全概率公式与贝叶斯公式的应用

1、 分 类 号: 单位代码:10452毕业论文（设计）全概率公式与贝叶斯公式的应用 2013年04月20日摘 要在古典概率中，全概率公式及贝叶斯公式占有重要的地位，这是由于它们能将比较复杂事件的概率通过简单事件的概率计算出来.这两个公式看起来简单，但在自然领域中的应用极其广泛.本文首先介绍了全概率公式和贝叶斯公式的定义，然后又通过具体的例子阐述了全概率公式和贝叶斯公式在医学、经济、概率推理、侦破案件等方面的应用.并在文献2的基础上将这两个公式推广到原因事件用维随机变量取值表示的情形，通过特例说明了该公式在概率论中的具体应用.最后说明了全概率公式和贝叶斯公式的联系及其综合运用,应用了一个简单的例子

2、说明了这两个公式的综合运用在解决复杂事件概率的重要作用.关键词：全概率公式；贝叶斯公式；随机变量ABSTRACTIn classical probability, the total probability formula and Bayes formula occupy an important position, this is because they can reduce probability of complex events and we can calculate the complex events by simple event probability. These two

3、 formulas seem simple, but they are widely applied in the filed of natural. At first , this paper introduces the definition of the total probability formula and Bayes formula. This paper analysis the application of the total probability formula and Bayes formula by the concrete example, such as medi

4、cal, economic, probability reasoning and solve cases. And on the basis of the literature 2, we extends them with the help of the cause event expressed by an n-dimension random variableThe explicit applications of the formula in the theory of probability and stochastic process are given by some speci

5、al examples. Finally it account the connection and integrated use of them. This thesis applicates a simple example to illustrate the combination of the two formulas in solving complex event probability.Key words: Total probability formula; Bayes formula; Random variable目 录1 引言12 全概率公式的应用及其推广12.1 全概率

6、公式的定义12.2 全概率公式的应用22.2.1 在敏感性问题调查中的应用22.2.2 在求概率的递推法中的应用42.2.3 在医疗诊断中的应用52.3 全概率公式的推广62.3.1 原因事件用维离散型随机变量取值表示的全概率公式72.3.2 原因事件用维连续型随机变量取值表示的全概率公式72.3.3 应用举例73 贝叶斯公式的应用及其推广93.1 贝叶斯公式的定义93.2贝叶斯公式的应用103.2.1 在概率推理中的应用103.2.2 在破案中的应用103.2.3 在经济中的应用113.3 贝叶斯公式的推广133.3.1 贝叶斯公式与全概率公式的联系133.3.2 贝叶斯公式的推广143.4

7、 全概率公式与贝叶斯公式的综合运用144 结论17参 考 文 献18致 谢191 引言我们都知道这样一个数学思想：当遇到一个比较复杂、抽象不容易下手的事件时，往往需要把这个复杂事件分解为若干个互不相容的简单事件的和，通过分别计算简单事件的概率，来帮助我们求解这个复杂事件的概率.而全概率公式正是运用了这个思想.全概率公式和贝叶斯公式本身蕴含着深刻的思想，对于初学者而言，它们的应用是难点之一，虽然公式本身简单易懂，但是要想应用自如，还是需要再下一番功夫的.现如今在工程和科技中的许多交叉领域里面很容易找到这两个公式的众多研究者，并且在统计学领域内，它们在很多方面取得了进展.在概率的决策中，有一类决策

8、就叫做贝叶斯决策，它的原理是根据贝叶斯公式进行概率的判断. 文献2将一般的概率论或概率统计教材中的全概率公式推广到了原因事件用一维随机变量取值表示的情形.而本文则是在文献2的基础上对全概率公式进行再一次的推广，将一般概率论中的全概率公式推广到了原因事件用维离散随机变量及维连续型随机变量取值表示的情形，并同理给出贝叶斯公式的推广.最后通过特列说明了这个公式在概率论中的具体应用.2 全概率公式的应用及其推广2.1 全概率公式的定义引理 设是一列互不相容的事件，且有 , 则对任一事件有 (2-1)证明 .下面，我们对应用全概率公式解题的一般步骤进行总结：1） 确定题中所要求的事件,并且根据题意对所求

