第7章-MATLAB在概率统计中的应用

1、MATLAB在概率统计中的应用总结、统计量的数字特征一简单的数学期望和几种均值mea n(x)平均值函数当x为向量时，得到它的元素平均值；当 x为矩阵时，得到一列向量，每一行值为矩阵行元素的平均值，举例1 :求矩阵A的平均值。D=74.001 74.005 74.003 74.001 74.00 73.998 74.006 74.02Mea n(d)E(x)的值：x=-2,0,2,pk=0.4,0.3,0.3 sum(x.*pk)E(3x 2+5)的值。x=-2,0,2,pk=0.4,0.3,0.3z=3*x.A2+5sum(z.*pk)» K- -2,sumX =-2 02pk *

2、0.40000.30000,3000z 17517ans 13.40002举例2:设随机变量x的分布规律如下表，求 E(x)和E(3x +5)的值E(x)的值X-202pkmax二数据比拟最大值min最小值media n中值sort由小到大排序三求和与积sum求向量或矩阵的元素累和prod :求当前兀素与所有前面»元素的积ed.举例：prad 卜面的程序用来求向量各兀素的之和prod=1231varx=2,3,4=for x=varxprod prod=prod+x4endgod Id四方差和标准差方差函数Var Var(x) x为向量，返回向量的样本方差；x为矩阵，那么返回矩阵 各

3、列的 Var(x,1) 返回向量矩阵x的简单方差即置前因子为丄的方差n Var(x,w) 返回向量矩阵x即以w为权的方差。Std标准差函数Std(x)返回向量或矩阵x的样本标准差置前因子为 ?-1Std(x,1)返回向量或矩阵x的标准差置前因子为-?举例：d=74.001,74.005,74.003,74.001,74.00,73.998,74.006,74.02mea n(d)var(d,1)%方差var(d)%样本方差std(d,1)%标准差std(d)% 羊本标准差五协方差和相关系数cov(x) : x为向量，返回向量的方差，x为矩阵时返回矩阵的协方差矩阵，其 中协方差矩阵的对角元素是

4、x矩阵的列向量的方差值。cov(x,y):返回向量x.,y的协方差矩阵，且x，y的维数必须相同。cov(x,1):返回向量x的协方差矩阵，置前因子为 S?.corrcoef(x,y):返回列向量x,y的相关系数。corrcoef(x):返回矩阵x的列元的相关系数矩阵举例：a=1,2,1,2,2,1x1=var(a) %向量的方差y1=cov(a) %向量的方差d=ra nd(2,6)cov1=cov(d) %矩阵D的样本协方差c=ran d(3,3)x2=cov(c) %矩阵C的样本协方差y2=corrcoef(c) %矩阵C各列元的相关系数0.4324OrlS'?*D0x131Du4

5、 "TX"0414砒阿7 0244寸丄50>M时4 0。-QpZ1Q3-0.02<4-0,2103D14S0-0,0718一 gOOMQ-o.ai住 a QL330 £>口0 IQouia*i右口D037 QQ2Q0.Q01Q0.030o - 31 a n0.217-9o.id»i. a j dD . 3 3G5fl,9512O.L419I0S22 .4BS.40.431*© -B0O3D-&157-«557Q口-On>l«3口 assa4.口1«3O_ LB 35-0.034G右.

6、生0 GJ3111MM-0*1733口.fllSiY 139丄0©右一D£839-O.«*S4-C 5 3 91 - 口g、常用的统计分布量一期望和方差函数名调用方式参数说明函数注释Betasta tM, V=betastat A, BM为期望值V为方差值A、B为卩分布参数卩分布的期望方差Bi nosta tM, V=binostat(N,P)N主实验次数P为二次分布概率二项式分布的期望和方差Chizsta tM，v=Chi2stat(nu)nu为卡方分布参数卡方分分布的期望和方差ExpstatM，V=expstat(mu)mu为指数分布的特征参数指数分布的期望和

7、方差FstatM1 ,V=fstat(v1,v2)V和W为F分布的 两个自由度F分布的期望和方差GamstatM，v=gamstat(A 1,B)A,B为丫分布的参 数丫分布的期望和方差GeostatM，v=geostat(P)P为几何分布的几何概率参数几何分布的期望和方差Hygesta tMN,V=hygestat(M 1,K1,N)M,K,N为超几何概 分布参数超几何分布的期望和方差Lon statM, ,V=logstat(mu,sigma)mu为对数分布的均 值,sigma为标准差Poissta tM,V=Poisstat(<LAMBDA)LAMBDA泊松分布参数Normsta

