列式的性质可以有效地解决行列式的求值问题。下面我们来研究行列式的性质，并利用行列式的性质来简化行列式的计算。1.3.1行列式的性质将行列式D的第一行改为第一列，第二行改为第二列 第n行改为第n列，仍得到一个n阶行列式, 这个新的行列式称为 D的

17、转置行列式，记为或二。即如果5 % " %111 勺】"'% 打T二牝 a22知 则 氐 " %性质1行列式和它的转置行列式相等，即一 或如ai2亠%21亠气1左21如=知axl£皿切a曲根据这个性质可知，在任意一个行列式中，行与列是处于平等地位的。凡是对行”成立的性质，对列” 也成立；反之，凡是对 列”成立的性质，对行”也成立。所以只需研究行列式有关行的性质，其所有结论 对列也是自然成立的。（运用最多）性质2用数k乘行列式D中某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于 kD。这也就是说, 行列式可以按某一行和某一按列提出公因数：an an &qu

18、ot; %11 如"'%灿i炖z - 叽-jt皑%=kDaxlajt2%证 将左边的行列式丄i按其第i行展开以后，再提岀公因数 k，即得右边的值:A辰吗=上乞吗注意 如果行列式有多行或多列有公因数，必须按行或按列逐次提岀公因数。2 55 I6 4 10.例1计算行列式：3615答疑编号10010206 :针对该题提问2 552 5 52 5 16 4 10=2x3x3 2 5=2x3x53 2 1解3 6 1512 51 2 1=30 （4+6+5-2-4-15）=30 （-6） =-180在例1的计算过程中，我们先提岀第二行的公因数2和第三行的公因数3，得到第一个等号右边的

19、式子，然后提岀这个行列式中第三列的公因数5，把行列式中各元素的绝对值化小以后，再求岀原行列式的值。abacaebd-cdde例2bfcf一时答疑编号10010207 :针对该题提问-ab ac ae-bee-1 1 1bd -cd-b -c &-abedf1 -1 1bj cj -ejb c -e1 1 -1因为-11-1111一 111-1111-111T=一1）十1十1一（一1）一（一1）（一1）二、三行分别提岀了公因子 b,c,e，化简后再求出其值。所以原式=4abcdefa,d,f,第二个等号左边的这里是把上式第一个等号左边的行列式的第一、行列式的第一、二、三列分别提岀了公因子

20、-a例3计算行列式:-c 00 a b0 -aD =-a 0 c= M)3a 0 -c-b -c 0b c 010010208 :针对该题提问在行列式D的每一行中都提出公因数（ 答疑编号-1）并用行列式性质1可以得到因为行列式D是一个数，所以 由D= -D，可知行列式D=0。是反对称行列式,则它满足条件（运用最多）性质3互换行列式的任意两行（列），行列式的值改变符号。 即对于如下两个行列式XX有f - 1根据这个性质可以得到下面的重要推论：推论 如果行列式中有两行（列）相同，则此行列式的值等于零。因为互换行列式D中的两个相同的行（列），其结果仍是D，但由性质3可知其结果为-D，因此D=-D，

21、所以D=0。性质4如果行列式中某两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零。证 设行列式D的第i行与第j行的对应元素成比例，不妨设第 则j行元素是第i行元素乘以k得到的,11由于将行列式D中第j行的比例系数k提到行列式的外面来以后，余下的行列式有两行对应元素相同, 因此该行列式的值为零， 从而原行列式的值等于零。明。行列式中某两列元素对应成比例的情形可以类似地证例4 验算x=3是否是方程/« =答疑编号10010209 :针对该题提问解：因为=0 x=3是方程f（x）=0的根。性质5行列式可以按行（列）拆开，即=0的根。（第二行与第四行成倍数）426611k1000211k10

22、00211D=S ® * %）坷=工嘉缆* IX咼J=1J'=l这就是右边两个行列式之和。的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k以后加到另一行的对应（运用最多）性质6把行列式D 元素上去，所得的行列式仍为即:D-例5证明:=0的充要条件是k=1或k=±2答疑编号10010301 :针对该题提问证因为_ _=_ （第一行的数乘与（-1）加到第二行上去）k100021100k-10100110110001001101100QI)或 k=±2。所以，D=0的充要条件是k=1此题中，为了叙述方便，我们引入了 新的记号，将每一步的行变换写在等号上面（ 若有列变换则写