9、的事件进行正确剖分；2） 列出已知的数据；3） 将已知的数据代入到全概率公式中,求出.此外,也应该注意在解题过程中,我们千万不要被问题的表象所迷惑.有的也不只是单单将全概率公式往题里一代即可.在全概率公式的问题中,有许多相似的情况,如合格产品、白球等代表正因素,不合格产品,黑球代表反因素,一定的产品盒子、袋子代表因素集合或操作范围等.在该类问题中,总是在一个范围内取出正的或反的因素,或在一个范围中取出正(反)因素放入另一个范围中,我们进行这样的操作一次或多次后,求得从最终操作结束的某个范围内取出一个正(反)因素的概率.解这样较抽象问题时,首先要把复杂抽象的问题具体化,这样才可达到解题简单的目地

10、.就这样，应用以上的总结的解题方法,可解决更为复杂的应用概率公式的问题.2.2 全概率公式的应用2.2.1 在敏感性问题调查中的应用全概率公式可以应用到敏感性调查中，所谓的敏感性调查就是指我们所调查的内容中可能会涉及到被调查者的高度机密或隐私（比如，你是否吸过毒、考试中是否做过弊、你的是否看过黄色影集等等），众所周知，遇到这样的问题时我们是不喜欢回答的，因而常常会发生被调查者拒绝回答或回答的不真实的情况.我们都知道运动会是一项竞争激烈的比赛项目，不仅体现了运动员们的自身素质和顽强的毅力，同时运动员们也可以通过赢得比赛展示出自己的能力，为祖国和自己增加光彩.但有些运动员，为了荣耀，不惜在比赛前服

11、用兴奋剂，不仅对其他运动员来说是极其不公平的，对自己身体的伤害也是非常大的.因此世界颁布了有关法令，严禁运动员服用兴奋剂.例2.2.1 沃纳（Warner）于1965年提出了一个随机化回答的方法，可以消除被调查者的顾虑，并可以使调查者如实回答.下面就用这种方法来调查在一次运动会中运动员是否服用了兴奋剂.解 首先为调查者设定了两个问题： ：您在这次运动会中服用兴奋剂了吗？ ：您没在这次运动会中服用兴奋剂吗？假定被调查者回答上述哪个问题都是随机的，并且只有被调查者本人知道他（她）回答的是哪一个问题其他人包括调查人也不知道他们所回答的问题答案.现在采取如下抓阄的方法：发给被调查者一个不透明的盒子，里

12、面装有三个质地大小完全相同的小球，其中2个红球1个白球，被调查者随机取出一球观察颜色后放回（要求这个球的颜色只被调查者本人知道）.当取到红球时回答问题，否则，就回答问题.要求答案只能回答“是”或者“不是”.下面来求这次运动会中服用兴奋剂的运动员人数的比例.由于抓阄的结果对他人来说是保密的，因此被调查者会毫无顾虑的给出真实答案.不妨令 ：回答为“是”； ：回答为“不是”由于我们认为被调查者都是如实的做出回答，因此被调查者在运动会中服用兴奋剂的概率为根据概率公式，有因为，则有从而有设被调查的人数为，其中回答“是”的人数为，则当很大时，有因此这次运动会中服用过兴奋剂的运动员的人数比例近似值为一般的，

13、如果那么有当时，可以由上式得进而得到服用了兴奋剂人数比例的近似值为.2.2.2 在求概率的递推法中的应用 全概率公式是概率论前期发展中的一个重要里程碑，它的意义和价值远远超出了时间的局限，在求概率的递推法中也有着一定的应用.它的要点是在中引入一个适当的分划，把概率条件化，以达到化难为易的目的，这就为利用递推方法解答概率问题提供了途径.例2.2.2 甲乙二人轮流抛掷一枚均匀的骰子.甲先掷，一直到掷出了1点，然后再交给乙掷，而到乙掷出了1点，再交给甲掷，并如此一直下去.试求第次抛掷时由甲掷的概率.解 以表示第次抛掷时由甲掷的事件，记我们以和作为对的一个分划，易知于是由全概率公式得 .经过整理，将上