8、tM1,V=normstat(mu,sig na)Mu为正态分布的均值sinma为标准差正态分布的期望和方差TstatM, ,V=tstat(nu)Nu为T分布参数Un ifsta tM1,V=u nifstat(A,B)A,B为均分布区间 端点值二概率密度函数1.离散型随机变量的分布及其数字特征1根本概念如果随机变量X的所有可能取值为有限个或无穷可列个，那么称X为离散型随机变量设X的所有可能值为 X, %,并且X取这些值的概率为：PX=X<= °,k=1, 2,那么称其为随机变量 X的概率分布它满足以下性质： Pk> 0,k=1, 2，(2) Pk 1.k 1称F (x

9、)pk为累积概率分布xk x2常见类型二项式分布假设随机变量X的所有可能取值为0, 1,，n,其概率分布为PX k C；pkqnk, k 0,1,2, ,n其中q=1- p,那么称X服从参数为n和p的二项分布，记作 XB(n, p).显然，两点 分布是二项分布的特例二项分布的数学期望为E(X)= np,方差为D(X)= npq.在 MATLAB提供有二项分布的统计函数：binopdf() 、binocdf() 、binoinv()bin ornd()以及计算二项分布均值和方差的函数bino stat()，其使用格式为：binopdf(XNP)二项分布的密度函数binocdf(X NP)二项分布

10、的累积分布函数binoinv(Y NP)二项分布的逆累积分布函数binornd(N P, m n)产生服从二项分布的随机数bino stat(N, P)求二项分布的数学期望与方差其中X为随机变量；N为独立试验的重复数；P为事件发生的概率；m和n分别是所 产生随机矩阵的行数和列数. 假设不指定m和n,那么返回一个随机数，否那么返回一个 服从二项分布的 mx n阶随机矩阵.举例：不同试验重复数n=50和不同概率p=0.7下二项分布的函数分布图和累积分 布函数图，且产生1万个随机数。程序如下：,n um=10000;k=0:1:100;pdf=b ino pdf(k ,n ,p);cdf=b ino

11、 cdf(k ,n ,p);M V=bi nostat( n,p);sample=b inornd(n,p,nu m,1);x=mi n(sample):1:max(sample);subplot(1,3,1);plot(k,pdf,'* 'title( The probability den sity fun cti on'subplot(1,3,2);plot(k,cdf,'* 'title( Distributi on function ' subplot(1,3,3);hist(sample,x);title('Ramdom si

12、gnals of binomial distribution');» M. VD35v =10.5030泊松分布如果随机变量的概率分布为kPX k exp( ), k 0,1,2,k!其中0为常数，那么称X服从参数为的泊松分布，记作 XP()，泊松分布的数学期望E(X)=，方差D(X)=在MATLA中，提供如下有关泊松分布的统计函数，使用格式为：poisspdf(X,LMD)泊松分布的密度函数poisscdf(X丄MD)泊松分布的累积分布函数poiss in v(Y,LMD)泊松分布的逆累积分布函数poissrnd(LMD,M,N)产生服从泊松分布的随机数poissstat(

13、LMD)求泊松分布的数学期望与方差其中X为随机变量；Y为显著概率值；LM助参数，M和N为产生随机矩阵的行数和列 数例如类似于二项分布可用下述程序绘出服从泊松分布的密度函数和累积分布函数0246图(见图2):0 0246图2泊松分布的概率密度与累积概率分布图举例：产生1000个随机数，=，求期望方差并绘制直方图。代码：nu m=1000,lam=70;k=0:100;pdf=poisspdf(k,lam);cdf=poisscdf(k,lam);M V=poisstat(lam);sample=poissr nd(lam ,nu m,1);x=mi n(sample):1:max(sample)

14、;subplot(1,3,1);plot(k,pdf,'* 'title( The probability den sity function'subplot(1,3,2);plot(k,cdf,'* 'title(Distributi on function 'subplot(1,3,3);hist(sample,x);title('Ramdom signals of poission distribution');» K V cis stat (lajL)70V =70Ejgure 1如旳 MIEMKV1 AiT u