23、在 等号下面，本题没有列变换），即第一步中的+ （-1） 乂表示将第一行的-1倍加到第二行上，第二步是第 一列展开。的任意一行（列）各元素与另一行（列）对应元素的代数根据行列式的展开定理与行列式的性质，我们有下面的定理：定理1.3.1 n阶行列式余子式的乘积之和等于零，即爲+函细血二0 （i h k）(1.10)%血+%地上十十务&上二0心工上）(1.11)01001101100010011011001.3.2行列式的计算行列式的计算主要采用以下两种基本方法。k。（1）利用行列式的性质，把原行列式化为容易求值的行列式，常用的方法是把原行列式化为上三角 （或 下三角）行列式再求值。 此时

24、要注意的是， 在互换两行或两列时，必须在新的行列式的前面乘上（ -1），在 按行或按列提取公因子 k时，必须在新的行列式前面乘上“0元素，再按包含0最多的行或列展开。0|（2）把原行列式按选定的某一行或某一列展开，把行列式的阶数降低，再求岀它的值，通常是利用性 质6在某一行或某一列中产生很多个4 -2例6计算行列式答疑编号10010302 :针对该题提问所以我们只要设法利用行列式的性质将行解由于上三角行列式的值等于其主对角线上元素的乘积, 列式化为上三角行列式，即可求出行列式的值。-2-1-1-8-1 + (-2) X +1X®01001102310011004310-8-3-123

25、100110'00-11005-123100110'00-110004-3+5X4- C-4) X2梧X我们在计算例6中的行列式时，是利用行列式的性质先将它化成上三角行列式后，再求岀它的值， 实上在计算行列式的值时，未必都要化成上三角或下三角行列式，若将行列式的性质与展开定理结合起来 使用，往往可以更快地求出结果。例7计算行列式:答疑编号10010303 :针对该题提问aii=1,利用这个（1, 1）位置的元素1把行列式中第一0,然后按第一列展开，可将这个四阶行列式降为三阶行列式来计算，具体步骤如解观察到行列式的第一行第一列位置的元素 列的其他元素全都化为下：10 2 110

26、2 12-1100 -1 -212 0 3 + (-2)X®0 2-220 3 2 1©+ (-1) X0321按第一列展开，得-1-1=(-1)>2X132斗-1= -26=(-1)>2X132斗-1= -26 +（-1）+（7）X -2>< 乂-7-15=(-1)>2X132斗-1= -262141(32)?例10计算行列式:2141例8计算行列式答疑编号（把最简单的调到第一列或是第一旬）10010304:针对该题提问-1 + IX®+ (-2)X按第一列展开5 31 21 0 031 27 375按第二行展开375在本例中，记号

27、表示将行列式的第一列乘以 5后加到第二列。例9计算行列式:=81 写在等号下面，表示交换行列式的第一列和第二列，+5X写在等号下面,（例子很特殊）6,我们可以采用简易方法求其值,31116 1111111111113 1163 1113 11一 r02 Q 0113 1613 10113 1V0 0 2 011136 113111300 Q 2答疑编号10010305 :针对该题提问解这个行列式有特殊的形状，其特点是它的每一行元素之和为先把后三列都加到第一列上去,提岀第一列的公因数再将后三行都减去第一行:6,=48d1(a+1)3（劇(V+1)2(c+1)3(c+2)3(c+3)2（舫(旳2a

28、2-b2=(a+b)(a-b)答疑编号10010306 :针对该题提问(32)?例10计算行列式:J (a+1)2（劇Vs (b+l/(Wc2 (c+1)3(c+2)3(d+1/(d+2)22a+36a+92b+36b+92c+36匚+92d+36d+9(a+321F(a+1)2(b+卯ba(b+l)=(c+3)3i?(c+1)3J ©+(-1)x j 3 (<W| + d) x M (Wa2 (a+1)32a+33 (2a+3)ba (b+l)a 2b+3 3(2b+3)c2 (c+1)32c+3 3(2c+3)d2 (d+l 尸 2d+3 3(2d+3)A 二如 41 +