14、式化为易于递推的形式反复利用该式，并注意，即得所以就有2.2.3 在医疗诊断中的应用同时全概率公式也可以应用于考虑病人患病的确诊问题.人们为了完全确诊某些疾病，我们知道要对病患进行检查，而有的检查是非常昂贵且浪费时间的，更有的检查是对人体造成一定的伤害.因此，利用一些有关的容易获得的临床指标进行辅助性的概率推断是十分重要的.例2.2.3 禽流感患者的临床表现为发热、干咳、流涕、头痛.已知人群中具有以上所有症状的病人患有禽流感的概率为0.5%，仅发热的病人患禽流感的概率为0.4%，仅干咳的病人患禽流感的概率为0.1%，仅流涕的病人患禽流感的概率为0.3%，仅头痛的病人患禽流感的概率为0.2%，无

15、上述现象而被确诊为禽流感的概率为0.001%.现对某疫区30000人进行检查，其中具有所有症状的人为300人，仅发热的病人为500人，仅干咳的病人为1000人，仅流涕的病人为800人，仅头痛的病人为450人.试求该疫区某人患禽流感的概率.解 设“具有所有症状的病人”，“仅发热的病人”，“仅干咳的病人”，“仅流涕的病人”，“仅头痛的病人”，“无明显症状的人”，“确诊患有禽流感的病人”.由全概率公式得 =0.00026992.3 全概率公式的推广在一般的概率论或概率统计教材中，主要是运用全概率公式来计算一些复杂事件概率，却很少涉及导致结果事件的原因事件用随机变量取值表示的情形，这使得这个公式的重要

16、性还无法真正得到体现.文献2将一般的概率论或概率统计教材中的全概率公式推广到了原因事件用一维随机变量取值表示的情形，作者又举例说明了这个公式或这种分解方法能解决些复杂事件的概率问题.本文在文献2的基础上进行了再推广，将一般概率论或概率统计教材中的全概率公式推广到了原因事件用n维离散型随机变量和n维连续型随机变量取值表示的情形，然后又通过一个特例说明了这个公式在概率论和随机过程中的具体应用.从而看出了它的重要性.在公式中通常看成为原因事件，看成由原因事件，导致的结果事件.2.3.1 原因事件用维离散型随机变量取值表示的全概率公式 由于维离散型随机变量取可能值表示的事件是两两互不相容的，并且取所有

17、可能值表示的事件的并事件为必然事件，因此就可以将上述结果推广到原因事件用维离散型随机变量取值表示的情形.定理2.3.2 设维离散型随机变量的联合分布律（列）为则对任意的事件，有 （2-1）2.3.2 原因事件用维连续型随机变量取值表示的全概率公式 由定理2的结果，类似于文献2定理4的证明，可推广 得到原因事件用维连续型随机变量取值表示的情形. 定理2.3.1 设维连续型随机变量的联合概率密度为，则对任意的事件，有 （2-2）2.3.3 应用举例下面通过一个例子来说明推广的全概率公式在概率论和随机过程中的具体应用，尽管解题方法不一定是唯一的，但仍然可以看到，应用全概率公式处理问题时，还是比较简单

18、容易的.例2.3.1 设相互独立且有共同的几何分布求 （1）的分布； （2）的联合分布.解 （1）根据定理2的全概率公式，得注意到，当均不等于时，当或时，再由的独立性知于是 （2）根据定理2.3.2的全概率公式（2-2），得的联合分布 通过上述例子当中原因事件用一维、二维及维随机变量取值表示时全概率公式的应用，可以看到全概率公式在概率论中的重要作用.并且在可靠性模型、存储模型、风险模型等研究中都大量使用过全概率公式，特别是原因事件用一维、二维及维随机变量取值表示时全概率公式的应用. 3 贝叶斯公式的应用及其推广3.1 贝叶斯公式的定义引理 若为一列互不相容的事件，且则对任一事件，有 （3-1）

