和差化积、积化和差(理)

1、37.积化和差、和差化积（理）【教学目标】1 .经历积化和差、和差化积的复习过程，进一步掌握三角公式系统的逻辑结构；2 .能够用积化和差、和差化积公式，半角公式解决有关的三角计算、化简与证明问题;3 .体会三角问题中角度的变化，体会半角与倍角的相对性，感受辩证唯物主义的思想;【教学重点】积化和差、和差化积公式，半角公式的推导与应用。【教学难点】正确运用积化和差、和差化积及半角公式解决问题。【知识整理】1 .积化和差公式1 -I.cos(- I ) cos(- -)1;1sincosP =3 bin(口 + P) +sin(c( - P) ； cosa cosP =1sin«sin P

2、 = - ICosp + P) -cos(/ -P).2 .和差化积公式R a + P a - PK a+P a -Psin a +sin P =2sincos,sin a -sin p =2cossin,2222R a + P a - P曜 a + P a -Pcos-i cos - =2coscos,cos- - cos - -2sinsin22223 .半角公式1 cos：:1 cos： x 11 cos：sin,cos, tan 一222221 cos：sin 11 - cos:tan=21 cos 工 sin ;4 .万能公式2 ：2 tan1 Tan 2tan2.2 .一2sin

3、- 二-,cos - 二-,tan ;-2、工2 ：2 ：1 tan -1 tan -1 - tan -2 22【例题解析】【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，填空题，易，运算能力5 二【题目】 填空：(1)计算sincos=.1212(2)若 cosot =3 ,且 C(e Io, -；,则 tg?=.522 (3)函数y =sin(x-二)cosx的最小值等于6n(4)函数y =cosx+cos(x+)的最大值等于.3一， i1.(5)已知 tan 万=3，则 sin8 +cos =.2 - . 3137【斛答】(1) ； (2) ; (3) ； (4) 33 ; (5) °

4、;4245【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，解答题，中，运算能力【题目】求函数 y = 2 cos(x + ) cos(x - ) +<3 sin 2x的值域和最小正周期.71因为 2 cos(x ) cos(x - -) = cos2x cos,所以 y = cos2x + <3 sin 2x = 2sin(2x + ),所以【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，解答题，易，运算能力3x , x 2sin x【题目】 证明：tan tan=.22 cosx cos2x【解答】证明：略。【属性】,三角比，和差化积与积化和差，解答题，中，运算能力【题目】一 31 二：(1

5、)设 万 <2n , cosQ + P)cosP +sin(o( + P)sin P = § ,求由 工-)的值.(2)已知. ，:、36：4 ,sin(o(A)= , cos P =(其中口, 855P为锐角)，求cot( +)的值.24< 2几,所以 since2、2atan=2sin 二1 cos：即 tan(-)=Of1 - tan 2 =3+2衣.a1 tan2二二36(2) 口邛为锐角，口 P 三(一，一)，sin(aP)= 一2 285n(”，15sin - - sin (岂 I')=sin(:工I )cos - sin - cos(:工P)=178

6、计算得cosa = 一 , 所以17a tan2,1 cos：5cot(一a1 - tan2a1 tan2【属性】高和差化积与积化和差，解答题，难，运算能力【题目】在AABC中，已知a2+b2=c2+ab.(1) 求/C的大小;一 一3(2) 设sin Asin B = 一，判断三角形 ABC的形状。4A B(-)A-B3_3【解答】解：(1)/c =60 ；(2)由 sn sn b = v4由 C =60,得，A B W80： -60 -120,所以 cos(A - B) -1 即：A = B,三角形ABC为等边三角形。【课堂反馈】【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，填空题，易，运算能

7、力【题目】计算cos20 +cos40的值等于 .sin 20 sin 40【解答】、3【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，填空题，易，运算能力24【题目】已知口是第三象限角，且sin仪=,则tan 等于252一-4【解答】-43【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，解答题，中，运算能力【题目】化简：4sin(60 C-0) sin日 sin(600 +6).【解答】sin3【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，解答题，中，运算能力【题目】已知1a +P = ,«之0尸之0,求y=sin«sin P的最大值与最小值。3【解答】当口 =：时，ymax = 7 ；

8、当仪=0时，ymin = 0。34【课堂小结】1 .半角的正弦、余弦和正切公式前面的士号不表示有两解，表示符号不确定，需要选择；2 .万能公式的作用是将异名三角比，转化为同名三角比，将三角比转化为代数问题来解决;3 . “异角化同角”、“复角化单角”、“异名化同名”以及“切割化弦”等思想方法，是解决 三角问题常用的思想方法；4 .形如 sin ±sin P ;cosc（士 cosP ;sina sin P ;cosa . cosP 的三角比计算式，习惯上当a 士P为常数时，可以尝试用和差化积或积化和差公式来解决问题。【课后作业】【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，填空题，易，运

9、算能力【题目】、一 5 二计算sincos 87二 的值等于8【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，解答题，易，运算能力【题目】函数f (x ) = sin . x + sin , x + 的最小正周期是3.2【解答】n【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，填空题，易，运算能力【题目】已知 0 < a < n ,化简 0 - cos a - J1 + cosot【属性】,三角比，和差化积与积化和差，解答题，中,运算能力一、1 、，【题目】又 cos(-已知 cos(a +)= ,求 sina sin(a + )的值.643cos一) 23二 1：l.?!.Isin 二 si