29、0+o+碣1（简化的过程就是消阶，次方也应减少，为（N-1 ）等例11计算n阶行列式（n>1 ）：a0ba0b0000A =000abb000a答疑编号10010307:针对该题提问解将行列式按第一列展开，得ab 00b0000a o0ab一"Q000 ab00b0000aH +Z>(-1)H+100 ab=a -+ (-1)3=+ (- l)K+1y例12计算范德蒙德一 #VanderMonde )行列式：上）答疑编号10010308:针对该题提问（第一行乘（-X1 ）加到第二行上；第二行乘（-X1 ）加到第三行1 1 11 1 10花-珂X3l=牙2才2疋20 巧花（

30、§孟J七（可-珂）禺（廷一可）1=（花一帀）（也一衙）（也花）b b1例13计算£b3aa3as1a a2bb3b5=abc1bcc23 C_12 c c答疑编号10010309 :针对该题提问二工' ? 一；：上 亡-（这是个定律）1”的行列例14计算（解题规律：每行或是每列中的和是一样的，故每行或是每列都乘“1”加到第一行或是第一列上去，再把这个数当公因数提取，形成有一行或是列全为 式，然后再化简）答疑编号10010310 :针对该题提问x a aa ax+4ax+牝x+Aax + 4aaaa aaXaaa4©a a xa aXBaaXaaa a ax

31、 a确aaaXaa a aa x嚼aaaaX1 11 1 11 11 11a耳a aaOz0 00+(-a)=(x+4a)a ax aa+(-a)0 0x-a 00a aa xa*(-a)0 00 x -a0a aa si*+(-a)0 00 0x-a=(x+4a) ( x-a) 41.4克拉默法则由定理1.2.1和定理1.3.1合并有ai Al + ' At -'ajA + 曲站+= w或（一）二元一次方程组（方程1、2左右同乘以一个数，上下对减）0佃4A忍弋知屮J昇尸b 2由a?2*-a2*得（的1冬a 筍护21召=口竝対玄由an-呛得ail ai2bi auallbl令a

32、21a2J=d52；=D 1a b?（辽11函之的用21）可二#1曲©l对=d2则有A是常数项 当"0时，二元一次方程组有唯一解4_ 6Xi = j 乃=D D（二）三元一次方程组如兀+务凶+屯沁二h21 Sla22225X321»j1x1+a32xe+a3 xbs U a12a13a21玉竝 a2B=DS al2 aBau S aBall a12 S%&22岂3a2L 5a2?=4&21%2 切S aS2 a33a31 S a33a31 切 %令叫系数行列式由D中的A11+A21+A31得（的占1+砌L&l +令滙1）无=如缶+為&

33、; 1+鸟由D中的Ai2+A22+A32得（盘1/垃+c?竝+函32）乃二垃月12 +4：十鸟召2由D中的A13+A23+A33得丛3 + 知4m * 33=对為了 +j4j3 + 鸟Ab当 "0时，三元一次方程组有唯一解一般地，有下面结果定理（克拉默法则）在n个方程的n元一次方程组如珞+%也+%二 巾曲+%比+角几二b：鸟讯+蛰比+一+务忙占b(1)中，若它的系数行列式D=则n元一次方程组有唯一解。推论：在n个方程的n元一次齐次方程组呂译】+耳驹+ +%葢广0(2)（1）若系数行列式D0,方程组只有零解（2）若系数行列式D=0I则方程组（2）除有零解外，还有非零解（不证）例在三元一

34、次齐次方程组xl+x2+xs=04 x;+2xa-3xa=02i1+3xz+axs=0中，a为何值时只有零解，a为何值时有非0解。答疑编号10010401 :针对该题提问1 1 1D= 12 -3&2 3a解：=2a-6+3-4- （-9） -a=a+2（ 1） a乂2时，"0,只有零解（2） a=-2时,D=0，有非零解。本章考核内容小结（一）知道一阶，二阶，三阶，n阶行列式的定义知道余子式，代数余子式的定义（二）知道行列式按一行（列）的展开公式2 =吗141 +转:4a力理A二知九+叫）爲j + %竝（三）熟记行列式的性质，会用展开公式或将行列式化为三角形的方法计算行列式