19、贝叶斯公式为我们提供了科学的决策和推断的方法.已知实验后的“结果”要求推断哪种“原因”产生的可能性大，它的方法步骤是：1) 首先计算出每一个，这是实验前产生的概率叫做先验概率，它反应了各种“原因”发生的可能性大小；2) 计算，它表示“原因” 发生的条件下产生“结果”，从而 由贝叶斯公式反推出“结果” 已经发生的条件下“原因” 发生的概率，它是实验后确定的概率称为后验概率;3) 最后比较各个的大小，若是各个中最大的一个，这就表明了产生“结果” 最可能的“原因”是.证明 由条件概率的定义及乘法公式有对运用全概率公式并代入这个式子，即得贝叶斯公式 由证明可以知道贝叶斯公式其实就是全概率公式的一种变形

20、，它与全概率公式是互逆应用的.并且它与全概率公式一样在实际生活中也有着特别广泛的应用，下面来探讨贝叶斯公式在以下几个方面的应用.3.2贝叶斯公式的应用3.2.1 在概率推理中的应用例3.2.1 已知一个位于英国的发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“0”和“1”，由于通讯系统收到了某些信号的干扰，当发出信号“0”时，收报台未必收到信号“0”，而是分别以0.8和0.2的概率收到“0”和“1”；同样，发出信号“1”时分别以0.9和0.1的概率收到“1”和“0”.如果收报台收到“0”，求它没收错的概率是多少？解 设=“发报台发出信号0”， =“发报台发出信号1”. =“收报台收到信号0”， =“收

21、报台收到信号1”.于是 由贝叶斯公式（3-1），得 即收报台没收错信号的概率为0.923.由此可见，通过贝叶斯公式计算可以帮助我们从接收的结果中，分析信号传递的错误性大小.3.2.2 在破案中的应用例3.2.2 在一个大雾天的下午五点左右发生了一起交通事故，肇事车是本市一辆出租车，该车早已逃逸.有一个目击者认定是一辆绿色出租车，假定经调查该市有红、绿两种颜色的出租车，其中绿色占 17%，红色占 83%，我们假定通过测试可知，目击者将红色看成红色的概率为 0.8，将红色看成绿色的概率为 0.2，将绿色看成绿色的概率为 0.9，将绿色的看成红色的概率为 0.1.若你是交警，你能确信目击者的证言吗？

22、解 设=“该出租车确实是绿色的”， =“该出租车确实是红色的”， =“目击者看到的是绿色的”， =“目击者看到的是红色的”由贝叶斯公式得 根据计算，在这种情形下目击者尽管说的是真话，但他判断正确的概率也只有0.480，所以交警要想破案，还得收集其它方面的数据，不能仅凭目击者的话来破案.3.2.3 在经济中的应用当今概率统计与经济息息相关，几乎任何一项经济学的研究、决策都离不开它的应用，实践证明，概率统计是对经济学问题进行量的研究的有效工具，为经济预测和决策提供了新的手段.在概率决策中，有一类决策就是贝叶斯决策，也就是根据贝叶斯公式进行概率判断，特别在信息不完全的情况下应用贝叶斯公式解决应用问题

23、是非常有效的.生产管理是现代企业管理的重要一环，但是在生产管理过程中很多企业根据主观判断进行，难以准确度量，利用贝叶斯公式可以很好的解决这一问题.例3.2.3 (贝叶斯公式与生产管理的关系) 假设某个工厂有4个车间生产同一件农用产品，其产量占总产量的比例分别为0.15、0.2、0.3和0.35，且已知各车间生产的次品率分别为0.05、0.04、0.03和0.02现有一农户购买了该厂的农用产品，其中1件产品是次品，对该农户造成了重大的损失，因此工厂按规定进行了索赔.现在厂长要追究生产车间的责任，但是该产品是哪个车间生产的标志已经脱落，问厂长应该如何追究生产车间的责任? 解 由于不知该产品是由哪个