15、rn 珂曲 KjfWi «ICHJoXJ ; d d 1k '、*VW 日 63 右2.连续型随机变量的分布及其数字特征(1)根本概念设随机变量X的分布函数为F(x)，假设存在非负函数f (x)，使对任意实数x， 有xF (x) P X < x f (x)dx那么称X为连续型随机变量，并称f (x)为X的概率密度，它满足以下性质： f(x)> 0, - XVXV + 8; f (x)dx 1; Pa<x<b=F(b)-F(a)=bf (x)dx ; P x=a=0 .2常见的三种连续型随机变量的概率分布常用的三种连续型随机变量的概率分布是均匀分布、指数

16、分布和正态分布.均匀分布假设连续型随机变量X的概率密度为f(x)1,a x b; b a0, 其它MATLAB提供的有关均匀分布的函数如下:unifpdf( X, A B)unifcdf( X, A, B) unifinv(P, A, E)unirnd( A B mi n) unifstat( A B)均匀分布的密度函数 均匀分布的累积分布函数 均匀分布的逆累积分布函数均匀分布的随机数发生器 均匀分布的数学期望与方差其中X为随机变量,P为概率值，A, B为均匀分布参数,m和 n为生成随机数矩阵a=5,b=4求其概率密度函数，期望方差，并绘制的行数和列数.00510举例：产生100万个随机数，令

17、 直方图。代码：num=1000000,a=2,b=4;k=0:0.001:10;pdf= un ifpdf(k,a,b);cdf=uni fcdf(k,a,b);M V=u ni fstat(a,b);sample=ra nd(nu m,1);x=min( sample):0.02:max(sample); subplot(1,3,1);plot(k,pdf,'r.');title('The probability den sity fun cti on') subplot(1,3,2);plot(k,cdf,'b.');title('

18、Distributi on function');subplot(1,3,3);hist(sample,x);title('Ramdom sig nals of uniform distributi on');» M V=inif3t at J t>)0.3333叶*1- x卫 口旧flfllE， 他抵A 僭 Ulm <B(t» 脚_ d a $ -总'*.#； U | 0 U I口指数分布如果随机变量X的概率密度为f(x)exp( x),0,x 0;x 0其中 为常数，那么称X服从参数为MATLAB提供的有关指数分布的函数如下:

19、exppdf( X, L)expcdf( X, L)expinv( P, L)exprnd( X, L, m n) expstat( L)其中X为随机变量，L为参数举例：产生100万随机数，令 方差，绘制直方图。的指数分布，记作 Xe ().指数分布的密度函数 指数分布的累积分布函数 指数分布的逆累积分布函数 产生服从指数分布的随机数 求指数分布的数学期望与方差,P为显著概率，m和n为随机数矩阵的行数和列数=0.25，求其概率密度函数和分布函数，并求其均值和代码：num=1000000,lam=0.25,mu=1/lam;k=-1:0.001:3;pdf=exppdf(k,lam);cdf=e

20、xpcdf(k,lam);M V=expstat(lam);sample=expr nd(m u,nu m,1);x=min( sample):0.02:max(sample);subplot(1,3,1);plot(k,pdf,'r.');title('The probability den sity fun cti on')subplot(1,3,2);plot(k,cdf,'b.');title('Distributi on function');subplot(1,3,3);hist(sample,x);title(

21、9;Ramdom signals of index distribution');>> V -expsti* (lair.|H -25000.062SQ =ur* 1彷1*旧MiV)稻贞個 IB(T)直曲di列腔Hl一口冥 0 | A X -'耳|囲 1 口标准正态分布如果随机变量X的概率密度为:f(X)(X )21其中 和 均为常数，且>0,那么称X服从参数为和2的正态分布，记作 XN( , 2) 当 =0,=1时，称X服从标准正态分布，记作 XN(0,1)MATLAB供的有关正态分布的函数如下：n ormpdf(XMC正态分布的密度函数n ormcdf(K

22、MC正态分布的累积分布函数n orm inv(P,MC正态分布的逆累积分布函数n ormr nd(M C m n)产生服从正态分布的随机数normstat(MC)求正态分布的数学期望和方差其中X为随机变量，M为正态分布参数，C为参数 ，P为显著概率，m和n为随机矩阵的行数和列数.绘制标准正态分布的密度函数及累积分布函数图图5-7上和一般正态分布的密度函数及累积分布函数图图 5-7下的程序如下：值，绘制直方图。代码：num=1000000,a=0,b=1;k=-4:0.001:4;pdf= normpdf(k,a,b);cdf=n ormcdf(k,a,b);M V=n ormstat(a,b);sample=ra ndn(nu m,1);x=min( sample):0.02:max(sample); subplot(1,3,1);plot(k,pdf,'r.');title('The probability den sity fun cti on