35、 重点是三阶行列式的计算和各行（列）元素之和相同的行列式的计算（四）知道克拉默法则的条件和结论第二章 矩阵矩阵是线性代数学的一个重要的基本概念和数学工具，是研究和求解线性方程组的一个十分有效的工 具；矩阵在数学与其他自然科学、工程技术中，以及经济研究和经济工作中处理线性经济模型时，也都是 一个十分重要的工具。本章讨论矩阵的加、减法，数乘，乘法，矩阵的转置运算，矩阵的求逆，矩阵的初 等变换，矩阵的秩和矩阵的分块运算等问题。最后初步讨论矩阵与线性方程组的问题。2.1矩阵的概念定义2.1.1由rrKn个数% （i=1，2，m； j=1，2，n）排成一个 m行n列的数表'口沁叫"用大

36、小括号表示称为一个m行n列矩阵。矩阵的含义是，这mKn个数排成一个矩形阵列。其中aij称为矩阵的第i行第j列元素（i=1，2，m； j=1，2，n），而i称为行标，j称为列标。第i行与第j列的变叉位置记为（i，j）通常用大写字母 A，B，C等表示矩阵。有时为了标明矩阵的行数m和列数n,也可记为A= （aij） rrXn 或（aj） rrXn 或 A rrXn当m=n时，称A= （aij） nX1为n阶矩阵，或者称为n阶方阵。n阶方阵是由n2个数排成一个正方形 表, 它不是一个数（行列式是一个数），它与n阶行列式是两个完全不同的概念。只有一阶方阵才是一个数 。一个n阶方阵A中从左上角到右下角的这

37、条对角线称为A的主对角线。n阶方阵的主对角线上的元素Qi,a22，ann，称为此方阵的对角元。在本课程中，对于不是方阵的矩阵，我们不定义对角元。元素全为零的矩阵称为零矩阵。用0.或者0 （大写字）表示。特别，当m=1时，称a = （ai，日2，an）为n维行向量。它是ixn矩阵。帚当n=1时，称向量是特殊的矩阵丿为m维列向量。它是mKl矩阵。，而且它们是非常重要的特殊矩阵。b例如，（a，b，c）是3维行向量，工丿是3维列向量几种常用的特殊矩阵:1.n阶对角矩阵形如的矩阵，称为起慵丿（那不是A,念“尖”）0 (P0 303例如，0 -1是一个三阶对角矩阵，也可简写为hT丿对角矩阵，对角矩阵必须是

38、方阵。2.数量矩阵当对角矩阵的主对角线上的元素都相同时，称它为数量矩阵n阶数量矩阵有如下形式:特别,1'-1' o （标了角标的就是N阶矩阵，没标就不知是多少的） n阶单位矩阵记为En或In，即q001 - 0务=101丿或当a=1时，称它为n阶单位矩阵。在不会引起混淆时，也可以用E或I表示单位矩阵n阶数量矩阵常用aEn或aln表示。其含义见2.2节中的数乘矩阵运算。3.n阶上三角矩阵与n阶下三角矩阵形如伽1?Q1 ' ° 10-°<00&垃对角矩阵必须是方阵。4.零矩阵旬 0-0 0 0卫 0 -°丿榔川一个方阵是对角矩阵当

39、且仅当它既是上三角矩阵，又是下三角矩阵(可以是方阵也可以不是方阵)的矩阵分别称为上三角矩阵和下三角矩阵2.2矩阵运算本节介绍矩阵的加法、减法、数乘、乘法和转置等基本运算。只有在对矩阵定义了一些有理论意义和 实际意义的运算后，才能使它成为进行理论研究和解决实际问题的有力工具。2.2.1矩阵的相等(同)定义 221 设 A= (aij) mxn, B= (bj) kxi,若 m=k, n=l 且 aj=bj, i=1 , 2，m； j=1 , 2,，n,则称矩阵A与矩阵B相等，记为A=B。由矩阵相等的定义可知，两个矩阵相等指的是，它们的行数相同，列数也相同，而且两个矩阵中处于相同位置(i, j)上

40、的一对数都必须对应相等 。特别，A= (aij)nxn=0 ： - aij =0, i=1 , 2,，m； j=1 , 2,，n。注意行列式相等与矩阵相等有本质区别，例如5 (Pfl 2丰打W 1丿因为两个矩阵中(1, 2)位置上的元素分别为0和2。但是却有行列式等式0 11 2 =1° 1 P 1(因为行列式是数，矩阵是表，表要求表里的每一个都一样)2.2.2矩阵的加、减法定义2.2.2设A= ( a) nxn和B= (bij) nxn,是两个nXn矩阵。由A与B的对应元素相加 所得到的一个nX n矩阵，称为A与B的和，记为A+B，即a+b= (a+ bij) nXn。即若伽4硝1