24、车间生产的，因此每个车间都要负责任.各车间所负责任的大小应该正比与该产品由各个车间生产的概率.设 =“该产品是由第个车间生产的”，=“从该厂的产品中任取1件恰好取到次品”.则第个车间所负责任的大小为条件概率，由贝叶斯公式得又因为=0.15， =0.2， =0.3， =0.35=0.058，=0.04，=0.03，=0.02从而=0.238;.即第1、第2、第3、第4车间所负责任的百分比分别为0238、0.254、0.286、0.222，显然可见，第3车间负的责任应该最大为0.286.根据后验概率进行判断，对追究责任和索取赔偿具有一定的理论依据.我们知道营销的成功与信誉度有很大的关系，信誉度越高

25、，一个公司成功的概率就越大，而相反一个公司总是做一些让消费者失信的事情，那么可想而知，久而久之这样的公司在消费者心中就会留下信誉不好、不诚信的不良影响.下面利用贝叶斯公式考察如果一家公司多次不讲究信誉会有怎么样的结果.例3.2.4 （贝叶斯公式与营销信誉度的关系）经过大量的调查我们知道现有一家公司的可信度为0.8，不可信度为0.2，问该公司多次失信后客户对其相信度变为多少? 解 现在用贝叶斯公式来分析此问题中的可信度是如何下降的.首先记事件= “不可信”，事件=“可信”不妨设客过去对该公司的印象为 现在可以用贝叶斯公式来求，即该公司失信一次后，客户对可信程度的改变.不妨设则客户根据这个信息对这

26、家公司的可信程度改变为这就表明了客户经过一次上当受骗后，对这家公司的可信度由原来的0.8下降为了0.444，故在此前提下，我们可以对这家公司的可信程度再一次用贝叶斯公式来计算，即为该公司第一次不诚信后，客户对它的可信程度的概率从中可以看出客户经过再次上当，对这家公司的可信程度已经从0.8下降到了0.138，如此低的可信度，该公司又怎能奢望对客户进行第三次营销的时候会成功，并且顾客又怎能再轻易上这家公司的当，顾客又怎么会相信且愿意去继续购买这家公司的产品呢?进而必然严重影响了该公司的营销业绩.3.3 贝叶斯公式的推广3.3.1 贝叶斯公式与全概率公式的联系若把全概率公式中的视作“果”，而把的每一

27、划分视作“因”，则全概率公式反映“由因求果”的概率问题.公式中的是根据以往的信息和经验得到的，所以被称为先验概率.而贝叶斯公式又称为“执果溯因”的概率问题，即在结果已经发生的情况下，寻找发生的原因.公式中的是得到“信息” 后求出的，称为后验概率.先验概率与后验概率有不可分割的联系，后验概率的计算是以先验概率为基础的.由贝叶斯公式知，求要用到，而是由先验概率计算得到的.3.3.2 贝叶斯公式的推广 由上述3.3.1中所述的贝叶斯与全概率公式的联系可知，贝叶斯公式是全概率公式的逆过程，而在全概率公式的推广的2.3.1与2.3.2中，已经分别给出了原因事件用维离散型随机变量取值表示的全概率公式和原因

28、事件用维连续型随机变量取值表示的全概率公式，因此，可以根据贝叶斯公式和全概率公式的联系给出它的推广.在这里，就不再复述了.3.4 全概率公式与贝叶斯公式的综合运用通过以上的关于贝叶斯和全概率公式的应用举例，我们可以看到，全概率公式与贝叶斯公式在生活实际的应用中其实是相互关联，它们之间有着一定程度的联系.并且通过分析全概率公式和贝叶斯公式的联系我们也可以知道贝叶斯公式其实就是全概率的一种变形，即贝叶斯公式是全概率公式的一个逆过程，在上文叙述中也描述了它与全概率公式是互逆应用的.其实在解决我们生活中比较复杂的问题时往往需要综合应用这两个公式，而单纯的运用其中一个公式是很难解决问题的，因此在遇到比较

29、复杂的或是抽象的问题，不能只用全概率公式就解答出来的时，就要多考虑一下是否再运用一下贝叶斯公式，即将这两个公式同时运用就能将问题很好的解决.不要低估这两个公式的综合运用，有时会为生产实践提供更有价值的决策信息与帮助.如在上述例2.2.3中，可以再追加一问，“被确诊为禽流感患者是仅发热病人的概率是多少？”分析 我们可以先应用贝叶斯公式和都是已知的，但是却是未知的因此我们要先求出它，这就要用到全概率公式了.由例2.2.3知 =0.0002699所以，将=0.0002699代入到贝叶斯公式得 从而求得被确诊为禽流感患者是仅发热病人的概率约为24.7%. 下面我们再来看一个同时应用这两个公式来解决世界

