第五章-静电场-习题解答

1、第5章静电场习题解答5.1 一带电体可作为点电荷处理的条件是CA丨电荷必须呈球形分布。B带电体的线度很小。C带电体的线度与其它有关长度相比可忽略不计。D电量很小。5.2图中所示为一沿x轴放置的 无限长分段均匀带电直线，电荷线密度分别为+ x >0和-x < 0，那么oxy坐标平面上点0，a处的场强 E为： Bi oa(C )i4 oai2oa5.3两个均匀带电的同心球面，半径分别为Ri、R2(Ri<R2),小球带电Q,大球带电-Q，以下各图中哪一个正确表示了电场的分布 d5.45.5如下列图，任一闭合曲面且OP=OT，那么* JV'E:、r:rrO R1 RB)O R

2、iR2(C) O Ri (DR2S内有一点电荷q, O为S面上任 点，假设将 q由闭合曲面内的d (A) 穿过S面的电通量改变,(B) 穿过S面的电通量改变,(C) 穿过S面的电通量不变,(D) 穿过S面的电通量不变,O点的场强大小不变; O点的场强大小改变; O点的场强大小改变;O点的场强大小不变。如下列图，a、b、c是电场中某条电场线上的三个点，由此可知rP点移到T(A) Ea>Eb>Ec ；(B) E a<E b<Ec ；(C) Ua>Ub>Uc ；(D) Ua<Ub<Uc。5.6关于高斯定理的理解有下面几种说法，其中正确的选项是c (A)

3、 如果高斯面内无电荷，那么高斯面上E处处为零；(B) 如果高斯面上 E处处不为零，那么该面内必无电荷；(C) 如果高斯面内有净电荷，那么通过该面的电通量必不为零；(D) 如果高斯面上 E处处为零，那么该面内必无电荷。5.7下面说法正确的选项是D (A) 等势面上各点场强的大小一定相等；(B) 在电势高处，电势能也一定高；(C) 场强大处，电势一定高；(D) 场强的方向总是从电势高处指向低处5.8一高斯面所包围的体积内电量代数和q： 0，那么可肯定：C A高斯面上各点场强均为零。B穿过高斯面上每一面元的电通量均为零。c穿过整个高斯面的电通量为零。D以上说法都不对。1腔内各点的场强B (A)变化；

4、(B)不变；(C)不能确定。2腔内各点的电位c (A)升高；(B)降低；(C)不变；(D)不能确定。5.10对于带电的孤立导体球B 5.9 一个中性空腔导体，腔内有一个带正电的带电体，当另一中性导体接近空腔导体时,(A) 导体内的场强与电势大小均为零。(B) 导体内的场强为零，而电势为恒量。(C) 导体内的电势比导体外表高。(D) 导体内的电势与导体外表的电势上下无法确定。5-11当一个带电导体到达静电平衡时：答案DA外表上电荷密度较大处电势较高E外表曲率较大处电势较高C导体内部的电势比导体外表的电势高D导体内任一点与其外表上任一点的电势差等于零5.12极板间为真空的平行板电容器，充电后与电源

5、断开，将两极板用绝缘工具拉开一些距离, 正确的选项是D 那么以下说法(A) 电容器极板上电荷面密度增加；(B) 电容器极板间的电场强度增加；(C) 电容器的电容不变；(D) 电容器极板间的电势差增大。5.13如下列图，边长分别为 a和b的矩形，其A、B、C三个顶点上分别放置三个电量均为q的点电荷，那么中心 0点的场强为q4 oa2方向由0指向5.14在场强为E的均匀电场中取一半球面，其半径为R,电场强度的方向与半球面的对称轴平行。那么通过这个半球面的电通量为 R2E ，假设用半径为 R的圆面将半球面封闭，那么通过这个封闭的半球面的电通量为0。5.15 A、B为真空中两块平行无限大带电平面，两平

6、面间的电场强度大小为2外侧电场强度大小都是E0/3,那么A、B两平面上的电荷面密度分别为3E0，两平面E。5.16电量都是q的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点.正三角形的边长是a。试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都到达平衡?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系 ?解：1如题图示。由对称性，可以 A处点电荷为研究对象，由力平衡知：q为负电荷22丄认301 qq4 n 0 a4 n 0/.32(亍)dEp导线上电荷在P点所激发的总场强方向沿x轴正方向，大小为EpdEpLdx0 (L d x)25 10 9C/m的电荷。求在导线的延长线上与1 14 o(d d