10、n(二 一)二一一cos(2二 一)一cos( 一)32 _33二、12 ,二、，7+ ) =z , cos(2a + -) = 2cos (a + ) -1 =-, ,二 11所以 sin 二 sin(：)=【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，解答题，中，运算能力【题目】已知函数f(x)=tanx, x亡 0|,且x1, x2 w 0,二|,x1 = x2，求证: ,22f(x)<2f(x1)+f(x2)。【解答】证明：略。【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，填空题，难，运算能力1：1【题目】 已知 cosa 一 cos P =，sina sinP=,求 sin(a + P

11、)的值。 231一 一二 1【解答】因为cos口一cosP = - ，sin口一sinP=一 ，父得, 231-1-(sin 2o( + sin2 P) sinQ +?>)=-,13.132 +2得，2-2cos© - P)= 36-，-1 1即 sin(a + P) cos(/ - P) - 1=一,6-12,所以 sinQ，P）二一一13【属性】高,三角比，和差化积与积化和差，填空题，易，运算能力【属性】【题目】【题目资源】,三角比，和差化积与积化和差，填空题，易，运算能力,.z 二、/ 二、1，右 sin(x一)cos(x一)= 一一，贝U cos4x =444【属性】和

12、差化积与积化和差，填空题，易，运算能力3 二【题目】如果cos：<a <2n，贝(J cos=22155【属性】和差化积与积化和差，填空题，易，运算能力【题目】已知 f(x)= . 1 -x.若二 "x兀 】.一,，一,n，贝U f (cosu) + f ( cosa)可化间为2csc：【题目】cos(- ： )cos 二 cos(- 33-a）化成和差的结果等于【属性】【题目】【属性】【题目】【属性】【题目】1一 cos3 ;4,三角比，和差化积与积化和差，填空题，易，运算能力 x 皿 cos29右tan =t，贝U等于21 sin2u2_t 2t -120t2 -2t

13、 -1,三角比，和差化积与积化和差，选择题，易，运算能力已知a是第三象限角，并且24 e,since =,则25atan 一等于（）2(D)3(B)一43(C)44一,三角比，和差化积与积化和差，选择题，难，运算能力已知 cos - - cos :=1, sin ： - sin :2=1 ,则sin' +P）的值等于（35(B) 一1312 (D)1312(C)13,sin： -sin - =1 31【解答】因为cosot -cosP = 一 2p)-1kr1-(sin 2 ： sin2 ：) -sinQ) 二二-【题目】如果口 + 口 = ,0 M 口 W ,则函数y = sin 口

14、 cos 口的最大值等于 2+2得，2 2cosQ -P)1.,-,即 sin(a + P) CosG 13 人，所以选C.36【属性】,三角比，和差化积与积化和差，选择题，中,运算能力【题目】设e是第二象限角，则必有（(A) tan0一 >cot2(B)tane e<cot (C) sin>cos (D)sine e<cos 【属性】【题目】(A)不用计算器求值:和差化积与积化和差,解答题，中,运算能力cos210 + cos2 50 + cos2 70 .1 cos20 1 cos100 1 cos140 2cos80" cos 60' cos10

15、0J原式=sin 10 -sin10 3"T=22【属性】,三角比，和差化积与积化和差，填空题，中，运算能力1 ,- 1.31-【解答】y = Sin(口 +) +sin(a - P)=+-sin(o( - P),又因为 0 M口 < ,24222 二二 2 二,2 =-« ,所以?£-,36 33 3所以最大值等于2【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，解答题，难，运算能力3【题目】 在 AABC 中，已知 tan A + tan B + 寸3 = v3 tan Atan B ,且 sin Asin B = ，4试判断 ABC的形状.【解答】解：在 4

16、ABC 中 tan A + tan B = -v1'3(1 - tan Atan B)，得 n A + B) = J3 ,2因为 A + B w (0, n),所以 A + B = n ,3一 一 一 11 1 一 一 3又 sin A sin B = - Cos(A + B) -cos(A-C),所以 -十 5 cos(A C)=-,即 cos(AB) =1 ,因为 A Bw(%n), A B=0,所以 A=B,即AABC为等边三角形.【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，解答题，中，运算能力A . BC【题目】在4ABC中，求证:sinA + sinB -sin C =4sin

17、 sin cos.222【解答】证明：略。【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，解答题，中，运算能力-2 2 2、24、一，/、【题目】若等腰三角形的顶角的正弦值为 二，求这个等腰三角形底角的余弦值.2524【解答】设顶角为0 ,底角为P ,所以口 +2P =n ,又因为since = 一，25_-24-7所以 sin(n 2 0)= ,即 cos2P = 或 cos2P =2525工251 cos2 :又 cos ：=2【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，解答题，中，运算能力1【题目】 已知sin（一十a）sin（a）=， 446ji（一，n）,求 sin 4（的值.2【解答】r

18、nji由 sin(一:)sin(一 二)二441 fn)1一 cos- - cos2« 尸一 cos2a. 2<22 21一二、所以 cos2a = 一.又口 匚（一，n ）322a( (n,2n),因为 cos2a > 0,所以2a w (,2 n ),因此 sin 2a所以 sin 4： = 2 sin 2 - cos 2-二【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，解答题，中，运算能力sin2 3：【题目】证明:sin-I 'sin3-： , sin5?=sin ;【解答】证明：略。【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，解答题，难，运算能力11【题目】 已知 ABC勺三个内角 A, B, C满足：A+ C= 2B, +cosBcosA cosC求cos j的值.入11【解答】由十cosA cosC亘得cosBcos A cosC - . 2cosAcosC