30、数学难题的例子.例3.2.5 在1990年第9期的Parade杂志中，有这样这样一道趣味题，也就是被人们称之为 “玛丽莲问题”的有奖竞猜题目.题目如下: 有三扇门可供参与者选择，其中一扇门后面是汽车，另两扇门后面是山羊.你当然想选中汽车.主持人让你随便选.比如，你选中了A门.于是，主持人打开了其余两扇后面是山羊的门中的一扇，比如是C门.现在主持人问你：“为了增加您能选中汽车的概率，你可以换选剩下的一扇门，那么你是换还是不换呢？”分析 记O.C=“主持人打开了C门”，下面分两种情况进行讨论.（1） 主持人提前知道每扇门后面的奖品如果汽车在A门，则主持人有B、C两种选择，则他打开C门的概率为如果汽

31、车在B门,主持人为了打开有羊的门，只能选择C门此时他打开C门的概率为如果汽车在C门，主持人为了打开有羊的门，绝对不能打开C门，所以他打开C门的概率为由全概率公式得，他打开C门的概率为 又由贝叶斯公式，在主持人打开C门的条件下A、B两门后面是汽车的概率分别为 因此，为了增大参与者选中汽车的概率，应该选择换门.（2） 主持人不知道门后面的奖品如果汽车在A后面，主持人有B、C两种选择，他打开C门的概率为如果汽车在B门后，主持人有B、C两种选择，开C门的概率为如果汽车在C门后，主持人还是有B、C两种选择只是不符合主持人选中的 门后面是羊的题意，故此时概率为 所以主持人打开门看到是羊的概率为 此时，在主

32、持人打开C门后，A、B门有汽车的概率分别为 从而可见，换与不换门的概率都是一样的.但由于从实际情况来看，主持人 提前不知门后面的奖品这种情况几乎不存在，我们可只考虑（1）这种情况，即认为参与者应该换门. 通过上面这个例题我们可以知道综合运用全概率公式和贝叶斯公式，使我们把问题更加简单、准确、有效的解决了.其实它们的综合应用远不止这些，还表现在很多方面.综合应用好全概率公式与贝叶斯公式还可以用来解决医疗、工程、投资、保险等一系列不确定的问题中，成为我们解决复杂问题的有效工具.4 结论数学是一门很深奥同时也是一门很实用的学科.学好了数学，我们就可以更好的利用我们所学的知识去解决生产、生活中的实际问

33、题，对我们解决问题提供了非常好的方法和工具.本文详细介绍了全概率公式、全概率公式的几个实际应用、全概率公式的推广及其应用、贝叶斯公式的一些应用以及它与全概率公式的联系.贝叶斯公式应用及其广泛，我们可以看到它在工厂产品检查中的应用、在医疗诊断中的应用、在侦查破案中的应用等.通过这些详细的讲述，可以看到两个概率公式的应用是多方面的.灵活使用两个概率公式会给我们的解题带来很大的方便, 而这两个概率公式的推广形式将进一步拓展两个概率公式的使用范围, 成为我们解决更复杂问题的有效工具.但由于本研究时间很短，在介绍这两个公式的实际应用方面较粗率，有很多不足之处需要改进和补充本文也只是举了几个比较接近我们实际生活的例子来说明它们的应用，事实上它们的应用远不止这些，还有更多更有用的应用有待我们去探索和研究参 考 文 献1魏宗舒.概率论与数理统计教程M.第2版本.北京：高等教育出版社，2004.2王保平.全概率公式的推广J.石家庄师范专科学校报.1999，1（4）：19-21.3刘仁杉.关于全概率公式推广的一个注记J.高校应用数学报，2010：07-08.4苏淳.概率论M.北京：科学出版社，2004.5马恩林.概率论与数理统计M.北京：人民教育出版社，2006.6宋立新.概率论与数理统计M.北