7、 L)9 109 5 10 9()675(V / m)0.050.205.18如下列图，长为I、电荷线密度为的两根相同的均匀带电细塑料棒,求：两棒之间的静电相互作用力如图建立坐标系。解：在左边直线上取微元 dx，电荷为dq dx沿同一直线放置，两棒近端相距I，它在右边直线上 x'处的电场强度:dEdx24 0 x x左边直线在右边直线上 x'处的电场强度： EdEdx解得 qq3(2)与三角形边长无关.5.17 长L=15cm的直导线 AB上均匀地分布着线密度为 导线一端B相距d=5cm处P点的场强。解：建立如下列图的坐标系，在导线上取电荷元dx。电荷元 dX在P点所激发的场强

8、方向如下列图，场强大小为1dx24 o (L d x)4 0因而右边带电直线 x'处的微元dx'所受到的静电场力为 dF= E dx3I右边带电直线所受到的静电场力为:2|4dxx' I03IInx2I4 0In35.19半径R为50cm的圆弧形细塑料棒，两端空隙 布在棒上。求圆心 O处场强的大小和方向。d为2cm，总电荷量为3.12 10 9C的正电荷均匀地分解：电荷线密度，任取线元dl Rd2 R ddQdlRd ,电荷元在圆心O点的场强为dE1Rd4 0R2dEy1Rdcos40 R2EdEy0cosd2 sin 00 40 R4 0 R91093.1210 90

9、.020.72(V / m)20.5 0.020.52近似解法0.72(V /m)5.20无两条无限长平行直导线相距为 r。，均匀带有等量异号电荷，电荷线密度为，如下列图。1求两导线构成的平面上任一点的电场强度按图示方式选取坐标，该点到带电线的垂直距离为 X；2求每一根导线上单位长度导线受到另一根导线上电荷作用的电场力。答案：1设点P在导线构成的平面上，E、E分别表示正、负带电导线在P点的电场强度，那么有1匸I 2 °r。x2分2分E-1丄 r2分2 ° x r° xr。-I2 o x(r。 x)2设F、F分别表示正、负带电导线单位长度所受的电场力，那么有2F F

10、I 2 分2 oro2F Fi2分2 oro显然有F F，相互作用力大小相等，方向相反，两导线相互吸引。显然有F F，相互作用力大小相等，方向相反，两导线相互吸引。题号：30123015分值：10分难度系数等级：35.21 一段半径为a的细圆弧，对圆心的张角为°,其上均匀分布有正电荷q.如下列图，1试以a、q、 0表示出圆心O处的电场强度。答案：如图选择坐标系。在圆弧上$ 1取一小电荷元，2分在O点处激发：dEdq Rddqqd224 oR 4 o R oo由于对称性，Exsin dE 0，2图 301220223分2分52220 cos dE2在半径为R,电荷体密度为的均匀带电球内

11、，挖去一个半径为点的场强。(0、0、P、在一条直线上。r的小球，如下列图。试求:P、P各5.解：应用场强叠加原理求解P点场强大小为E p E rp E rP32rPO3rPOr3- (23 0 (rPOroo )场强方向沿X轴方向，正值沿rPO )X轴正方向。P点场强大小为E p E rpE rP3rroo )23 0 (rPO场强方向沿x轴方向，正值沿14 R31340 rp o单)rPOX轴正方向。4 3134 0 (rPoroo )23设在半径为的球体内电荷均匀分布R,电荷的体密度为，求带电球体内外的电场分布解：由题意知，电荷分布具有球对称性，电场也具有对称性，场强方向由球心向外辐射,

12、在以o为圆心的任意球面上各点的 E1球内任一点P/勺E ?以o为球心，过P1点做半径为E dS qs10 % E与dS同向，且S1上各点|e值相等，相同。r1的高斯球面Si,高斯定理为: E dS E dS E dSs1s1s1E 4 rj3 ridr30R3 riq4 303 R E3ri4 ri20R3riE沿OP方向。结论：E ri注意：不要认为生的场强的叠加为0。P2 的 E ?过P2点做半径为i假设q 0，那么E沿RO方向Si外任一电荷兀在»丄、r, c2球外任一点 以O为球心,E dSS2由此有:Pi处产生的场强为0,而是Si外所有电荷兀在Pi点产2的球形高斯面S2,高斯

13、定理为:iq0q40D2E沿OP?方向结论：均匀带电球体外任一点的场强，如同电荷 全部集中在球心处的点电荷产生的场强一样E也4 R(r4 °rE r 曲线如左图。R)R)200V/m i06m。试计算地球带的总电荷量。2在离地面i400 m处，场强降为20V/m，方向仍指向地球中心，试计算这i400m厚的大气层里的平均电荷密度。解：设地球带的总电量为Q，大气层带电量为i根据高斯定理2 Q E 4 R20地球带的总电量为9.24 1地球外表的场强近似为Q E 4 R2 0200(6.37 i06)29 I05(C)9 102根据高斯定理2E 4 (R h)0i400m厚的大气层带电量为