41、- %,B=毎1j- %W沁13叫g11如f如%、A±S =划兮？1+轴则% 缢J= 勺1 土勺1 的】士勿，旳用丈內日土1 令2 士绻2"5±%心当两个矩阵A与B的行数与列数分别相等时，称它们是同型矩阵。 只有当两个矩阵是同型矩阵时，它们才可 相加。例如12 3 4fO 14fl 3 79、+=J 6 7 ©匕2 0对7 9 7 16)注意:（1）矩阵的加法与行列式的加法有重大区别例如1 H1 + 21+22 + 23+31 + 11+12 + 2；1 2 32 2 31+2L 11+2 1 1=1+21 2 32 2 31+2（阶数相同，所有的行（列

42、）中除某一行（列）不相同外，其余的行都一样才可以相加，方法是除了这两个不同的行（列）相加外，其它的不变。）（2 ）阶数大于1的方阵与数不能相加。（阶数大于1它就是一个表，不是一个数了）若A=（旬）为n阶方阵，n>1，a为一个数，则 A+a无意义！但是n阶方阵A= （ a） aEn可以相加：m<n与数量矩阵（把数转化为数量矩阵aEn 就可以想加了）由定义2.2.2知矩阵的加法满足下列运算律:设A，B，C都是m<n矩阵，0是论n零矩阵，则（1）交换律A+B=B+A.（乘法没有交换律）（2）结合律（A+B ） +C=A+ （ B+C）.（3）A+O=O+A=A.（4）消去律 A+C

43、=B+C =A=B.2.2.3数乘运算（矩阵与数不能相加，但是可能想乘）定义2.2.3对于任意一个矩阵 A= （%） m<n和任意一个数k,规定k与A的乘积为kA= （ka0） m<n.（矩 阵里的第个原数都乘以数 K）即若肮曲Sw丿e则融拆2 也榊丿JWJQ!由定义2.2.3可知，数k与矩阵A的乘积只是A中的所有元素都要乘以 k,而数k与行列式Dn的乘积 只是用k乘Dn中某一行的所有元素，或者用k乘Dn中某一列的所有元素，这两种数乘运算是截然不同的。10020101针对该题提问根据数乘矩阵运算的定义可以知道，数量矩阵aEn就是数a与单位矩阵En的乘积。7-12-2134f30 -

44、163月=1 E MS 3b忆47-1;例2 已知求X。且 A+2X=B ，答疑编号：10020102针对该题提问解： -0-2（注意是乘以矩阵里的每个元素）2.2.4乘法运算定义2.2.4设矩阵A= （a） m<k，B= （ bij）时，令C= （ Cij） m<n是由下面的rrK n个元素 Cj=aj1 btj+aj2b2j+a ikbkj （i=1 ， 2， m ； j=1 ， 2， n）构成的m行n列矩阵，称矩阵 C为矩阵A与矩阵B的乘积，记为C=AB。由此定义可以知道，两个矩阵 A=（a）和B=（ bij ）可以相乘当且仅当A的列数与B的行数相等。当 C=AB时，C的行数

45、=A的行数，C的列数=B的列数。C的第i行第j列元素等于矩阵 A的第i行元素与矩 阵B的第j列对应元素的乘积之和。q o -r2 1 0 B =3 1J 2 -h卩且 AB=C例1 已知数乘运算律（1）结合律（kl）A=k（ lA）=klA，k和I为任意实数。（2）分配律 k（ A+B）=kA+kB，（ k+l）A=kA+IA，k 和 I 为任意实数。r-l 23ri2-1 O'A-02 -139£ =4 -31 12 002打Jl23n12 -1202-13-34-311t A20I02IJ? 462、r6-3=0 4_2612-933泸409j67 J4-66 + 32-00-124+92-36-3471-610-1J求 2A-3B。答疑编号: 解求矩阵C中第二行第一列中的元素 C21答疑编号：10020103针对该题提问解：C21等于左矩阵A中的第二行元素与右矩阵 B中第一列元素对应乘积之和二 C21=2X1+ 1 X+ 0 X=5例4设矩阵q 0 -rA-2 1 0» E 3 1*J 2