14、1209 (6.379 101061400)2 910558.1 10大气层的平均电荷密度为qq8.11054 (r3 R3)4R2h4(6.376210 )1400q E 4 o(R h) Q31.13 10 12(C /m3 )25电荷量Q均匀分布在半径为1.解：由高斯定理当r>R时，E1当r<R时，E24以无穷远处为参考点，E dlP沿径向路径积分得VpQ丐320 r球内离球心RE2 dlRVPE2 dr8E1 drRr处的rE1P点的电势为dlR 1rP403 r dr R3R 40 r2dr2 2Q(3R rp )厂2R326如下列图，半径为 R=8cm的薄圆盘，均匀带电

15、，面电荷密度为2 10 5C/m 2，求:(1 )垂直于盘面的中心对称轴线上任一点P的电势用P与盘心O的距离x来表示；(2 )从场强与电势的关系求该点的场强;(3)计算x=6cm处的电势和场强。解：取半径为r，宽为dr的圆环为电荷元,其电量为dq 2 rdr电荷元在P点的电势为dV_1dq 40、x2 r212 rdr41带电圆盘在VPdVP点的电势为R 12 rdr2 r 22- x r2 ( x2 R2Vir2x) r x2 r2 x)2 0x3x=6cm140109 2VpEpdVdx2(x_.x Rx1) (1 )2 / x2 R2R2x)94.52 104(V)14010 52 (1

16、(62 82 6)109 21052 (12)R26 )62 824.52 105V /m27半径为r1、r2的两个同心导体球壳互相绝缘，现把的1 外球的电荷量及电势；2把外球接地后再重新绝缘，外球的电荷量及电势； 然后把内球接地，内球的电荷量及外球的电势的改变+ q电荷量给予内球，求:解：1静电感应和电荷守恒定律，外导体球的内外表带电 外导体球的外外表带电+q，总电量为零。外球电势分别为1 qV4022外球接地电势为零1 q由电势叠加原理 -4外球带电量为 Q20 r2-q,外球的外外表不带电，内外表带电3内球接地电势为零1 Q1由电势叠加原理4Q21 21Q1QiV24 021Q1Q240

17、20 r1r1q r214外球电势的改变为V2A、q24 0 r2Q2B、9.28三块平行金属板地。如果使A 10-7c，求：1B、C板上的感应电荷;2A板的电势。化20 rJ4ri)譬21024 0 r2C面积均为200cm2，A、B间相距14 04mm，2mm吕22J2A、C间相距2mm，B和C两板都接4mm2mm 4mm解：1由咼斯定理得ABC01由于 Uab Uac，那么 Eidi E2d2，得B d1Cd 22由上述两个方程，解得L1*-*d1CABE1E2d2d2小c BA， Qb-Qad1 d2d1 d2d1d2小b ca， Qb-Qad1 d 2d1 d22E1Bc0VaU A

18、BE1 d1d1Qb d cd10S 02310 72447310241 107(C)2 10 7(C)10 32.23 103(V)1 10 7412200 10 4 8.85 10 12R1R229半径为R。的导体球带有电荷Q,球外有一层均匀介质同心球壳，其内、外半径分别为R1和R2，相对电容率为 r，求：1介质内、外的电场强度 E和电位移D ；2介质内的电极化强度 P和外表上的极化电荷面密度解：由介质中的高斯定理得1导体内外的电位移为Qr Ro， D 24 rr R0， D 0R1R0由于E ，所以介质内外的电场强度为R1 r R0 ， EQ4 0r2r R0， E 0r R2，E -r

19、 04Q2or4 0r22介质内的电极化强度为P 1)oE(r 1) Qr 4 r2由Pn介质外外表上的极化电荷面密度为P r 1 Qr 4 R2介质内外表上的极化电荷面密度为r 1 QRiR2nR?r 4 R1230圆柱形电容器是由半径为 R1的导线和与它同轴的导体圆筒构成，圆筒内半径为R2，长为L,其间充满了相对电容率为 r的介质。设导线沿轴线单位长度上的电荷为0，圆筒上单位长度上的电荷为°,忽略边缘效应。求：1 介质中的电场强度 E、电位移D和极化强度P;2介质外表的极化电荷面密度解：1由介质中的高斯定理得R2Rir 0rrr2由介质内外表上的极化电荷面密度为PnR1P nR1(r 1)02 r R1介质外外表上的极化电荷面密度为PnR2 r 1匸2 rR231半径为2cm的导体球，外套同心的导体球壳，壳的内、壳外也是空气，当内球的电荷量为3 10 8C时，1这个系统储存了多少电能？2 如果用导线把球与壳连在一起，结果将如何？解：